离散型随机变量的均值与方差综合测试题附答案Word文档下载推荐.docx
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115
且η＝2X＋3，且E（η）等于（）
A.35B.65
C.215D.125
答案]C
解析]∵E（X）＝0×
175＋1×
715＋2×
115＝35，
∴E（η）＝E（2X＋3）＝2E（X）＋3＝215.
3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为（）
A．0.4B．1.2
C．0.43D．0.6
答案]B
解析]∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B（3,0.4），∴E（X）＝3×
0.4＝1.2＝65.
4．已知X的分布列为
X1234
P14
13
16
14
则D（X）的值为（）
A.2912B.121144
C.179144D.1712
解析]∵E（X）＝1×
14＋2×
13＋3×
16＋4×
14＝2912，E（X2）＝12×
14＋22×
13＋32×
16＋42×
14＝8512，∴D（X）＝E（X2）－（E（X））2＝179144.
5．已知X的分布列为
X－101
P12
若η＝2X＋2，则D（η）的值为（）
A．－13B.59
C.109D.209
解析]E（X）＝－1×
12＋0×
13＋1×
16＝－13，D（X）＝－1＋132×
12＋0＋132×
13＋1＋132×
16＝59，
∴D（η）＝D（2X＋2）＝4D（X）＝4×
59＝209.
6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为（）
A.65B.1825
C.625D.18125
解析]由X～B3，25，∴D（X）＝3×
25×
35＝1825.
7．已知X服从二项分布B（n，p），且E（3X＋2）＝9.2，D（3X＋2）＝12.96，则二项分布的参数n、p的值为（）
A．n＝4，p＝0.6
B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3
D．n＝24，p＝0.1
解析]由E（3X＋2）＝3E（X）＋2，D（3X＋2）＝9D（X），及X～B（n，p）时E（X）＝np.D（X）＝np（1－p）可知
3np＋2＝9.29np（1－p）＝12.96∴n＝6p＝0.4
8．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数78910
频数5555
乙的成绩
频数6446
丙的成绩
频数4664
s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）
A．s3>
s1>
s2B．s2>
s3
C．s1>
s2>
s3D．s2>
s3>
s1
解析]计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.
s1＝
1205（7－8.5）2＋5（8－8.5）2＋5（9－8.5）2＋5（10－8.5）2]
＝2520.同理，s2＝2920，s3＝2120，
∴s2>
s3，故选B.
二、填空题
9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D（X）等于________．
答案]0.196
解析]由题意知，随机变量服从二项分布，所以D（X）＝npq＝10×
0.02×
（1－0.02）＝0.196.
10．（2010•福州）设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E（X）＝________.
答案]nm
解析]设A＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P（A）＝1m，
∴P（X＝k）＝Pn（k）＝Ckn（1m）k（1－1m）n－k（k＝0,1,2,3，…，n），∴X～B（n，1m）．
则E（X）＝n×
1m＝nm.
11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．
答案]48
解析]设小王选对个数为X，得分为η＝5X，
则X～B（12,0.8），E（X）＝np＝12×
0.8＝9.6，
E（η）＝E（5X）＝5E（X）＝5×
9.6＝48.
12．若X的分布列如下表：
则D14X＝________.
答案]564
解析]E（X）＝14（1＋2＋3＋4）＝52，
D（X）＝1－522＋2－522＋3－522＋4－522
×
14＝54，
∴D14X＝116D（X）＝564.
三、解答题
13．一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望（均值）．
解析]由题意，可知X的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；
事件B为第二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P（X＝0）＝P（A•B•C）＝P（A）P（B）P（C）＝0.1×
0.2×
0.15＝0.003，
P（X＝1）＝P（A•B•C＋A•B•C＋A•B•C）＝P（A）P（B）P（C）＋P（A）P（B）P（C）＋P（A）P（B）P（C）＝0.056，
同上可得P（X＝2）＝0.329，P（X＝3）＝0.612，
所以E（X）＝0×
0.003＋1×
0.056＋2×
0.329＋3×
0.612＝2.55台．
14．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及均值．
解析]考查离散型随机变量的概率分布和数学期望．
解：
记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.
由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck（i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（Ai）＝12，P（Bj）＝13，
P（Ck）＝16.
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率为：
P＝3！
P（A1B2C3）＝6P（A1）P（B2）P（C3）
＝6×
12×
13×
16＝16.
（2）解法一：
设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知η～B3，13，且ξ＝3－η.
所以P（ξ＝0）＝P（η＝3）＝C33133＝127，
P（ξ＝1）＝P（η＝2）＝C2313223＝29，
P（ξ＝2）＝P（η＝1）＝C1313232＝49，
P（ξ＝3）＝P（η＝0）＝C03233＝827.
故ξ的分布列为
ξ0123
P127
29
49
827
ξ的均值E（ξ）＝0×
127＋1×
29＋2×
49＋3×
827＝2.
解法二：
由题设条件知，基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的12＋16＝23.
3名工人独立地从中任选一个项目，故每人选到这两类项目的概率都是23，故ξ～B3，23.
即：
P（ξ＝k）＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3.
ξ的均值E（ξ）＝3×
23＝2.
15．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4）．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
（1）求ξ的分布列、均值和方差；
（2）若η＝aξ＋b，E（η）＝1，D（η）＝11，试求a，b的值．
解析]
（1）ξ的分布列为：
ξ01234
120
110
320
15
∴E（ξ）＝0×
12＋1×
120＋2×
110＋3×
320＋4×
＝1.5.
D（ξ）＝（0－1.5）2×
12＋（1－1.5）2×
120＋（2－1.5）2×
110＋（3－1.5）2×
320＋（4－1.5）2×
＝2.75.
（2）由D（η）＝a2D（ξ），得a2×
2.75＝11，即a＝±
2.又E（η）＝aE（ξ）＋b，所以当a＝2时，由1＝2×
1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×
1.5＋b，得b＝4，
∴a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．
16．（2010•湖南理，17）下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：
吨）的频率分布直方图．
（1）求直方图中x的值；
（2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望（均值）．
分析]
（1）由频率和为1，列式求出x的值；
（2）从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合X～B（3,0,1），其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望（均值）．
解析]
（1）依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
（2）由题意知，X～B（3,0.1）．
因此P（X＝0）＝C03×
0.93＝0.729，
P（X＝1）＝C13×
0.1×
0.92＝0.243，
P（X＝2）＝C23×
0.12×
0.9＝0.027，
P（X＝3）＝C33×
0.13＝0.001.
故随机变量X的分布列为
X0123
P0.7290.2430.0270.001
X的数学期望为E（X）＝3×
0.1＝0.3.
点评]本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来．考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望（均值）．
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