精品外文文献翻译译稿和原文文档格式.docx
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系统的状态可以用一个元素为实数的向量表示。
随着离散时间的每一个增加，这个线性算子就会作用在当前状态上，产生一个新的状态，并也会带入一些噪声，同时系统的一些已知的控制器的控制信息也会被加入。
同时，另一个受噪声干扰的线性算子产生出这些隐含状态的可见输出。
卡尔曼滤波是一种递归的估计，即只要获知上一时刻状态的估计值以及当前状态的观测值就可以计算出当前状态的估计值，因此不需要记录观测或者估计的历史信息。
卡尔曼滤波器与大多数滤波器不同之处，在于它是一种纯粹的时域滤波器，它不需要像低通滤波器等频域滤波器那样，需要在频域设计再转换到时域实现。
卡尔曼滤波器的状态由以下两个变量表示：
，在时刻k的状态的估计；
，误差相关矩阵，度量估计值的精确程度。
卡尔曼滤波器的操作包括两个阶段：
预测与更新。
在预测阶段，滤波器使用上一状态的估计，做出对当前状态的估计。
在更新阶段，滤波器利用对当前状态的观测值优化在预测阶段获得的预测值，以获得一个更精确的新估计值。
预测
（预测状态）
（预测估计协方差矩阵）
更新
首先要算出以下三个量：
（测量余量，measurementresidual）
（测量余量协方差）
（最优卡尔曼增益）
然后用它们来更新滤波器变量x与P：
（更新的状态估计）
（更新的协方差估计）
使用上述公式计算
仅在最优卡尔曼增益的时候有效。
使用其他增益的话，公式要复杂一些
不变量（Invariant）
如果模型准确，而且
与
的值准确的反映了最初状态的分布，那么以下不变量就保持不变：
所有估计的误差均值为零
且协方差矩阵准确的反映了估计的协方差：
请注意，其中
表示
的期望值,
。
实例
考虑在无摩擦的、无限长的直轨道上的一辆车。
该车最初停在位置0处，但时不时受到随机的冲击。
我们每隔Δt秒即测量车的位置，但是这个测量是非精确的；
我们想建立一个关于其位置以及速度的模型。
我们来看如何推导出这个模型以及如何从这个模型得到卡尔曼滤波器。
因为车上无动力，所以我们可以忽略掉Bk和uk。
由于F、H、R和Q是常数，所以时间下标可以去掉。
车的位置以及速度（或者更加一般的，一个粒子的运动状态）可以被线性状态空间描述如下：
其中
是速度，也就是位置对于时间的导数。
我们假设在（k
−
1）时刻与k时刻之间，车受到ak的加速度，其符合均值为0，标准差为σa的正态分布。
根据牛顿运动定律，我们可以推出
且
我们可以发现
（因为σa是一个标量）。
在每一时刻，我们对其位置进行测量，测量受到噪声干扰。
我们假设噪声服从正态分布，均值为0，标准差为σz。
如果我们知道足够精确的车最初的位置，那么我们可以初始化
并且，我们告诉滤波器我们知道确切的初始位置，我们给出一个协方差矩阵：
如果我们不确切的知道最初的位置与速度，那么协方差矩阵可以初始化为一个对角线元素是B的矩阵，B取一个合适的比较大的数。
此时，与使用模型中已有信息相比，滤波器更倾向于使用初次测量值的信息。
§
推
推导后验协方差矩阵
按照上边的定义，我们从误差协方差
开始推导如下：
代入
再代入
整理误差向量，得
因为测量误差vk与其他项是非相关的，因此有
利用协方差矩阵的性质，此式可以写作
使用不变量Pk|k-1以及Rk的定义这一项可以写作：
这一公式对于任何卡尔曼增益Kk都成立。
如果Kk是最优卡尔曼增益，则可以进一步简化，请见下文。
最优卡尔曼增益的推导
卡尔曼滤波器是一个最小均方误差估计器，后验状态误差估计（英文：
aposteriori
stateestimate）是
我们最小化这个矢量幅度平方的期望值，
，这等同于最小化后验估计协方差矩阵Pk|k的迹（trace）。
将上面方程中的项展开、抵消，得到：
当矩阵导数是0的时候得到Pk|k的迹（trace）的最小值：
此处须用到一个常用的式子，如下：
从这个方程解出卡尔曼增益Kk：
这个增益称为最优卡尔曼增益，在使用时得到最小均方误差。
后验误差协方差公式的化简
在卡尔曼增益等于上面导出的最优值时，计算后验协方差的公式可以进行简化。
在卡尔曼增益公式两侧的右边都乘以SkKkT得到
根据上面后验误差协方差展开公式，
最后两项可以抵消，得到
.
这个公式的计算比较简单，所以实际中总是使用这个公式，但是需注意这公式仅在使用最优卡尔曼增益的时候它才成立。
如果算术精度总是很低而导致数值稳定性出现问题，或者特意使用非最优卡尔曼增益，那么就不能使用这个简化；
必须使用上面导出的后验误差协方差公式。
自适应滤波器是能够根据输入信号自动调整性能进行数字信号处理的数字滤波器。
作为对比，非自适应滤波器有静态的滤波器系数，这些静态系数一起组成传递函数。
对于一些应用来说，由于事先并不知道所需要进行操作的参数，例如一些噪声信号的特性，所以要求使用自适应的系数进行处理。
在这种情况下，通常使用自适应滤波器，自适应滤波器使用反馈来调整滤波器系数以及频率响应。
总的来说，自适应的过程涉及到将代价函数用于确定如何更改滤波器系数从而减小下一次迭代过程成本的算法。
价值函数是滤波器最佳性能的判断准则，比如减小输入信号中的噪声成分的能力。
随着数字信号处理器性能的增强，自适应滤波器的应用越来越常见，时至今日它们已经广泛地用于手机以及其它通信设备、数码录像机和数码照相机以及医疗监测设备中
假设医院正在监测一个患者的心脏跳动，即心电图，这个信号受到50
Hz
（许多国家供电所用频率）噪声的干扰
剔除这个噪声的方法之一就是使用50Hz的陷波滤波器（en:
notchfilter）对信号进行滤波。
但是，由于医院的电力供应会有少许波动，所以我们假设真正的电力供应可能会在47Hz到53Hz之间波动。
为了剔除47到53Hz之间的频率的静态滤波器将会大幅度地降低心电图的质量，这是因为在这个阻带之内很有可能就有心脏跳动的频率分量。
为了避免这种可能的信息丢失，可以使用自适应滤波器。
自适应滤波器将患者的信号与电力供应信号直接作为输入信号，动态地跟踪噪声波动的频率。
这样的自适应滤波器通常阻带宽度更小，这就意味着这种情况下用于医疗诊断的输出信号就更加准确。
扩展卡尔曼滤波器
在扩展卡尔曼滤波器（ExtendedKalmanFilter，简称EKF）中状态转换和观测模型不需要是状态的线性函数，可替换为（可微的）函数。
函数f可以用来从过去的估计值中计算预测的状态，相似的，函数h可以用来以预测的状态计算预测的测量值。
然而f和h不能直接的应用在协方差中，取而代之的是计算偏导矩阵（Jacobian）。
在每一步中使用当前的估计状态计算Jacobian矩阵，这几个矩阵可以用在卡尔曼滤波器的方程中。
这个过程，实质上将非线性的函数在当前估计值处线性化了。
这样一来，卡尔曼滤波器的等式为：
使用Jacobians矩阵更新模型
如同扩展卡尔曼滤波器（EKF）一样,UKF的预测过程可以独立于UKF的更新过程之外，与一个线性的（或者确实是扩展卡尔曼滤波器的）更新过程合并来使用；
或者，UKF的预测过程与更新过程在上述中地位互换亦可。
外文文献翻译原文1
Kalmanfiltering,alsoknownas
linearquadraticestimation
（LQE）,isan
algorithm
thatusesaseriesofmeasurementsobservedovertime,containing
noise
（randomvariations）andotherinaccuracies,andproducesestimatesofunknownvariablesthattendtobemoreprecisethanthosebasedonasinglemeasurementalone.Moreformally,theKalmanfilteroperates
recursively
onstreamsofnoisyinputdatatoproduceastatisticallyoptimal
estimate
oftheunderlying
systemstate.Thefilterisnamedafter
Rudolf（Rudy）E.Ká
lmá
n,oneoftheprimarydevelopersofitstheory.
TheKalmanfilterhasnumerous
applications
intechnology.Acommonapplicationisfor
guidance,navigationandcontrol
ofvehicles,particularlyaircraftandspacecraft.Furthermore,theKalmanfilterisawidelyappliedconceptin
timeseries
analysisusedinfieldssuchas
signalprocessing
and
econometrics.KalmanfiltersalsoareoneofthemaintopicsinthefieldofRoboticmotionplanningandcontrol,andsometimesincludedin
Trajectoryoptimization.
Thealgorithmworksinatwo-stepprocess.Inthepredictionstep,theKalmanfilterproducesestimatesofthecurrentstatevariables,alongwiththeiruncertainties.Oncetheoutcomeofthenextmeasurement（necessarilycorruptedwithsomeamountoferror,includingrandomnoise）isobserved,theseestimatesareupdatedusinga
weightedaverage,withmoreweightbeinggiventoestimateswithhighercertainty.Becauseofthealgorithm'
srecursivenature,itcanrunin
realtime
usingonlythepresentinputmeasurementsandthepreviouslycalculatedstateanditsuncertaintymatrix;
noadditionalpastinformationisrequired.
ItisacommonmisconceptionthattheKalmanfilterassumesthatallerrortermsandmeasurementsareGaussiandistributed.Kalman'
soriginalpaperderivedthefilterusingorthogonalprojectiontheorytoshowthatthecovarianceisminimized,andthisresultdoesnotrequireanyassumption,e.g.,thattheerrorsareGaussian.[1]
HethenshowedthatthefilteryieldstheexactconditionalprobabilityestimateinthespecialcasethatallerrorsareGaussian-distributed.
Extensionsandgeneralizationstothemethodhavealsobeendeveloped,suchasthe
extendedKalmanfilter
andthe
unscentedKalmanfilter
whichworkonnonlinearsystems.Theunderlyingmodelisa
Bayesianmodel
similartoa
hiddenMarkovmodel
butwherethestatespaceofthe
latentvariables
iscontinuousandwherealllatentandobservedvariableshaveGaussiandistributions.
TheKalmanfiltersarebasedonlineardynamicsystemsdiscretizedinthetimedomain.TheyaremodelledonaMarkovchainbuiltonlinearoperatorsperturbedbyerrorsthatmayincludeGaussiannoise.Thestateofthesystemisrepresentedasavectorofrealnumbers.Ateachdiscretetimeincrement,alinearoperatorisappliedtothestatetogeneratethenewstate,withsomenoisemixedin,andoptionallysomeinformationfromthecontrolsonthesystemiftheyareknown.Then,anotherlinearoperatormixedwithmorenoisegeneratestheobservedoutputsfromthetrue（"
hidden"
）state.TheKalmanfiltermayberegardedasanalogoustothehiddenMarkovmodel,withthekeydifferencethatthehiddenstatevariablestakevaluesinacontinuousspace（asopposedtoadiscretestatespaceasinthehiddenMarkovmodel）.
TheKalmanfilterisa
recursive
estimator.Thismeansthatonlytheestimatedstatefromtheprevioustimestepandthecurrentmeasurementareneededtocomputetheestimateforthecurrentstate.Incontrasttobatchestimationtechniques,nohistoryofobservationsand/orestimatesisrequired.Inwhatfollows,thenotation
representstheestimateof
attime
n
givenobservationsupto,andincludingattime
m≤n.
Thestateofthefilterisrepresentedbytwovariables:
∙
the
stateestimateattime
k
givenobservationsuptoandincludingattime
k;
errorcovariancematrix（ameasureoftheestimated
accuracy
ofthestateestimate）.
TheKalmanfiltercanbewrittenasasingleequation,howeveritismostoftenconceptualizedastwodistinctphases:
"
Predict"
and"
Update"
.Thepredictphaseusesthestateestimatefromtheprevioustimesteptoproduceanestimateofthestateatthecurrenttimestep.Thispredictedstateestimateisalsoknownasthe
apriori
stateestimatebecause,althoughitisanestimateofthestateatthecurrenttimestep,itdoesnotincludeobservationinformationfromthecurrenttimestep.Intheupdatephase,thecurrent
predictioniscombinedwithcurrentobservationinformationtorefinethestateestimate.Thisimprovedestimateistermedthe
stateestimate.
Typically,thetwophasesalternate,withthepredictionadvancingthestateuntilthenextscheduledobservation,andtheupdateincorporatingtheobservation.However,thisisnotnecessary;
ifanobservationisunavailableforsomereason,theupdatemaybeskippedandmultiplepredictionstepsperformed.Likewise,ifmultipleindependentobservationsareavailableatthesametime,multipleupdatestepsmaybeperformed（typicallywithdifferentobservationmatrices
Hk）.[14][15]
Predict
Predicted（apriori）stateestimate
Predicted（apriori）estimatecovariance
Update
Innovationormeasurementresidual
Innovation（orresidual）covariance
Optimal
Kalmangain
Updated（aposteriori）stateestimate
Updated（aposteriori）estimatecovariance
TheformulafortheupdatedestimateandcovarianceaboveisonlyvalidfortheoptimalKalmangain.Usageofothergainvaluesrequireamorecomplexformulafoundinthe
derivations
section.
Invariants
Ifthemodelisaccurate,andthevaluesfor
accuratelyreflectthedistributionoftheinitialstatevalues,thenthefollowinginvariantsarepreserved:
（allestimateshaveameanerrorofzero）
where
isthe
expectedv
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