届高考理数91直线方程与两条直线的位置关系Word文件下载.docx

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|y1-y2|=×

=8,

∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16

§

9.1　直线方程与两条直线的位置关系

考纲解读

考点

内容解读

要求

高考示例

常考题型

预测热度

1.直线的倾斜角、斜率和方程

①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;

②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;

③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;

④掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）,了解斜截式与一次函数的关系;

⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;

⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离

掌握

2015课标Ⅰ,20;

2014广东,10;

2013山东,9

选择题

填空题

★★☆

2.点与直线、直线与直线的位置关系

2016四川,9;

2014四川,14;

2013课标全国Ⅱ,12

分析解读　1.理解直线的倾斜角与斜率的关系,会求直线的倾斜角与斜率.2.掌握求直线方程的三种方法:

直接法、待定系数法、轨迹法.3.能根据两条直线平行、垂直的条件判定两直线是否平行或垂直.4.熟记两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式,根据相关条件,会求三种距离.5.理解方程和函数的思想方法.6.高考中常结合直线的斜率与方程,考查与其他曲线的综合应用,分值约为5分,属中档题.

五年高考

考点一　直线的倾斜角、斜率和方程

1.（2013山东,9,5分）过点（3,1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为（　　）

A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0

C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0

答案　A

2.（2014广东,10,5分）曲线y=e-5x+2在点（0,3）处的切线方程为　　　　. 

答案　5x+y-3=0

3.（2015课标Ⅰ,20,12分）在直角坐标系xOy中,曲线C:

y=与直线l:

y=kx+a（a>

0）交于M,N两点.

（1）当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;

（2）y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?

说明理由.

解析　

（1）由题设可得M（2,a）,N（-2,a）或M（-2,a）,N（2,a）.

又y'

=,故y=在x=2处的导数值为,C在点（2,a）处的切线方程为y-a=（x-2）,

即x-y-a=0.

y=在x=-2处的导数值为-,C在点（-2,a）处的切线方程为y-a=-（x+2）,

即x+y+a=0.

故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.（5分）

（2）存在符合题意的点,证明如下:

设P（0,b）为符合题意的点,M（x1,y1）,N（x2,y2）,直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.

将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.

故x1+x2=4k,x1x2=-4a.

从而k1+k2=+==.

当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P（0,-a）符合题意.（12分）

考点二　点与直线、直线与直线的位置关系

1.（2016四川,9,5分）设直线l1,l2分别是函数f（x）=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是（　　）

A.（0,1）B.（0,2）C.（0,+∞）D.（1,+∞）

2.（2013课标全国Ⅱ,12,5分）已知点A（-1,0）,B（1,0）,C（0,1）,直线y=ax+b（a>

0）将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是（　　）

A.（0,1）B.

C.D.

答案　B

3.（2013湖南,8,5分）在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P（如图）.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于（　　）

A.2B.1C.D.

答案　D

4.（2014四川,14,5分）设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x,y）,则|PA|·

|PB|的最大值是　　　　. 

答案　5

三年模拟

A组　2016—2018年模拟·

基础题组

1.（2018贵州遵义期中,2）已知直线l:

x+y+2017=0,则直线l的倾斜角为（　　）

A.150°

B.120°

C.60°

D.30°

2.（2018河北衡水期末,6）过不重合的A（m2+2,m2-3）,B（3-m-m2,2m）两点的直线l的倾斜角为45°

则m的值为（　　）

A.-1B.-2

C.-1或2D.1或-2

3.（2018浙江金华模拟,4）过点（-10,10）且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为（　　）

A.x-y=0

B.x+4y-30=0

C.x+y=0或x+4y-30=0

D.x+y=0或x-4y-30=0

答案　C

4.（人教A必2,三,3-2-2,2,变式）已知直线l:

ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是（　　）

A.1B.-1

C.-2或-1D.-2或1

5.（2017福建四地六校联考,6）已知函数f（x）=asinx-bcosx（a≠0,b≠0）,若f=f,则直线ax-by+c=0的倾斜角为（　　）

A.B.

6.（2017安徽“江淮十校”第一次联考,13）经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是　　　　. 

答案　x-y+1=0

7.（2018陕西延安期中,6）等腰直角三角形ABC的直角顶点为C（3,3）,若点A的坐标为（0,4）,则点B的坐标可能是（　　）

A.（2,0）或（4,6）B.（2,0）或（6,4）

C.（4,6）D.（0,2）

8.（2018贵州六盘水模拟,7）若点M和N都在直线l:

x+y=1上,则点P,Q和l的关系是（　　）

A.P和Q都在l上

B.P和Q都不在l上

C.P在l上,Q不在l上

D.P不在l上,Q在l上

9.（2017江西景德镇二模,4）若直线l1:

（m-2）x-y-1=0与直线l2:

3x-my=0互相平行,则m的值等于（　　）

A.0或-1或3B.0或3

C.0或-1D.-1或3

10.（2016江西上饶二模,4）直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与直线（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直,则a的值为（　　）

A.-1B.1C.±

1D.-

B组　2016—2018年模拟·

提升题组

（满分:

35分　时间:

40分钟）

一、选择题（每小题5分,共20分）

1.（2018内蒙古包头模拟,6）如图所示,已知M（1,0）,N（-1,0）,直线2x+y-b=0与线段MN相交,则b的取值范围是（　　）

A.[-2,2]B.[-1,1]

C.D.[0,2]

2.（2018新疆乌鲁木齐模拟,6）直线a1x+b1y=2和a2x+b2y=2交于点P（2,3）,则过点A（a1,b1）、B（a2,b2）的直线方程是（　　）

A.2x+3y-2=0B.3x+2y-2=0

C.3x+2y+2=0D.2x+3y+2=0

3.（2017豫南九校联考,5）若θ是直线l的倾斜角,且sinθ+cosθ=,则l的斜率为（　　）

A.-B.-或-2

C.或2D.-2

4.（2016江西南昌二模,9）已知点A（-2,0）,B（1,0）,C（0,1）,直线y=kx将△ABC分割为两部分,则当这两部分的面积之积取得最大值时k的值为（　　）

A.-B.-C.-D.-

二、解答题（共15分）

5.（2017湖北十堰模拟,18）已知三条直线l1:

2x-y+a=0（a>

0）,l2:

4x-2y-1=0和l3:

x+y-1=0,且两平行直线l1与l2间的距离是.

（1）求a的值;

（2）能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:

①P是第一象限的点;

②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;

③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶?

若能,求出P点坐标;

若不能,请说明理由.

解析　

（1）l2的方程可化为2x-y-=0,

∴l1与l2间的距离d==,

∴=,∴=,

∵a>

0,∴a=3.

（2）能.

假设存在满足题意的P点.

设点P（x0,y0）,∵P点满足条件②,∴P点在与l1、l2平行的直线l'

:

2x-y+C=0上,其中C满足=×

C≠3且C≠-,

则C=或C=,

∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.

∵P点满足条件③,

∴由点到直线的距离公式得

=×

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.

∵P点在第一象限,

∴3x0+2=0不满足题意.

由解得（舍去）.

由解得

∴存在满足题意的P点,且P点的坐标为.

C组　2016—2018年模拟·

方法题组

方法1　求直线的斜率及倾斜角的范围的方法

1.（2018陕西延安期中,5）直线a2x-b2y=1（其中a,b∈R,且ab≠0）的倾斜角的取值范围为（　　）

2.（2018湖北黄冈模拟,4）直线x-ysinθ+1=0的倾斜角的取值范围是（　　）

A.B.∪

C.D.∪

3.（2016河北廊坊期末,5）直线（1+a2）x-y+2=0的倾斜角的取值范围是（　　）

C.∪D.

4.（2017湖南益阳调研,14）若过点（0,2）的直线l与圆（x-2）2+（y-2）2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围是　　　　. 

答案　

方法2　确定直线方程的方法

5.（2018广西钦州期中,8）已知直线l的方程为f（x,y）=0,P1（x1,y1）和P2（x2,y2）分别为直线l上和l外的点,则方程f（x,y）-f（x1,y1）-f（x2,y2）=0表示（　　）

A.过点P1且与l垂直的直线

B.与l重合的直线

C.过点P2且与l平行的直线

D.不过点P2,但与l平行的直线

6.（2017安徽安庆模拟,13）经过点（2,1）的直线l和两坐标轴相交于A、B两点,若△AOB（O是原点）的面积恰为4,则符合要求的直线l有　　　　条. 

答案　3

7.（2016河南天一大联考,19）已知圆C1:

x2+y2=9与圆C2:

（x-3）2+（y-4）2=r2（r>

0）相外切.

（1）若圆C2关于直线l:

-=1对称,求由点（a,b）向圆C2所作的切线长的最小值;

（2）若直线l1过点A（1,0）且与圆C2相交于P,Q两点,求△C2PQ面积的最大值,并求此时直线l1的方程.

解析　

（1）由题意知圆C1的圆心为（0,0）,半径为3,圆C2的圆心为（3,4）,半径为r,因为圆C1与圆C2外切,所以|C1C2|=5=3+r,所以r=2.

因为圆C2关于直线l:

-=1对称,所以圆心C2（3,4）在直线-=1上,所以-=1,

所以a=b+3,

所以由点（a,b）向圆C2所作的切线长为

==

=,

所以当b=2时,切线长取得最小值,最小值为2.

（2）因为直线l1过点A且与圆C2相交,所以l1的斜率一定存在且不为0,设直线l1:

kx-y-k=0,

则圆心C2（3,4）到直线l1的距离为d=,

△C2PQ的面积S=d×

2=d==,

当d=时,S取得最大值2,所以d==,解得k=1或k=7,

所以此时直线l1的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.

方法3　两直线平行与垂直问题的解决策略

8.（2018湖南衡阳模拟,7）过定点M的直线ax+y-1=0与过定点N的直线x-ay+2a-1=0交于点P,则|PM|·

|PN|的最大值为（　　）

A.4B.3C.2D.1

9.（2018广东广州模拟,14）若三条直线2x-y+4=0,x-2y+5=0,mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=　　　　. 

答案　-或-6

10.（2017安徽池州月考,14）已知b>

0,直线（b2+1）x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0垂直,则ab的最小值为　　　　. 

答案　2

方法4　求距离的方法

11.（2018天津学业考试,5）平行于直线l:

x+2y-3=0,且与l的距离为2的直线的方程为（　　）

A.x+2y+7=0

B.x+2y-13=0或x+2y+7=0

C.x+2y+13=0

D.x+2y+13=0或x+2y-7=0

12.（2018湖南益阳模拟,6）已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为（　　）

A.B.C.2D.2

13.（2016河北石家庄期末,8）点P（-2,-1）到直线l:

（1+3λ）x+（1+2λ）y=2+5λ的距离为d,则d的取值范围是（　　）

A.0≤d<

B.d≥0C.d>

D.d≥

14.（2017湖南岳阳二模,8）已知动直线l:

ax+by+c-2=0（a>

0,c>

0）恒过点P（1,m）且Q（4,0）到动直线l的最大距离为3,则+的最小值为（　　）

A.B.C.1D.9

方法5　关于对称问题的求解策略

15.（2018山西陵川一中期中,6）若点（a,b）关于直线y=2x的对称点在x轴上,则a,b满足的条件为（　　）

A.4a+3b=0B.3a+4b=0C.2a+3b=0D.3a+2b=0

16.（2017河北五校联考,5）直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为（　　）

A.2x+3y-12=0B.2x-3y-12=0

C.2x-3y+12=0D.2x+3y+12=0