光散射的基本理论Word格式文档下载.docx
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（三）单粒子散射的物理理论：
我们现在不分析任何具体粒子也不进行任何运算，只是先对微粒散射的物理性质进行一下定性的理解。
考虑一个任意的粒子，概念上将其分成许多小区（见图X.2）。
所加的震
荡场（例如，一束入射的电磁波）会使得每个小区都会被极化。
形成的极子都将按入射场的频率作震荡，并且向四周辐射次波。
在一个特别的方向（即,在粒子的远场区处某点P）处，
总的散射场可通过把散射的小波进行叠加而得到，此时要考虑到这些小波的相位差一一因为双极子的散射是相干的。
一般来讲，在不同方向上相位关系是不同的；
因此，我们可想到散射场会随散射方向变化。
如果所考察的粒子尺寸比波长小，所有的次波将近似同相；
对这样的粒子，我们认为散射情况不会随方向有太大不同（而实际情况也的确如此）。
不过,随着粒子尺寸的增大，散射波束的相互增强和减弱的趋势也将相应明显。
进而，粒子尺寸越大，散射图形上的波峰和波谷也就越明显。
粒子的形状也是一个重要的问题一一如果图X.2的粒子被扭曲，所有的相位关系，进而散射模式都将发生变化。
散射波束的相位关系取决于如下几何因素：
散射方向，微粒大小及微粒形状。
但是，被激发的极子振动的相位和振幅取决于微粒的物质构成。
这样，为了完整理解小粒子的散射和吸收，我们就需要知道物体对电磁场的反应是怎样的。
图£
2
ThetotalscatteredfieldatPistheresultantofallthewaveletsscatteredbytheregionsintowhichtheparticleissubdivided
（四）粒子群（COLLECTIONSOFPARTICLES）对电磁波的散射：
若各粒子随机分布，此时处理方法便可用非相干散射；
该方法适用于各粒子的散射在相位上没有系统关系的情况一一粒子群散射即为各粒子的散射相加的结果。
第一章简明电磁场理论
1.1电磁场矢量及麦克斯韦方程组
从宏观的角度来探讨粒子对电磁波的散射和吸收，此时物质内部的Maxwell方程，便
可用SI单位制写作：
-戲
可B=0,一
--FD
gHJ+空I显
（1.1）
其中，E和B分别为电、磁感应强度。
电位移D和磁场强度H定义如下:
D=；
0EP，
（1.2）
（1.3）
其中，P为电极化强度（单位体积的平均电极矩数目）、M为磁化强度（单位体积的平均磁极矩数目）、和％分别为真空中的电容率和磁导率。
（1）式中的4和Jf分别为自由电荷密度和传导电流密度。
以上这些方程并非完备的，还要加上辅助方程：
Jf'
E，
（1.4）
（1.5）
（1.6）
其中，二为导电率，丄为介质中的磁导率，为介质的极化率。
这三个量均与介质有关。
但如果在线性介质中，它们将与场的情况无关；
如果在均匀介质中，它们将与其位置无关;
如果在各向同性介质中，它们将与方向性无关。
其中一类特殊的研究对象为没极化的物质，即P=0。
但当其被置入外场中时，如时谐场，它就会被极化一一电磁场会激起净极矩。
对一线性、均匀、同性介质，由（1.6）式可知是物质被极化容易程度的量度；
它同时还
描述物质的极化对场的反应。
实际上与频率有一定的关系，而为了所讨论问题的方便，
在以后的分析中假定它们均与入射光的频率无关。
1.2时谐电磁场
时谐电磁场的一般形式为:
F二AcostBsint,（1.7）
其中，••为角频率。
实矢量A和B是与时间无关的，但却可能与其位置有关。
若给出
Fc二Cexp（-i「t）,C二A•iB，则可将电磁场F写作：
F二Re{Fc}。
此时，麦克斯韦方程
（1）便可写为如下形式：
-V屋）=0,
（1.8）
』可兀匚二也uHc,
IjHc=0,_
'
匕--i；
Ec,
其中，；
=；
0（1•）•i—为复电容率。
在自由空间中，即无自由电荷时，、；
=0，这也为
co
横向电磁场的一般情况。
在自由空间中，讨论时谐电磁场时，通常会使用式（1.8）中的电磁场方程形式。
但为了描述和书写方便，将省略下标“c”，而仍是使用复数形式。
1・3电磁场的极化
平面电磁波除了频率和辐射的特性外，还有另一特别重要的特性，即极化或偏振状态。
考虑在无吸收的介质中，一沿z轴传播的，角频率为■＞波数为k的平面波。
当讨论极化问题时，通常的做法是重点分析电场E:
E=Re{Ec}=Re{（AiB）exp（ikz-it）}二Acos（kz-t）-Bsin（kz-t），（1.9）
其中，实矢量A和B与位置无关。
考虑一特殊的平面，为方便起见可令z=0，电
场的端点便画出一个椭圆：
E（z=0）=AcostBsint。
（1.10）
如果A=0（或B=0），振动的椭圆即变为一条直线，这种现象为“线极化”（也称
“平面极化”）；
此时矢量B（或A）即确定了平面波的极化方向。
如果
AB=0，则振动椭圆变为正圆：
此时的平面波被称为“圆极化”。
一般情况下，考虑的平面波为椭圆极化的。
当然，对一椭圆偏振光来说，振动椭圆的振动方向可能为顺时针，也可能为逆时针；
不过，这种区别并无绝对的界限，而只是与观察方向有关。
但这两种观察方法却产生了两种不同的“观察系”，而在以后的分析中，将采用“右手系”，即以AB为旋转方向。
我们将主要讨论平面波的极化状态不会在其中改变的介质，尽管其实很多的介质并不具有这种性质。
1.3.1斯托克斯参量
斯托克斯参量可同样很好地描述偏振光。
任意的一个平面波可表示成互相垂直的两分量的叠加：
例如，这两分量可以一个为水平极化另一为垂直极化；
也可以为一个右旋圆极化另一左旋圆极化等等。
当然这种分解并
非一个单纯的数学问题，在物理上也有利于简化分析和计算一一只计算出一个线极化，再利用该结果经过适当变换和叠加，而能用来处理任意极化的电磁波。
考虑用一束任意的平面波来照射如下的一套假想的光学装置，其中P为偏振片（见图
1.1）。
若认为测光器的测量结果与光的偏振状态无关，并且P为理想偏振片：
这样它们便
既不会影响入射波的偏振状态，也不会被入射波的偏振状态所影响。
其中电场形式如下：
E二E°
exp（ikz-i，t）;
E。
二Ej?
_，
Eh=aHe±
;
J|；
E_=a_e「—。
为分析问题方便，定义斯托克斯参量（I,Q,U,V）如下：
（1.11）
I=E||E|：
+E丄EAaf+al』Q=E||E：
—a]
U=E^E^+E丄E：
=2玄尼丄cos§
，
V=i（E||E_-E_E||）=2aa_sin「，
其中，相位差、：
一』-、」
注意到在（1.11）式中略去了因子k/2y：
.L0，这因为在测量或分析该类问题时，通常考虑相对辐射强度而不是绝对辐射强度。
斯托克斯参量和椭圆参量的关系如下：
（1.12）
I=c2,』Q=c2cos^cos2s
U=c2cos2Hsin2；
V=c2sin"
其中，c2二a2b2=（半长轴长）2（半短轴长）2，为由？
向长轴作顺时针旋转所成的角
bTT7T
（0乞丫兰兀），|ta门口|=—（为椭圆率）（一一兰11兰—）。
a44
V的符号确定振动椭圆的旋转方向：
正号表示右旋，负号表示左旋。
还可得到关系式:
tan2=U，ta2^=,V-。
QJq2+u2
这样，斯托克斯参量就完全具有了椭圆参量的功能，尽管它们没后者直观，但却具有了所有参量均能由直接可测的量表示的形式。
Q和U与水平极化和垂直极化的方向的选取有
关。
如果将基矢？
和［进行・角的旋转（见图1.2），与旋转后的轴£
和尹相对应的斯托克斯参量（l'
Q'
U'
V'
）与原来的斯托克斯参量的关系如下：
表2.1一些极化电磁波的斯托克斯参量
1.线极化:
90:
弋=
v—►
■1、
（1、
1
-1
cos2?
sin2
1。
丿
W丿
卩•丿
I0丿
<
0丿
2.圆极化:
右旋（J）
左旋（Q）
J丿
L1」
从（1.12）和（1.13）两式可以看出，斯托克斯参量中，有三个量（或关系）是不随参考方向
的旋转变化的，即：
I，Q2U2及V与或角无关。
还有，这四个斯托克斯参量也并非是完全线性无关的，它们满足关系：
I^Q2U2V2。
一些特殊情况的斯托克斯参量
可参见（表2.1），其中的辐射参量I已经被归一化
1.3.2缪勒（Mueller）矩阵
Mueller在1948提出的缪勒矩阵正好描述了代表入射的和被作用的电磁波的斯托克斯向量之间的关系。
作为一个例子，可考虑理想线性偏振片的缪勒矩阵。
当通过这个传输系统时，电磁波的振幅并不会改变，但是只有振动方向平行于偏振片的透光方向（透光轴）的电场才能通过此时，入射场与透射场的关系为：
一些代数运算，可以由上式得到，理想线性偏振片的缪勒矩阵为:
该线性偏振片所传递的辐射为：
I^-（IiQicos^Uisin2J
2
这样，当偏振片旋转时，■将随着发生变化，进而辐射It也将变化。
•二和•二
分别对应于辐射It取最大和最小值（其中，tan2二Ui/Q」，即：
（1.15）
Ima^2（IiQiCO2Uisi12），
Imi产（Ii-QiCo2-Uisi12），
因此，通过在任意光束中旋转一个线性偏振片，测量出所穿过的辐射的最大和最小值，就可以不经过考虑V参量的值而直接得出入射光的线极化程度。
一个理想的线性玻片将会把一个给定的入射波矢量（电场矢量），分成相互正交的两线
极化的分量E1和E2，并在该两分量间产生相位差--2；
辐射强度不会改变。
于是，
入射场各分量与通过该波片的透射场的分量间的关系为：
其中，B为？
和？
之间的夹角（见图1.3）。
通过计算，由（1.16）式可以得到理想线性玻片的缪勒矩阵为：
*1000'
22
（1.17）
0C+ScosSC（1—cos）—Ssin
0sc（1—cos）s+ccosCsin
vQSsin-Csincos}
其中，C=cos2-，S=sin「：
，相位减慢：
--：
缪勒矩阵为我们提供了考察一束极化方向任意的入射波通过一个光学元件后的极化状态的一种简单的方法。
并且，如果置于入射光束中的为一系列光学元件时，这些元件的总合效应便可以通过相乘它们的缪勒矩阵而获得。
作为一个例子，考虑如何利用一个线偏振片和一个线性玻片来组合成一个圆偏振片。
光束先沿着水平传输轴c=0）照射到一个线偏振片上，由（1.14）式即可得到该情况下的缪勒矩阵为：
巾10
（1.18）
1110
2000
I。
00
然后，穿过偏振片（1.18）的光束再照射到一个：
=90，-45的玻片上，该玻片的缪勒矩
阵由（1.17）式可得:
‘1000
。
该偏振片和玻片的组合效应即可通过矩阵相乘获得,
0丿
即:
这样，如果一没有极化的平面波，甚至极化方向任意的平面波照射到一个用（1.19）式描述的光学系统上时，透射波将变为完全（100%）右旋的圆极化。
鉴于矩阵相乘不满足交换率，在进行矩阵相乘时要特别注意它们的组合顺序，否则不免会得不偿失。
第二章任意单个粒子的吸收和散射
2.1散射问题的公式化
讨论粒子散射时，要解决的一般问题是：
对由极化方向任意的平面电磁波照射的有确定大小、形状和光学特性的粒子，能给出粒子周围均匀介质中任意一点的电磁场及粒子内部任意一点的电磁场。
尽管讨论仅限于平面时谐电磁波，不过因为任意的电磁场均可进行傅立叶分解，而分解为平面时谐波的叠加，所以通过一些数学处理可将结论用于更广泛的领域。
在本章的分析中，将用（Ei,Hj表示入射场，用（Es,Hs）表示散射场，用（Ei,Hj来表示粒子的内场，用乍2屮2）来表示粒子周围介质中总的外场。
那么，有（见图2.1）：
E^EiEs，H^HiHs，
k为介质中的波矢，其大小
其中，Ei=E°
expikx—it），巴=H°
expikx-rt），
k，'
为介质中的波长）
九
这些电磁场矢量满足麦克斯韦方程组，即：
（2.1）
”VE=0,
』灯屮=0,_
]—E，
、H二-i；
E,
；
和J在任意点均为连续的。
由（2.1）式可得
如果使用矢量的旋度公式:
可汉（可xE）=i^4可xH=如2e^E，
巴xh）=—何名帝xE=国2屮H，
、、（、、A）='
、CA）_ICA）='
、、CA）-I2A，并考虑到k2=「2门及自由空间的电磁场为无源场，就可以得到:
可2E+k2E=0,可2H+k2H=0,（2.2）0
当然，这并不保证E的分量均能满足亥姆霍兹方程（标量波动方程）；
但在正交笛卡儿坐标系下，可以得出E和H的分量形式满足标量方程：
宀•疋-：
=0。
这也正是我们通常所
使用的坐标系。
2.1.1边界条件
已知麦克斯韦方程组中的；
和」在任意点均为连续的，然而当电磁波穿过小球的边
界（即小球与周围介质的交界面）时，在小球的内外边界处；
和■的特性一般会有很大的
不同。
而这种变化是在原子厚度的尺度的交界面上发生的一一也就是说，在宏观上讲，边界处的；
和"
■是不连续的。
于是，在该类边界点，需要对电磁场方程强加上如下边界条件：
此边界条件要求，在边界处E和H的切向分量是连续的。
对这类问题，可通过考虑如下图所示的边界分析进行解决。
考虑如此一个闭合的小球表面A（对A周围区域的特性没有限制），它将空间区域分成图示的两部
分，表面A内外所传播的电磁能可分别写为如下的形式：
aSir?
dA=A彳（EiHi）dA，（2.4）
S2r?
dA二？
（E2H2）dA，（2.5）
AA
如果加上边界条件（2.3）,即卩E2?
=巳？
和H2?
=Hi?
，利用混合积公式
A（BC）二B（CA）二C（AB），积分式（2.4）和（2.5）可以写作：
ASir?
dA=.AHi（i?
EJdA=.aHi（i?
E2）dA，
aS2r?
dA「aE2（H2i?
）dA=.AE2（Hir?
）d^AHi（i?
E2）dA。
可见，在边界A上没有产生或吸收电磁能的源或沟，即，SiIdA二S2?
dA。
因此，在
*ALA
穿越不连续边界时，电磁场的切向连续条件就是边界处电磁能保守的充分边界条件。
我们的基本任务是通过使用边界条件（2.3）式，根据麦克斯韦方程（2.1）式，求出微粒内外的合理的解。
这一结果的可行性，其实是基于麦克斯韦方程及边界条件均为线性的。
至此，我们已较充分认识到，极化方向任意的平面波可表示为任意两相互正交的线极化的叠加。
因此，对任意给定传播方向的极化方向任意的平面波，可通过计算两个相互正交的线极化电磁波，得以求解。
2.2振幅散射矩阵
考虑一个被平面波照射的任意粒子（见图2.3），定义入射波的传播方向为z轴（或者说,研究入射方向沿z轴的入射波）；
那么z轴方向即为通常所说的“前向”。
^2,3
原则上，粒子上的任意点均可被定义为笛卡儿正交坐标系的原点o；
散射方向er和入射方
向ez所构成的平面称为“散射平面”。
除了?
平行于？
z外，散射平面均可以由方位角：
唯一决定。
而在这两个特例（er=_ez）时，包含z轴的任意平面均可被认为是合理的散射面：
因为此时散射结果为关于z轴完全对称的。
这时可以并不对入射波的极化方向进行特殊化，仍可以方便地将Ei分解为EHi和E丄一一分别表示平行和垂直与散射面：
即，
Ej=（E°
||?
|iEo_?
_j）expkzit）二EiEE」？
丄，（其中,"
2沖2厂），
N2为周围介质的折射率，■（即'
0）为入射波在真空中的波长。
正交基矢§
和电为
§
i二sing「cosey，?
=cos?
•sin過，它们构成一个右手系:
i二？
同时，
还有§
£
=-§
＞，§
i=sin瞄+cos瑤。
此时可得到：
EHi=cosExisinEyi，E_,=sin£
力一cosEyi。
在远场区域（即，kr1）时，Es~[eikr/（-ikr）]A，（?
A=0）,所以此时，散射场可以
写作：
Es-E||s?
|s+EJs?
_[s，（?
|s-?
_|s汉？
）。
（2.6）
其中，基矢？
|s和？
」分别表示平行和垂直与散射平面。
尽管散射场Es和入射场Ei是用不同
形式的基矢表示的，但是基于边界条件为线性的，可以证明我们仍可把它们之间的振幅关系简写作如下矩阵形式：
一般来说，振幅散射矩阵中的矩阵元Si（i=1,2,3,4,），取决于散射角二及方位角―上述四个矩阵元的实、虚部，很少有人严格对二及「的所有值进行完全的测量。
因为
那样需要使用两个极化方向互相正交的线极化平面入射波，对所有散射方向的振幅和相位都要求进行测量一一而后一个量会以一种难懂的方式妨碍测量，并且其测量方法也还有待合理解决。
哈特（Hart）和格瑞（Gray）在1964年时，曾经描述了相位可以通过光散射的干涉特性进行测定的理论方法。
但是，仍是几乎没人具体进行该类的严格实验；
不过，振幅散射矩阵的矩阵元的量值测量带来的实验问题其实比相位要小的多，所以我们将在后继两节中进行探讨。
2.3散射矩阵
2.8）
一旦我们获得了粒子内部和被粒子散射的电磁场，我们就可以计算空间中任意一点的波印廷矢量（Poyntingvector）了.不过,我们通常关心的只是粒子外部的波印廷矢量.粒子周围介质中时均的波印廷矢量S可以写为三部分的和，即：
ANNNNN
S=Sj+Ss*Sex‘t
—»
A—«
■—«
■A—»
—»
I.1
」Si=—ReEi江H「｝,Ss=—ReEs江H：
｝,
Sext二二ReEi江H：
+Es汉H「｝。
I2
我们可以把Sext理解为入射波和散射波相互作用的结果。
通过在粒子和探测器之间插入不同的偏振片，并对于同一个平面波纪录每次的辐射结果,我们就可以得到单粒子散射的斯托克斯参量为：
IsxE||sE||S+Ej：
E2a，』Qs=<
E||sE|；
-Ej^E]>
UsEiisE；
+EjsE|；
a,
Vs=i£
E||sE：
+E上E|；
>
2.9）
k/2，」o入射和散射的斯托克斯参量之间的关系可由振幅散射
S13
二ReQSS&
},Sy二lm{S2$-S£
汀,
S23
」（S2「-S1
-S4
+|叮）,S22=i（S
II22|2
+|Si-S4-S3I）,
-Re{S2S^"
-S1S4},
S24TmgSsS1S4},
=Re{S2S4SiS3},
S32=Re{SzS^—^SiS3},
-Re{SiS2'
S3S4},
S34=lm{S2Sj■S4S3},
S41=Im{SiS3S4S2},
S42二ImQS?
-强},
S43"
mgs?
-S3S
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