椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
4．椭圆的焦半径公式：
对于椭圆1（a>b>0）,F1（-c,0）,F2（c,0）是它的两焦点。
若P（x,y）是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.
5．几个常用结论：
1）过椭圆上一点P（x0,y0）的切线方程为
；
2）斜率为k的切线方程为；
3）过焦点F2（c,0）倾斜角为θ的弦的长为
。
6．双曲线的定义，第一定义：
满足||PF1|-|PF2||=2a（2a<2c=|F1F2|,a>0）的点P的轨迹；
第二定义：
到定点的距离与到定直线距离之比为常数e（>1）的点的轨迹。
7．双曲线的方程：
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为
，
参数方程为（为参数）。
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
。
8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线
（a,b>0）,
a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为（-a,0）,（a,0）.左、右焦点为F1（-c,0）,F2（c,0），对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e>1。
两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。
若a=b，则称为等轴双曲线。
9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）,F2（c,0）是它的两个焦点。
设P（x,y）是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.
2）过焦点的倾斜角为θ的弦长是。
10．抛物线：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。
若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px（p>0），离心率e=1.
11．抛物线常用结论：
若P（x0,y0）为抛物线上任一点，
1）焦半径|PF|=；
2）过点P的切线方程为y0y=p（x+x0）；
3）过焦点倾斜角为θ的弦长为。
12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。
13．圆锥曲线的统一定义：
到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若01，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。
这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。
二、方法与例题
1．与定义有关的问题。
例1已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。
[解]见图11-1，由题设a=5,b=4,c==3,.椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。
由定义知，则|PF|=|PQ|。
所以3|PA|+5|PF|=3（|PA|+|PF|）=3（|PA|+|PQ|）≥3|AM|（AM左准线于M）。
所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得，又x<0，所以点P坐标为
例2已知P，为双曲线C：
右支上两点，延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。
求证：
∠F1K=∠KF1Q.
[证明]记右准线为l，作PDl于D，于E，因为//PD，则，又由定义，所以，由三角形外角平分线定理知，F1K为∠PF1P的外角平分线，所以∠=∠KF1Q。
2．求轨迹问题。
例3已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。
[解法一]利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：
=1（a>b>0）.F坐标为（-c,0）.设另一焦点为。
连结，OP，则。
所以|FP|+|PO|=（|FA|+|A|）=a.
所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），将此椭圆按向量m=（,0）平移，得到中心在原点的椭圆：
。
由平移公式知，所求椭圆的方程为
[解法二]相关点法。
设点P（x,y）,A（x1,y1），则，即x1=2x+c,y1=2y.又因为点A在椭圆上，所以代入得关于点P的方程为。
它表示中心为，焦点分别为F和O的椭圆。
例4长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。
[解]设P（x,y）为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A（x-,0）,B（x+,0）,C（0,y-）,D（0,y+）,记O为原点，由圆幂定理知|OA|•|OB|=|OC|•|OD|，用坐标表示为，即
当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；
当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；
当a例5在坐标平面内，∠AOB=，AB边在直线l:
x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。
[解]设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B（3,3tanθ）,A（3,3tan（θ-））,设外心为P（x,y），由中点公式知OB中点为M。
由外心性质知再由得
×tanθ=-1。
结合上式有
•tanθ=①
又tanθ+=②
又
所以tanθ-=两边平方，再将①，②代入得。
即为所求。
3．定值问题。
例6过双曲线（a>0,b>0）的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。
求证：
H的横坐标为定值。
[证明]设点B，H，F的坐标分别为（asecα,btanα）,（x0,0）,（c,0），则F1，B1，B2的坐标分别为（-c,0）,（c,）,（c,），因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以
①
所以
。
由①得
代入上式得
即（定值）。
注：
本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。
例7设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。
证明：
直线AC经过定点。
[证明]设，则，焦点为，所以，，，。
由于，所以•y2-y1=0，即=0。
因为，所以。
所以，即。
所以，即直线AC经过原点。
例8椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：
为定值。
[证明]设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，则点A，B的坐标分别为A（r1cosθ,r1sinθ）,B（-r2sinθ,r2cosθ）。
由A，B在椭圆上有
即①
②
①+②得（定值）。
4．最值问题。
例9设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。
[解]由题设a=1，b=,记|OA|=r1,|OB|=r2,，参考例8可得=4。
设m=|AB|2=,
因为，且a2>b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以。
又函数f（x）=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当或时，|AB|取最大值。
例10设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：
1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。
[解]设A，B分别为圆C和椭圆上动点。
由题设圆心C坐标为，半径|CA|=1，因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值，所以|BC|最大值为
因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,,t，椭圆方程为，并设点B坐标为B（2tcosθ,tsinθ），则|BC|2=（2tcosθ）2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3（tsinθ+）2+3+4t2.
若，则当sinθ=-1时，|BC|2取最大值t2+3t+，与题设不符。
若t>,则当sinθ=时，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.
所以椭圆方程为。
5．直线与二次曲线。
例11若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。
[解]抛物线y=ax2-1的顶点为（0,-1），对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P（x1,y1），（-y1,-x1），满足y1=a且-x1=a（-y1）2-1，相减得x1+y1=a（）,因为P不在直线x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a（x1-y1），即x1=y1+
所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求。
例12若直线y=2x+b与椭圆相交，
（1）求b的范围；
（2）当截得弦长最大时，求b的值。
[解]二方程联立得17x2+16bx+4（b2-1）=0.由Δ>0，得所以当b=0时，|PQ|最大。
三、基础训练题
1．A为半径是R的定圆⊙O上一定点，B为⊙O上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是________.
2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2（>0），则动点的轨迹是________.
3．椭圆上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________.
4．双曲线方程，则k的取值范围是________.
5．椭圆，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，则ΔF1PF2的面积是________.
6．直线l被双曲线所截的线段MN恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为________.
7．ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为________.
8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.
9．已知曲线y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直
升级会员 