高中数学必修5《不等关系与不等式》教案Word格式.docx
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1回忆初中学过的不等式,让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?
2在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?
3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?
4任意两个实数具有怎样的关系?
用逻辑用语怎样表达这个关系?
活动:
教师引导学生回忆初中学过的不等式概念,使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系,可用符号“>
”“<
”“≠”“≥”“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用“a>
b”“a
教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子,可让学生充分合作讨论,使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下,进一步学习不等式的有关内容.
实例1:
某天的天气预报报道,最高气温32℃,最低气温26℃.
实例2:
对于数轴上任意不同的两点A、B,若点A在点B的左边,则xA
实例3:
若一个数是非负数,则这个数大于或等于零.
实例4:
两点之间线段最短.
实例5:
三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
实例6:
限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h.
实例7:
某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.
教师进一步点拨:
能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科,但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象,完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?
学生很容易想到,用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<
-5,3+4>
1+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1,若用t表示某天的气温,则26℃≤t≤32℃.实例3,若用x表示一个非负数,则x≥0.实例5,|AC|+|BC|>
|AB|,如下图.
|AB|+|BC|>
|AC|、|AC|+|BC|>
|AB|、|AB|+|AC|>
|BC|.
|AB|-|BC|<
|AC|、|AC|-|BC|<
|AB|、|AB|-|AC|<
|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.
实例6,若用v表示速度,则v≤40km/h.实例7,f≥2.5%,p≥2.3%.对于实例7,教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足,避免写成f≥2.5%或p≥2.3%,这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.
对以上问题,教师让学生轮流回答,再用投影仪给出课本上的两个结论.
讨论结果:
(1)
(2)略;
(3)数轴上任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
(4)对于任意两个实数a和b,在a=b,a>
b,a0a>
b;
a-b=0a=b;
a-b<
0a
应用示例
例1(教材本节例1和例2)
通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法:
作差,配方法.
点评:
本节两例的求解,是借助因式分解和应用配方法完成的,这两种方法是代数式变形时经常使用的方法,应让学生熟练掌握.
变式训练
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )
A.f(x)>
g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案:
A
解析:
f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>
0,∴f(x)>
g(x).
2.已知x≠0,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.
解:
由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>
0.从而(x2+1)2>
x4+x2+1.
例2比较下列各组数的大小(a≠b).
(1)a+b2与21a+1b(a>
0,b>
0);
(2)a4-b4与4a3(a-b).
比较两个实数的大小,常根据实数的运算性质与大小顺序的关系,归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成,但要点拨学生在最后的符号判断说理中,要理由充分,不可忽略这点.
(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>
0且a≠b,∴a+b>
0,(a-b)2>
0.∴a-b22a+b>
0,即a+b2>
21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号),
又a≠b,∴(a-b)2>
0,2a2+(a+b)2>
0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<
0.
∴a4-b4<
4a3(a-b).
比较大小常用作差法,一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方,前者将“差”变为“积”,后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”,也可两者并用.
已知x>
y,且y≠0,比较xy与1的大小.
要比较任意两个数或式的大小关系,只需确定它们的差与0的大小关系.
xy-1=x-yy.
∵x>
y,∴x-y>
当y<
0时,x-yy<
0,即xy-1<
0.∴xy<
1;
当y>
0时,x-yy>
0,即xy-1>
0.∴xy>
1.
当字母y取不同范围的值时,差xy-1的正负情况不同,所以需对y分类讨论.
例3建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:
同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?
请说明理由.
解题关键首先是把文字语言转换成数学语言,然后比较前后比值的大小,采用作差法.
设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b,同时增加的面积为m,根据问题的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>
0,于是a+mb+m>
ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>
ab≥10%.
所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了.
一般地,设a、b为正实数,且a0,则a+mb+m>
ab.
已知a1,a2,…为各项都大于零的等比数列,公比q≠1,则( )
A.a1+a8>
a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定
(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各项都大于零,∴q>
0,即1+q>
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>
0,即a1+a8>
a4+a5.
知能训练
1.下列不等式:
①a2+3>
2a;
②a2+b2>
2(a-b-1);
③x2+y2>
2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.
1.C 解析:
∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:
因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>
0,
所以2x2+5x+9>
x2+5x+6.
课堂小结
1.教师与学生共同完成本节课的小结,从实数的基本性质的回顾,到两个实数大小的比较方法;
从例题的活动探究点评,到紧跟着的变式训练,让学生去繁就简,联系旧知,将本节课所学纳入已有的知识体系中.
2.教师画龙点睛,点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.
作业
习题3—1A组3;
习题3—1B组2.
设计感想
1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们:
课堂上应根据具体情况,选择、设计最能体现教学规律的教学过程,不宜长期使用一种固定的教学方法,或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中,没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说,世上没有万能的教学方法.针对个性,灵活变化,因材施教才是成功的施教灵药.
2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广,可以说与其他所有内容都有交汇,历来是高考的重点与热点.作为本章开始,可以适当开阔一些,算作抛砖引玉,让学生有个自由探究联想的平台,但不宜过多向外拓展,以免对学生产生负面影响.
3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力,提升思维的品质,是数学教师直面的重要课题,也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性,克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度,解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.
备课资料
备用习题
1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.
2.试判断下列各对整式的大小:
(1)m2-2m+5和-2m+5;
(2)a2-4a+3和-4a+1.
3.已知x>
0,求证:
1+x2>
1+x.
4.若x
5.设a>
0,且a≠b,试比较aabb与abba的大小.
参考答案:
1.解:
∵(x-3)2-(x-2)(x-4)
=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)
=1>
∴(x-3)2>
(x-2)(x-4).
(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)
=m2-2m+5+2m-5
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)
=a2-4a+3+4a-1
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>
∴a2-4a+3>
-4a+1.
3.证明:
∵(1+x2)2-(1+x)2
=1+x+x24-(x+1)
=x24,
又∵x>
0,∴x24>
∴(1+x2)2>
(1+x)2.
由x>
0,得1+x2>
1+x.
4.解:
(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y<
∴-2xy(x-y)>
∴(x2+y2)(x-y)>
(x2-y2)(x+y).
5.解:
∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
当a>
b>
0时,ab>
1,a-b>
则(ab)a-b>
1,于是aabb>
abba.
当b>
a>
0时,0
于是aabb>
abba.
综上所述,对于不相等的正数a、b,都有aabb>
高中数学必修5《不等关系与不等式》教案【二】
教学准备
教学目标
熟练掌握不等式的证明问题
教学重难点
不等式的證明二
【基礎訓練】
1.若,,則下列不等始終正確的是()
2.設a,b為實數,且,則的最小值是()
4.求證:
對任何式數x,y,z,下述三個不等式不可能同時成立