谈简易逻辑中命题的否定Word文件下载.docx

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（1）是有理数。

（2）菱形的对角线互相垂直。

　　（3）N{xR︱x＞–2}.

　　（4）方程=1没有实数根。

　　解:

（1）的否定：

不是有理数。

或者是并非是有理数。

（2）的否定：

菱形的对角线不互相垂直。

　　（3）的否定：

N{xR︱x＞–2}。

　　（4）的否定：

方程=1有x≠3的实数根。

2复合命题“P且q”；

“P或q”形式的否定。

　　给定命题P、q，用联结词“且”来构成的复合命题“P且q”叫做命题P、q的合取命题（也叫联言命题）。

记作Pq.用联结词“或”来构成的复合命题“P或q”叫做命题P、q的析取命题（也叫选言命题）。

记作Pq。

它的否定可以通过真值表来：

（“1”表示真，“0”表示假）

　　PqPqPq┓（Pq）┓（Pq）┓P┓q┓P┓q

　　11110000

　　10011001

　　01011001

　　00001111

从表可知：

┓（Pq）与┓P┓q的真值相同；

┓（Pq）与┓P┓q的真值相同，故它们分别是等价命题，因而我们认为“P且q“的否定为：

“非P或非q”；

“P或q”的否定为“非P且非q”。

用符号语言表示：

　　┓（Pq）=┓P┓q┓（Pq）=┓P┓q

　　从而知命题“Pq”和“Pq”的否定：

既否定命题P,q;

又改变联结词。

　　例2写出下列命题的否定。

（1）a=±

5。

（2）f（x）=0既是奇函数又是偶函数。

　　（3）5是10的约数且是15的约数。

　　（4）2+2=5或3<

2。

　　（5）AB∥CD

　　（6）a,b都是0。

　　解

（1）的否定：

a≠5且a≠–5。

（原命题属于P或q型）

f（x）不是奇函数或不是偶函数。

（原命题属于P且q型）

5不是10的约数或5不是15的约数。

2+2≠5且3≥2。

　　（5）的否定：

AB∥CD或AB≠CD。

　　（6）的否定：

“a,b不都是0”或者“a≠0或b≠0”。

　　可见回应了原命题与其否定命题是一对矛盾命题。

　　3复合命题“若P则q”形式的否定。

　“若P则q”（记作Pq）型命题的否定实质上较复杂，但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题，是具有真假性的命题，不能区分真假性的命题不作研究。

当语句P和q能判断其真假时就成为命题，那么“若P则q”就是逻辑中的蕴涵关系，其否定形式不妨用真值表来解决。

（用“1”表示真，“0”表示假）

　　Pq┓qPq┓Pq┓（Pq）P（┓q）P（┓q）

　　11011000

　　10100111

　　00111001

　　从表可知，“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同，故是等价命题。

我们就此认为：

命题”若P则q”的否定为“P且非q”，且习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”.用符号语言表示：

　　┓（Pq）=P（┓q）或┓（Pq）=┓（┓Pq）=P（┓q）

　　例3写出下列命题的否定。

（1）若x2+y2=0，则x,y全为0。

（2）若x=2或x=–1则x2-x-2=0.

　　（3）若集合B真包含集合A，则集合A包含于集合B。

　　解：

虽然x2+y2=0，但是x和y不全为0。

（2）的否定：

虽然x=2或x=–1，但x2-x-2≠0.。

　　（3）的否定：

尽管集合B真包含集合A，然而集合A不包含于集合B。

　　但在教学中发现有些师生把例3的答案写成：

（1）若x2+y2=0，则x,y不全为0。

（2）若x=2或x=–1，则x2-x-2≠0.是不对的。

它误把若P则q的否定命题认为是“条件P不变，结论q否定，且联结词不变的命题”。

即为┓（Pq）=P（┓q）。

实际上，原命题与否定命题应属于矛盾命题，而“若P则非q”与“若P则q”构成对立关系的命题；

另方面从真值表可知，当P为假时，它们的真值都为真，故不可成为矛盾命题，因此┓（Pq）≠P（┓q）例如“若2是奇数，则7是奇数”与“若2是奇数，则7不是奇数”都为真命题。

希教学中切实注意它们的区别。

4含量词命题的否定。

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“”与“”来表示）；

由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。

那么它的否定又怎么样？

　　一般地，全称命题P：

xA,有P（x）成立；

其否定命题┓P为：

xA,

　　使P（x）不成立。

存在性命题P：

xA,使P（x）成立;

其否定命题┓P为：

xA,有P（x）不成立。

　　非（（x）p（x））=（x）非p（x）非（（x）p（x））=（x）非p（x）

　　在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。

即须遵循下面法则：

否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

　　例4写出下列命题的否定。

（1）所有自然数的平方是正数。

（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。

　　（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.

　　（4）有些质数是奇数。

　解；

有些自然数的平方不是正数。

存在实数x不是方程5x-12=0的根。

存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

所有的质数都不是奇数。

　　但解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。

在求解中极易误当为简单命题处理；

这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

　　例5写出下列命题的否定。

（1）若x2＞4则x＞2.。

（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

　　（3）可以被5整除的整数，末位是0.。

　　（4）被8整除的数能被4整除。

　　（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

　　解

（1）的否定：

存在实数x0，虽然满足x02＞4但x0≤2.。

或者说：

存在小于或等于2的数x0，满足x02＞4。

（完整表达为对任意的实数x,若x2＞4则x＞2）

虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x02+x0-m=0无实数根。

（原意表达：

对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

）

存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.。

　　（4）的否定：

存在一个数能被8整除，但不能被4整除.（原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除）

　　（5）的否定：

存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。

（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。

由此看来，要准确表达含量词命题的否定，就要求我们掌握好一些词语的否定如下表：

词语 

是 

一定是 

都是 

大于 

小于 

且

词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或

必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立

词语的否定一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立

5命题的否定与否命题的区别。

命题的否定与否命题是完全不同的概念。

其理由：

一，任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；

而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。

二，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；

而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

如下面真值表可知：

　　Pq┓p┓q”Pq┓p┓q”

　　110011

　　100101

　　011010

　　001111

　　三，原命题“若P则q”的形式，它的否定命题在前面已讲过；

而它的否命题为“若非P，则非q”，（记为“若┓p，则┓q”）即是说既否定条件又否定结论。

例6写出下列命题的否定命题与否命题。

并判断其真假性。

（1）若x＞y,则5x＞5y。

（2）若x2+x﹤2,则x2-x﹤2。

　　（3）正方形的四条边相等。

　　（4）已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

　　解：

x,y（x＞y且5x≤5y）。

假命题

　　否命题：

Vx,y（x≤y5x≤5y）。

真命题

　　（原命题为：

Vx,y（x＞y5x＞5y）。

真命题）

x（x2+x﹤2,且x2-x≥2）。

真命题

Vx（x2+x≥2,x2-x≥2）。

假命题

Vx（x2+x﹤2,x2-x﹤2）。

假命题）

存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等。

若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。

　　（原命题是真命题。

看例5（5））

存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。

已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。

对任意的实数a,b,若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0真命题）

在教学中，务必理清各类型命题形式结构，性质关系。

才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。