1996年普通高等学校招生全国统一考试数学文科.docx
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1996年普通高等学校招生全国统一考试数学文科
一九九六年（文科）
一．选择题：
本题共15个小题;第
（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，7}，B={3，5}.则（C）
（A）（B）（C）（D）
（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（A）
（A）y（B）y（C）y（D）y
o1xo1xo1xo1x
（3）若，则x的取值范围是（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）复数等于（B）
（A）（B）（C）（D）
（5）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（C）
（A）720种（B）360种（C）240种（D）120种
（6）已知是第三象限角且，则（D）
（A）（B）（C）（D）
（7）如果直线、与平面、、满足：
和，那么必有（A）
（A）且（B）且
（C）且（D）且
（8）当时，函数的（D）
（A）最大值是1，最小值是-1
（B）最大值是1，最小值是
（C）最大值是2，最小值是-2
（D）最大值是2，最小值是-1
（9）中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是
（A）（B）（A）
（C）（D）
（10）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为2400，该圆锥的体积是（C）
（A）（B）（C）（D）
（11）椭圆的两个焦点坐标是（B）
（A）（-3，5），（-3，-5）（B）（3，3），（3，-5）
（C）（1，1），（-7，1）（D）（7，-1），（-1，-1）
（12）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为（D）
（A）（B）（C）（D）
（13）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C）
（A）130（B）170（C）210（D）260
（14）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。
已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（A）
（A）2（B）（C）（D）
（15）设是上的奇函数，，当时，，则等于（B）
（A）0.5（B）-0.5（C）1.5（D）-1.5
二．填空题：
本大题共4小题;每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上。
（16）已知点（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=__________
答：
4
（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答）
答：
32
（18）的值是_______
DC
AB
FE
答：
（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______
答：
三．解答题：
本大题共5小题;共50分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（20）（本小题满分11分）
解不等式
解：
（Ⅰ）当时，原不等式等价于不等式组：
（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：
综上，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
（21）（本小题满分12分）
设等比数列的前n项和为.若S3+S6=2S9，求数列的公比q.
解：
q=1，则有S3=3，S6=6，S9=9.但，即得S3+S6≠2S9，与题设矛盾，故.
又依题意S3+S6=2S9可得
（22）（本小题满分12分）
已知△ABC的三个内角A，B，C满足：
A+C=2B，求的值。
解：
由题设条件知：
B=600，A+C=1200
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为
将代入上式并整理得
从而得
（23）（本小题满分12分）
【注意：
本题的要求是，参照标本①的写法，在标本②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程;并解答（Ⅱ）.】
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=，CF=2
A1C1
B1
F
E
AC
B
（Ⅰ）求证：
面AEF⊥面ACF;
（Ⅱ）求三棱锥A1-AEF的体积。
（Ⅰ）证明：
①∵BE=，CF=2，BE∥CF，延长FE与CB延长线交于D，连结AD。
∴△DBE∽△DCF，
∴
②∵BE:
CF=1:
2，∴DC=2DB，∴DB=BC，
∴DB=AB.
③∵△ABD是等腰三角形，
且∠ABD=1200，∴∠BAD=300，
∴∠CAD=900，∴DA⊥AC.
④∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上的射影，
且CA⊥AD，∴FA⊥AD.
⑤∵FF∩AC=A，DA⊥面ACF，而DA面ADF，
A1GC1
B1
F
E
AC
B
D
∴面ADF⊥面ACF.∴面AEF⊥面ACF.
（Ⅱ）解：
∵VA1-AEF=VE-AA1F.
在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，
垂足为G.B1G=.
面A1B1C1⊥面A1C，
∴EBB1，而BB1∥面A1C，
∴三棱锥E-AA1F的高为.
S△A1AF=·AA1·AC=.
∴VA1-AEF=VE-AA1F=
（24）（本小题满分10分）
某地现有耕地１0000公顷。
规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。
如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？
（=，=）
解：
设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。
依题意的不等式
化简得
答：
按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
（25）（本小题满分12分）
已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。
（Ⅰ）求的斜率k1的取值范围;
（Ⅱ）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值。
解：
（Ⅰ）依题意，的斜率都存在。
因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组
（1）
有两个不同的解。
在方程组
（1）中消去y，整理得
（2）
若，则方程组
（1）只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。
故，即。
方程
（2）的判别式为
设的斜率为k2,因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组
（3）
有两个不同的解。
在方程组（3）中消去y，整理得
（4）
同理有，
又因为，所以有
于是，与双曲线各有两个交点，等价于
（Ⅱ）双曲线的顶点为（0，1）、（0，-1）。
取A1（0，1）时，有
解得从而，
将代入方程（4）得
（5）
记与双曲线的两交点为A2（x1,y1）B2（x2,y2）.则
由（5）知
同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得
当取A1（0，-1）时，由双曲线关于x轴的对称性，知
所以过双曲线的一个顶点时，。
一九九六年（文科）
一．选择题：
本题共15个小题;第
（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，7}，B={3，5}.则（C）
（A）（B）（C）（D）
（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（A）
（A）y（B）y（C）y（D）y
o1xo1xo1xo1x
（3）若，则x的取值范围是（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）复数等于（B）
（A）（B）（C）（D）
（5）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（C）
（A）720种（B）360种（C）240种（D）120种
（6）已知是第三象限角且，则（D）
（A）（B）（C）（D）
（7）如果直线、与平面、、满足：
和，那么必有（A）
（A）且（B）且
（C）且（D）且
（8）当时，函数的（D）
（A）最大值是1，最小值是-1
（B）最大值是1，最小值是
（C）最大值是2，最小值是-2
（D）最大值是2，最小值是-1
（9）中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是
（A）（B）（A）
（C）（D）
（10）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为2400，该圆锥的体积是（C）
（A）（B）（C）（D）
（11）椭圆的两个焦点坐标是（B）
（A）（-3，5），（-3，-5）（B）（3，3），（3，-5）
（C）（1，1），（-7，1）（D）（7，-1），（-1，-1）
（12）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为（D）
（A）（B）（C）（D）
（13）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C）
（A）130（B）170（C）210（D）260
（14）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。
已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（A）
（A）2（B）（C）（D）
（15）设是上的奇函数，，当时，，则等于（B）
（A）0.5（B）-0.5（C）1.5（D）-1.5
二．填空题：
本大题共4小题;每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上。
（16）已知点（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=__________
答：
4
（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答）
答：
32
（18）的值是_______
DC
AB
FE
答：
（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______
答：
三．解答题：
本大题共5小题;共50分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（20）（本小题满分11分）
解不等式
解：
（Ⅰ）当时，原不等式等价于不等式组：
（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：
综上，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
（21）（本小题满分12分）
设等比数列的前n项和为.若S3+S6=2S9，求数列的公比q.
解：
q=1，则有S3=3，S6=6，S9=9.但，即得S3+S6≠2S9，与题设矛盾，故.
又依题意S3+S6=2S9可得
（22）（本小题满分12分）
已知△ABC的三个内角A，B，C满足：
A+C=2B，求的值。
解：
由题设条件知：
B=600，A+C=1200
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为
将代入上式并整理得
从而得
（23）（本小题满分12分）
【注意：
本题的要求是，参照标本①的写法，在标本②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程;并解答（Ⅱ）.】
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=，CF=2
A1C1
B1
F
E
AC
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