超松弛迭代法解线性方程组讲课稿Word文档格式.docx

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为非奇异矩阵，且设

，分解

为

（2）

设已知第

次迭代向量

，及第

的分量

，要求计算分量

首先用Gauss—Seidel迭代法定义辅助量

（3）

再把

取为

某个平均值（即加权平均），即

（4）

用式（3）代入式（4）即得到解方程组

的逐次超松弛迭代公式

（5）

为松弛因子，显然，当

时，解式

（1）的SOR方法就是Gauss-Seidel迭代法。

在SOR方法中，迭代一次主要的运算量是计算一次矩阵与向量的乘法。

由式（5）可知，在计算机上应用SOR方法解方程组时只需一组工作单元，以便存放近似解。

二、算法框图

三、算法程序

#defineN3//线性方程组的阶数

#include<

iostream.h>

math.h>

voidmain（）

{

doublea[N][N]={5,2,1,2,8,-3,1,-3,-6},//系数矩阵

b[N]={8,21,1};

//右端常数向量

doublex0[N]={1,1,1},x[N];

//迭代初始向量和迭代向量

doublee=1e-5;

//精度要求

intM=5000;

//最大迭代次数

inti,j,c_M=0;

doublesum,current_e;

do{

current_e=0;

for（i=0;

i<

N;

i++）

{

sum=0;

for（j=0;

j<

j++）

{

if（j!

=i）

{

sum=sum+a[i][j]*x0[j];

}

}

x[i]=（b[i]-sum）/a[i][i];

}//更新迭代向量

c_M++;

//迭代次数加1

for（i=0;

{

if（fabs（x[i]-x0[i]）>

current_e）

current_e=fabs（x[i]-x0[i]）;

}//计算当前误差

x0[i]=x[i];

//更新初始向量

}while（current_e>

e&

&

c_M<

M）;

//判断是否仍未达到精度要求且未达到最大迭代次数

for（i=0;

cout<

<

x[i]<

endl;

//输出结果

cout<

c_M<

//输出迭代次数

}

四、算法实现

例1．用超松弛迭代法解方程组

解：

将方程组的系数放于a[n][n]中，将等号右端常数放入b[n]中。

运行程序，即可得出结果

例2．用超松弛迭代法解方程组

将方程组的系数放于a[n][n]中，将等号右端常数放入b[n]中。