初中数学隐圆模型题型归纳Word文档格式.docx

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弦AB所对同侧圆周角恒相等

备注：

点P在优弧、劣弧上运动皆可

4）四点共圆模型①

圆内接四边形对角互补备注：

点A与点C在线段AB异侧

5）四点共圆模型②

固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C则A、B、C、P四点共圆原理：

弦AB所对同侧圆周角恒相等备注：

点P与点C需在线段AB同侧

点睛2】圆中旋转最值问题

条件：

线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点

（1）求CM最小值与最大值

（2）求线段AB扫过的面积

（3）求S△ABC最大值与最小值

作法：

如图建立三个同心圆，作OM⊥AB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆结论：

①CM1最小，CM3最大

②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积③S△ABC最小值以AB为底，CM1为高；

最大值以AB为底，CM2为高

典题探究启迪思维探究重点

例题1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°

，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是．

【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'

MN，可得MA'

M=A=1，所以A'

轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A'

，此时A'

C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A'

M即可，答案为7-1．

变式练习>

>

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．

【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2.

例题2.如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°

，l不经过点C，则AB的最小值为．

【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．答案为4.

2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是．

分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D'

，连接PD'

，PF+PD化为

PF+PD'

．连接ED'

，与圆的交点为所求

F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘再,减去EF即可．

例题3.如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接

BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是．

分析】根据条件可知：

∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°

，所以H点轨迹是以AB为

直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．答案为51

3．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是．

答案为424

【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°

，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°

，∴∠APB=90°

，∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．

当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．

例题4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆

O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为．

4．如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD

向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，

则AG长的最小值为

例题5.如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为

【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°

，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°

，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°

）当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．

5．在△ABC中，AB=4，∠C=60°

，∠A>

∠B，则BC的长的取值范围是【分析】先作图，如下

条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°

，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°

）题意要求∠A>

∠B，即BC>

AC，故点C的轨迹如下图．当BC为直径时，BC取到最大值为83，考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>

AB=4．无最小值．

3

例题6.如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°

，

AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延

长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED的长为

解答】解：

∵∠CAD＝∠CFD，

∠FAD+∠DCF＝180°

，∠FAC＝∠FDC，

∠DCF＝90°

，∴∠FAD＝90°

AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，

DF⊥AB，∴∠ABF+∠BFE＝∠CDF+∠BFE＝90°

∠ABF＝∠CDF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝6，

DF﹣AD＝2，∴DF＝AD+2，

DF2＝AF2+AD2，∴（2+AD）2＝62+AD2，解得：

AD＝8，∴DF＝10，

1.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=10，AC=8．D是弧BC上的一个动点，连接AD，

过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为

答案为：

2134

分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°

，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以

AC为直径的圆弧．当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．

3.如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为．

2132

【分析】∠AFB=90°

且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C'

，化PC+PF为PC'

P+F，当C'

、P、F、O共线时，取到最小值．

C'

P

F

AO

在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠B=30°

，AB=4，D是BC上一动点，则CF的最大值是．

EF⊥AB，且E点在圆上，故

【分析】∠AEC=90°

且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．考虑当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．

连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°

，故CF可求．答案为3

5.如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的

C

B

A

最小值为

答案为3

6.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值

范围是﹣2≤BE<

3

如图，由题意知，∠AEC＝90°

∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），

解：

如图，连接CE，

∴∠CED＝∠CEA＝90°

，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，

当点Q、E、B共线时BE最小，

∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点

E′点），

7.在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为8．

∵AC＝10，

∴QC＝QE＝5，

∵BC＝12，

∴QB＝＝13，

∵AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，CM＝2，

则BM＝＝＝，

∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，

BE最长时，即E与C重合，∵BC＝3，且点E与点C不重合，∴BE<

3，综上，﹣2≤BE<

3，

∴BE＝QB﹣QE＝8，∴BE的最小值为8，故答案为8．

8.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以

AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为2﹣2．

【解答】解：

连结AE，如图1，

∵∠BAC＝90°

，AB＝AC，BC＝，

∴AB＝AC＝4，

∵AD为直径，

∴∠AED＝90°

∴∠AEB＝90°

∴点E在以AB为直径的⊙O上，

∵⊙O的半径为2，

∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，

∴OC＝＝2，

∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，

即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．

9.如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是

如图，连接∵四边形ABCD是矩形，

EO、PO、OC．∴∠B＝∠OAP＝90°

在Rt△OBC中，BC＝8，

OB＝2，∴OC＝＝2，

在Rt△AOP中，OA＝2，PA＝4，

∴OP＝＝2，

∵OE＝OC＝2，PE≥OE﹣OP，∴PE的最小值为2﹣2．

故答案为2﹣2．

10.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为

∴S四边形AGCD最小＝h+6＝+6＝

故答案为：