初中数学知识总结大全 第一章 数与式编辑靳军强Word文档下载推荐.docx

初中数学知识总结大全 第一章 数与式编辑靳军强Word文档下载推荐.docx

《初中数学知识总结大全 第一章 数与式编辑靳军强Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学知识总结大全 第一章 数与式编辑靳军强Word文档下载推荐.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（复数包括实数和虚数，虚数包括纯虚数和非纯虚数；

实数包括有理数和无理数，有理数又包括整数和分数。

所有的自然数可以分为质数（素数）和合数两类，特别规定“1既不是质数，也不是合数”。

总之一句话自然数就是大

于等于0的整数。

）

注：

0既不是正数，也不是负数；

0是正数与负数的分界。

偶数：

能被2整除的自然数。

2、4、6……

按因数的个数分

备注：

这里是因数不是约数

质数：

只有1和它本身这两个因数的自然数

合数：

除了1和它本身还有其它的因数的自然数

1只有1个因数。

它既不是质数也不是合数。

0当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。

小数

有限小数：

小数部分的位数是有限的。

无限小数：

小数部分的位数是无限的。

循环小数

纯循环小数：

循环节从小数部分的第一位起。

3.555…

混循环小数：

循环节从不小数部分的第一位起。

2.04666…

无限不循环小数如：

7.268413596423……

分数

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

真分数：

分子比分母小的分数。

3/4、1/8……

假分数：

分子比分母大，或分子与分母相等的分数。

5/4、6/6…

最简分数：

分子和分母是互质数的分数。

百分数

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。

通常用“%”来表示。

25%

成数

农业的收成，通常用成数”来表示。

“一成”是十分之一，改写成百分数就是10%。

约数

如果数“a”整除数“b”，那么数“a”就叫做数“b”的约数。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本。

倍数

如果数“a”整除数“b”，那么数“b”就叫做数“a”的倍数。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

最小公倍数

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

最大公约数

几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

互质数

公约数只有“1”两个整数叫做互质数，互质数是相互依存的。

质因数

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。

倒数

乘积是1的两个数叫互为倒数。

其中的一个叫做另一个的倒数。

正数

像3,4,+0.6在实际问题中分别表示零上3摄氏度，净胜3球，大于规定尺寸0.2mm这样的数，它们与负数具有相反的意义。

我们把这样的数叫做正数。

负数

像-3，-4，-0.6这样的数（即在以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数）叫做负数。

数集

把一些数放在一起，就组成一些数的集合，简称数集

【实数的分类】

1.2数轴

1．数轴的概念

（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

（这里包含两个内容：

一是数轴的三要素：

原点、正方向、单位长度缺一不可．二是这三个要素都是规定的．）

（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．

2．数轴的画法

（1）画直线（一般画成水平的）、定原点，标出原点“O”．

（2）取原点向右方向为正方向，并标出箭头．

（3）选适当的长度作为单位长度，并标出…，－3，－2，－1，1，2，3…各点。

（4）标注数字时，负数的次序不能写错，

3．用数轴比较有理数的大小

（1）在数轴上表示的两数，右边的数总比左边的数大。

（2）由正、负数在数轴上的位置可知：

正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

（3）比较大小时，用不等号顺次连接三个数要防止出现写法的错误，

4、画数轴常见几种错误

（1）没有方向

（2）没有原点（3）单位长度不统一

（１）三要素：

原点、正方向、单位长度。

（２）实数

数轴上的点。

（３）利用数轴可比较数的大小，理解实数及其相反数、绝对值等概念。

1.3相反数、绝对值、倒数

1.相反数：

只有符号不同的两个数互为相反数。

数a的相反数是-a。

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零.性质：

互为相反数的两个数之和为0。

即：

a、b互为相反数

a＋b＝０（或a＝－b）；

2.绝对值

（１）几何定义：

数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做

。

（2）绝对值可表示为：

或

；

绝对值的问题经常分类讨论；

3.倒数：

如果两个数的乘积为1，那么称其中的一个数十另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数。

注意：

0没有倒数；

若a≠0，那么a的倒数是

若ab=1a、b互为倒数；

若ab=-1a、b互为负倒数

相反数是它本身的数只有0,；

绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；

倒数是它本身的数是±

1.

1.4平方根与立方根

1.4.1平方根

（1）、如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。

数a的平方根记作（a≥０）；

若x

＝a（a≥０），则x叫做a的平方根，记做±

算术平方根记做

注意

的双重非负性：

特性：

一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。

负数没有平方根。

正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。

开平方:

求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

（2）、算术平方根性质：

（1）

（2）

（3）

（

（4）

（

1.4.2立方根

如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。

数a的立方根用

表示。

＝a，则x叫做a的立方根，记做

因此

＝a。

任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；

一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。

开立方：

求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。

正确理解：

、、、

几个性质：

、、、

一、实数的运算

（1）加法

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

异号两数相加。

取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

任何数与零相加等于原数。

（2）减法a-b=a+（-b）

（3）乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

零乘以任何数都得零．即

（4）除法

（5）乘方

（6）开方如果x2＝a且x≥0，那么

＝x；

如果x3=a，那么

在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．

3．实数的运算律

（1）加法交换律a+b＝b+a

（2）加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）

（3）乘法交换律ab＝ba．

（4）乘法结合律（ab）c=a（bc）

（5）分配律a（b+c）=ab+ac

其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．

1.5有理数的运算

1.5.1有理数的加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加，仍得这个数.

1.5.2有理数的减法法则

减去一个数等于加上这个数的相反数。

1.5.3有理数乘法法则

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；

各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.

1.5.4有理数除法法则

（1）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何非0实数都得0。

（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

1.5.5有理数的乘方

求相同因式积的运算，叫做乘方；

在an中，an叫做a的n次幂，其中，a叫底数，n叫指数。

（1）正数的任何次幂都是正数；

负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；

0的任何次幂都是0

（2）a0=1（a不等于0）

有理数乘方的法则：

（2）负数的奇次幂是负数；

负数的偶次幂是正数；

当n为正奇数时:

（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n,当n为正偶数时:

（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）n.

1.5.6有理数比大小

（1）正数的绝对值越大，这个数越大；

（2）正数永远比0大，负数永远比0小；

（3）正数大于一切负数；

（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；

（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.

1.6实数的运算顺序及一般的运算顺序

1．同　级：

左→右

2．不同级：

高→低（先乘方和开方，再乘除，最后加减）

3.混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减

4.有括号：

里→外（先去小括号、再去中括号、最后去大括号）

1.7实数大小比较的方法

1）数轴法：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数

2）比差法：

若a-b>

0则a>

b；

若a-b<

0则a<

若a-b=0则a=b

3）比商法：

A.两个数均为正数时，

>

1则a>

<

1则a<

b

B.两个数均为负数时，

1则a<

C.一正一负时，正数>

4）平方法：

a、b均为正数时，若

>

，则有a>

均为负数时相反

5）倒数法：

两个实数，倒数大的反而小（不论正负）．

1.8科学计数法、近似数和有效数字

一、科学计数法

下面以表格归纳科学记数法，说明怎样用科学记数法表示任意一个有理数x。

x的取值范围

表示方法

a的取值

n的取值

|x|≥10

a×

10n

1≤|a|<

10

整数的位数—1

1、表示负数时，仍需要带上负号；

2、两个数相乘除时，类似于单项式之间的乘除。

1≤|x|<

100

n=0

|x|<

1

10—n

第一位有效数字前所有0的个数（含小数点前的0）

1．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．换句话说这个近似数最末一个数字所处数位就是它的精确度．

2．对于一个写成用科学记数法写出的数，则看数的最末一位在原数中所在数位。

二、近似数与精确数

例如：

考范围题目：

近似数X=2.8,则X的范围是

近似数X=4.0,则X的范围是

（规律：

左边为最后一位数字减5，且有等号，右边为最后一位数字后面多写一个数字5，且没有等号）

三、有效数字

1、对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，所

有的数字都叫这个数的有效数字。

2、对于科学计数法型的近似数，由a×

10n（1≤〡a〡<

10）中的a来确定，a的有效数字就是这个近似数的有效数字。

与×

10n无关。

四、近似数的精确度

1、近似数的精确度是近似数精确的程度。

2、近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

3、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的。

1.9互逆运算关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

关系

互逆

运算

加

减

乘

除

乘方

开方

平方

开平方

立方

开立方

结果

和

差

积

商

幂

方根

二次幂

平方根

三次幂

立方根

运算律

加法

乘法

交换律

a＋b＝b＋a

ab＝ba

结合律

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

（ab）c＝a（bc）

分配律

----------------

（a＋b）c＝ac＋bc

1.11整式的加减及有理式

1.11.1知识框架　　

（1）有理式

1.11.2代数式和有理式、整式和分式

【代数式】

用有限次运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数式。

【代数式的值】

用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。

【代数式的分类】

【有理式】

只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式

【无理式】

根号下含有字母的代数式叫做无理式

【整式】

没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式　

【分式】

除式中含字母的有理式叫分式

1.11.3整式、单项式与多项式

整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；

而是今后将要学习的分式。

单项式

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

1.11.4整式的加减

1、整式加减的理论根据是：

去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

去括号法则：

如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；

如果括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。

2、同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项：

1）.合并同类项的概念：

　　把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

2）.合并同类项的法则：

　　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3）.合并同类项步骤：

　a．准确的找出同类项。

　　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

　　c．写出合并后的结果。

4）.在掌握合并同类项时注意：

　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.

　　b.不要漏掉不能合并的项。

　　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

说明：

合并同类项的关键是正确判断同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：

1）列出代数式：

用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

2）按去括号法则去括号。

3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：

（1）代数式化简

（2）代入计算

（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

1.11.5整式的乘法

（一）单项式与单项式相乘

1、单项式乘法法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、系数相乘时，注意符号。

3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。

4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。

5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。

（二）单项式与多项式相乘

1、单项式与多项式乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

m（a+b+c）=ma+mb+mc。

2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。

（三）多项式与多项式相乘

1、多项式与多项式乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb。

2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。

相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。

在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。

4、运算结果中有同类项的要合并同类项。

5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：

（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab。

1.11.6整式的除法

（一）单项式除以单项式的法则

1、单项式除以单项式的法则：

一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；

对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。

（二）多项式除以单项式的法则

1、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。

1.11.7整数指数幂

公式、法则：

（1）同底数幂的乘法：

am﹒an=am+n（同底，幂乘，指加）

逆用：

am+n=am﹒an（指加，幂乘，同底）

（2）同底数幂的除法：

am÷

an=am-n（a≠0）。

（同底，幂除，指减）

am-n=am÷

an（a≠0）（指减，幂除，同底）

（3）幂的乘方：

（am）n=amn（底数不变，指数相乘）

amn=（am）n

（4）积的乘方：

（ab）n=anbn推广：

逆用，anbn=（ab）n（当ab=1或-1时常逆用）

（5）零指数幂：

a0=1（注意考底数范围a≠0）。

（6）负指数幂：

（底倒，指反）

（7）单项式与多项式相乘：

（8）多项式与多项式相乘：

（9）整式乘法公式：

平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2公式特点：

（有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果=

推广（项数变化）：

连用变化：

（10）完全平方公式：

完全平方公式变形（知二求一）：

常用变形：

1.11分解因式

1.11.1分解因式

1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2.因式分解与整式乘法是互逆关系。

因式分解与整式乘法的区别和联系:

（1）整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;

（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

1.11.2提公共因式法

1.如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

如:

2.概念内涵:

（1）因式分解的最后结果应当是“积”;

（2）公因式可能是单项式,也可能是多项式;

（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:

3.易错点点评:

（1）注意项的符号与幂指数是否搞错;

（2）公因式是否提“干净”;

（3）多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.

1.11.3运用公式法

1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.

2.主要公式:

（1）平方差公式:

1、

两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。

3、平方差公式可以逆用，即：

a2-b2=（a+b）（a-b）。

4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成

（a+b）•（a-b）的形式，然后看a2与b2是否容易计算。

（2）完全平方公式:

1、（a±

b）

=a

±

2ab+b

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。

3.因式分解要分解到底.如

就没有分解到底.

4.运用公式法:

①应是二项式或视作二项式的多项式;

②二项式的每项（不含符号）都是一个单项式（或多项式）的平方;

③二项是异号.

①应是三项式;

②其中两项同号,且各为一整式的平方;

③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.

5.因式分解的思路与解题步骤:

（1）先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

（2）再看能否使用公式法;

（3）用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

1.1