实际问题与一元一次方程知识讲解Word下载.docx
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追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：
前者走的路程＝追者走的路程；
第二，第二，同时不同地出发：
前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：
顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×
水速；
抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×
工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
寻找相等关系的方法：
抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
5．利润问题
（1）
（2）标价＝成本（或进价）×
（1＋利润率）
（3）实际售价＝标价×
打折率
（4）利润＝售价－成本（或进价）＝成本×
利润率
注意：
“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；
当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
6．存贷款问题
（1）利息=本金×
利率×
期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×
期数＝本金×
（1＋利率×
期数）
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×
利息税率
（5）年利率＝月利率×
12
（6）月利率＝年利率×
7.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：
若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
8．方案问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1．2014年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?
【答案与解析】设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8-x）亿立方米．
依题意，得5.8-x＝3x+0.6
解得x＝1.3
5.8-x＝5.8-1.3＝4.5（亿立方米）
答：
生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．
【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x，另外一个用含x的式子表示．本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量＝5.8亿立方米．
举一反三：
【变式】
（2015•南充）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（ ）
A．25台B．50台C．75台D．100台
【答案】C．
解：
设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100﹣x）台，
根据题意可得：
x=3（100﹣x），
解得：
x=75．
类型二、行程问题
1.一般问题
2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?
【答案与解析】
设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：
4x+0.5＝5（x-0.5），解得x＝3．
所以4x+0.5＝4×
3+0.5＝12.5（千米）．
答：
学校到县城的距离是12.5千米．
【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．
【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．
【答案】
设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为
小时，下坡行驶的时间为
小时．依题意，得：
，
化简得：
．
显然a≠0，解得
汽车的平均速度为
千米/时．
2.相遇问题（相向问题）
3．A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？
【答案与解析】
解:
设甲经过x小时与乙相遇.
由题意得：
．
解得，x=2.75．
甲经过2.75小时与乙相遇．
【总结升华】等量关系：
甲走的路程+乙走的路程=100km
【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?
设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶（x+2.5）千米，根据题意，得：
（千米）
甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米
3.追及问题（同向问题）
4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?
设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意，
得
得：
小时=10分钟．
通讯员用10分钟可以追上学生队伍．
【总结升华】追及问题：
路程差=速度差×
时间，此外注意：
方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．
4.航行问题（顺逆流问题）
5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．
解法1：
设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为（x+4）千米/时，逆水航行的速度为（x-4）千米/时，由两码头的距离不变得方程：
3（x+4）＝5（x-4），解得：
x=16，
（16+4）×
3=60（千米）．
两码头之间的距离为60千米．
解法2：
设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为
千米/时，逆水航行时速度为
千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：
，解得：
【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；
逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．
类型三、工程问题
6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；
甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?
【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x小时可以注满水池；
那么甲乙合注1小时注水池的
，甲管单独注水每小时注水池的
，合注7小时注水池的
，乙管每小时注水池的
设乙管还需x小时才能注满水池．
由题意得方程：
解此方程得：
x＝9．
单独开乙管，还需9小时可以注满水池．
【总结升华】工作效率×
工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1”．
【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?
设乙中途离开x天，由题意得：
乙中途离开了3天．
类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）
7．（2015春•衡阳校级月考）某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？
设抽调x人，则可列方程（ ）
A．22+x=2×
26B．22+x=2（26﹣x）C．2（22+x）=26﹣xD．22=2（26﹣x）
【思路点拨】设抽调x人，则调后一组有（22+x）人，第二组有（26﹣x）人，根据关键语句：
使第一组的人数是第二组的2倍列出方程即可．
【答案】B．
【解析】
设抽调x人，由题意得：
（22+x）=2（26﹣x），
【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，表示出调后两个组的人数．
【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的
.
设从甲队调出x人到乙队.由题意得，
解得，x=12.
需要从甲队调出12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的
类型五、利润问题
1．（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）
A．562.5元B．875元C．550元D．750元
设进价为x元，则该商品的售价为1.2x元，由题意得
1.2x﹣x=500，
x=2500．
则标价为1.2×
2500÷
0.8=3750（元）．
则3750×
0.9﹣2500=875（元）．
【总结升华】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售中的基本数量关系是解决问题的关键．
【变式1】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？
设该商品打x折，依题意，则：
500（1+40%）·
=500（1+12%）.
x=
=8.
该商品的广告上可写上打八折.
【变式2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容（如图所示），求出李明上次所买书籍的原价．
【答案】
设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：
0.8x+20＝x-12，
解这个方程得：
x＝160．
李明上次所买书籍的原价是160元．
类型六、存贷款问题
2．爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7％，五年后取出本息和为17025元，爸爸开始存入多少元.
设爸爸开始存入x元.根据题意，得x＋x×
2.7％×
5＝17025.
解之，得x＝15000
爸爸开始存入15000元.
【总结升华】本息和＝本金＋利息，利息＝本金×
期数．
类型七、数字问题
3．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数.
设百位上的数为x，则十位上的数为2x，个位上的数为14-2x-x
x+14-2x-x=2x+2
解得：
x=3
∴x=3，2x=6，14-2x-x=5
这个三位数为365
【总结升华】在数字问题中应注意：
（1）求的是一个三位数，而不是三个数；
（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答；
（3）三位数字的表示方法是百位上的数字乘以100，10位上的数字乘以10，然后把所得的结果和个位数字相加．
（2015•嘉兴）公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：
“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19．”此问题中“它”的值为 ．
设“它”为x，
根据题意得：
x+
x=19，
则“它”的值为
类型八、方案设计问题
4．为鼓励学生参加体育锻炼．学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为3:
2，单价和为80元．
（1）篮球和排球的单价分别是多少元?
（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量不少于26个．请探究有哪几种购买方案?
（1）设篮球和排球的单价分别为3x元和2x元．
依题意3x+2x＝80，解得x＝16
即3x＝48，2x＝32
篮球和排球的单价分别为48元和32元．
（2）采用列表法探索：
类别
方案
篮球（x个）
排球（36-x）个
合计（元）
26
10
1568
（2）
27
9
1584
（3）
28
8
1600
（4）
29
7
1616
由列表可知，共有三种购买方案：
方案一：
购买篮球26个，排球10个；
方案二：
购买篮球27个，排球9个；
方案三：
购买篮球28个，排球8个．
【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴．采用列表的方法探索方案，值得学习．
（武昌区期末调考）某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：
所有师生按票价的88%购票；
前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．
（1）若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱?
（2）参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多?
【答案】
设有x位学生参加考察．
按方案一购票费用为：
25×
88%（10+x）＝22x+220
按方案二购票费用为：
20×
25+25×
80%（x+10-20）＝20x+300
（1）当x＝30时：
22x+220＝660+220＝880（元）
20x+300＝600+300＝900（元）
当有30位学生参加考察，选择方案一更省钱．
（2）设22x+220＝20x+300，解得：
x＝40
参加考察的学生人数为40人时，两种方案车费一样多．
【典型例题（拓展）】
1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
【答案与解析】
设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：
x（1-25%）（1-40%）+1=25%x+（1-25%）x×
40%.
解得：
x=10.
油箱里原有汽油10公斤.
【总结升华】等量关系为：
油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.
【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?
一共展出了多少张邮票?
设这个班有x名学生，根据题意得：
3x+24＝4x-26
x＝50.
所以3x+24＝3×
50+24＝174（张）.
这个班有50名学生，一共展出了174张邮票．
1.车过桥问题
2.某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．
【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．
设火车车身长为xm，根据题意，得：
x＝300，
所以
火车的长度是300m，车速是30m/s．
【总结升华】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下（注：
A点表示火车头）：
（1）火车从上桥到完全过桥如图
（1）所示，此时火车走的路程是桥长+车长．
（2）火车完全在桥上如图
（2）所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．
【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？
设从第一排上桥到排尾离桥需要x分钟，列方程得：
x＝3
从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．
3．小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.
设A、B两地间的路程为x千米，由题意得：
108．
A、B两地间的路程为108千米.
【总结升华】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变，进而A、B的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程．
【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，求A、B两站间的距离.
设A、B两站间的距离为xkm，由题意得：
x=122
A、B两站间的距离为122km.
4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了
，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度．
设卡车的速度为x千米/时，由题意得：
x=24
卡车的速度为24千米/时．
【总结升华】采用“线示”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间．
4.航行问题（顺逆流问题）
5．盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时．已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B两地间的距离．
【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：
（1）C地在A、B之间；
（2）C地在A地上游．
设A、B两地间的距离为x千米．
（1）当C地在A、B两地之间时，依题意得：
解这个方程得：
x＝20．
（2）当C地在A地上游时，依题意得：
A、B两地间的距离为20千米或
千米．
【总结升华】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图（如下图所示），然后利用“共乘”4小时构建方程求解．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．
5.环形问题
6．（2015春•海南校级月考）甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？
若背向跑，几分钟后相遇？
【思路点拨】在环形跑道上两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：
甲路程﹣乙路程=400，两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：
甲路程+乙路程=400．
设二人同时同地同向出发，x分钟后二人相遇，则：
240x﹣200x=400，
x=10．
设两人背向而行，y分钟后相遇，则：
240y+200y=400，
y=
二人同时同地同向出发，10分钟后二人相遇；
若背向跑，
分钟后相遇．
【总结升华】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：
甲路程+乙路程=环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：
甲路程﹣乙路程=环形跑道的长度．
【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?
设乙追上甲用了x分钟，则有：
72x-65x＝3×
90．
（m）．
乙第一次追上甲时走了2777m，此时乙在AD边上．
7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；
单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?
设再过x小时可把水注满．由题意得：
打开丙管后
小时可把水放满．
【总结升华】相等关系：
甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．
（2015春•沙坪坝区期末）一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成，甲先单独做9小时，后因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，那么乙还要多少小时完成？
设乙还要x小时完成，根据题意得：
x=4．
余下的任务由乙单独完成，那么乙还要4小时完成．
类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）
8．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5m3或运土3m3，为了使挖出的土及时被运走，问：
应如何安排挖土和运土的工人?
设安排x人挖土，则运土的有（120-x）人，依题意得：
5x＝3（120-x）．
解得x＝45．
120-45＝75（人）．
应安排45人挖土，75人运土．
【总结升华】用同一未知数表示挖土数与运土数，等量关系：
挖土与运土的总立方米数应相等．
【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克2
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