新课标华东师大版七年级数学下册同步训练多边形和多边形的对角线考点分析Word格式文档下载.docx
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二．填空题（共7小题）
9．一个多边形的内角和为720°
，从这个多边形同一个顶点可画的对角线有 _________ 条．
10．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是 _________ ．
11．过四边形一个顶点的对角线可以把四边形分成两个三角形；
过五边形或六边形的一个顶点的对角线，分别把它们分成个三角形；
过n边形一个顶点的对角线可以把n边形分成 _________ 个（用含n的代数式表示）三角形．
12．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 _________ ．
13．一个凸多边形的内角中，最多有 _________ 个锐角．
14．如图所示，将多边形分割成三角形、图
（1）中可分割出2个三角形；
图
（2）中可分割出3个三角形；
图（3）中可分割出4个三角形；
由此你能猜测出，n边形可以分割出 _________ 个三角形．
15．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 _________ ．
三．解答题（共5小题）
16．用两个一样大小的含30°
角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？
请画图说明．
17．从四边形的一个顶点出发可画 _________ 条对角线，从五边形的一个顶点出发可画 _________ 条对角线，从六边形的一个顶点出发可画 _________ 条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有 _________ 条对角线，从n边形的一个顶点出发有 _________ 条对角线，从而推导出n边形共有 _________ 条对角线．
18．请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线：
想一想：
依此规律可以把10边形分成 _________ 个三角形．
19．实践与探索！
①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成 _________ 个三角形；
②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成 _________ 个三角形；
③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外 _________ 个顶点连线可以把n边形分成 _________ 个三角形（用含n的代数式表示）．
④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？
请说明你的理由．
20．已知从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，求此多边形的内角和．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
考点：
多边形；
平行线之间的距离；
三角形的面积．菁优网版权所有
分析：
根据矩形的面积公式=长×
宽，平行四边形的面积公式=边长×
高可得两阴影部分的面积，进而得到答案．
解答：
解：
S四边形ABDC=CD•AC=1×
4=4，
S四边形ECDF=CD•AC=1×
故选：
A．
点评：
此题主要考查了矩形和平行四边形的面积计算，关键是掌握面积的计算公式．
2．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
多边形．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．
当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，
则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．
剪去一个角的方法可能有三种：
经过两个相邻顶点，则少了一条边；
经过一个顶点和一边，边数不变；
经过两条邻边，边数增加一条．
三角形的稳定性．菁优网版权所有
只有三角形具有稳定性．
三角形具有稳定性．故选D．
在所有的图形里，只有三角形具有稳定性，也是三角形的特性，应牢牢掌握．
规律型．
从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个四边形分割成（n﹣2）个三角形．
从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2=5个三角形．
故选B．
本题考查的知识点为：
从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n﹣2）个三角形．
多边形的对角线．菁优网版权所有
可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：
n﹣3，列方程求解．
设多边形有n条边，
则n﹣3=5，解得n=8．
即它是八边形．
故选C．
本题考查了多边形的对角线，如果一个多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．
n﹣3，可分成（n﹣2）个三角形直接判断．
从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n﹣2）．
多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．
根据多边形的定义：
平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．
由多边形的概念可知第四个、第五个是多边形共2个．
B．
本题考查了认识平面图形．注意，多边形是由3条或3条以上的线段首尾顺次连接而成的图形，故多边形中没有曲线．
A．6B．7C．8D．9
可根据多边形的对角线与边的关系列方程求解．
则
=9，
解得n1=6，n2=﹣3（舍去），
故多边形的边数为6．
这类根据多边形的对角线，求边数的问题一般都可以化为求一元二次方程的解的问题，求解中舍去不符合条件的解即可．
，从这个多边形同一个顶点可画的对角线有 3 条．
多边形的对角线；
多边形内角与外角．菁优网版权所有
根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°
，可以先求出多边形的边数．再根据过多边形的一个顶点的对角线的条数与边数的关系，即可得到过这个多边形的一个顶点的对角线的条数．
根据题意，得
（n﹣2）•180=720，
解得：
n=6．
那么过这个多边形的一个顶点可作3条对角线．
故答案为：
3．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，过多边形的一个顶点的对角线的条数=边数﹣3．
10．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是 10 ．
经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．
则n﹣2=8，解得n=10．
所以这个多边形的边数是10．
解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
过n边形一个顶点的对角线可以把n边形分成 （n﹣2） 个（用含n的代数式表示）三角形．
压轴题；
规律型．
根据四边形被分成了4﹣2=2个三角形，五边形被分成了5﹣2=3个三角形，依此类推，n边形可以被分成（n﹣2）个三角形．
过n边形一个顶点的对角线可以把n边形分成（n﹣2）个三角形．
此题可以从具体数据中发现规律，也可以结合图形进行分析．
n边形过一个顶点有（n﹣3）条对角线，它们把n边形分割成了（n﹣2）个三角形．
12．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 n2+2n ．
第1个图形是2×
3﹣3，第2个图形是3×
4﹣4，第3个图形是4×
5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n．
第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n．
n2+2n．
首先计算几个特殊图形，发现：
数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去．
13．一个凸多边形的内角中，最多有 3 个锐角．
根据任意凸多边形的外角和是360°
．可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角．
一个凸多边形的内角中，最多有3个锐角．
注意每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析．
由此你能猜测出，n边形可以分割出 （n﹣1） 个三角形．
（1）三角形分割成了两个三角形；
（2）四边形分割成了三个三角形；
（3）以此类推，n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．
此题注意观察：
是连接n边形的其中一边上的点．根据具体数值进行分析找规律．
n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
15．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 5，6，7 ．
实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
作图题．
若让它们的斜边重合，则可以拼出矩形或一组对角是直角的四边形；
若让它们的直角边重合，则可以拼出两种不同的平行四边形．
四个．如图所示：
能够让它们的边分别重合进行不同的拼图．考查了学生的实践能力．
17．从四边形的一个顶点出发可画 1 条对角线，从五边形的一个顶点出发可画 2 条对角线，从六边形的一个顶点出发可画 3 条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有 4 条对角线，从n边形的一个顶点出发有 （n﹣3） 条对角线，从而推导出n边形共有
条对角线．
根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为
（n≥3，且n为整数）可得答案．
从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，从而推导出n边形共有
条对角线，
1；
2；
3；
4；
（n﹣3）；
．
此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算公式．
依此规律可以把10边形分成 8 个三角形．
三角形．菁优网版权所有
先按题意对给出的四边形，五边形，六边形，七边形画对角线，从而发现规律，按规律不难求得10边形可分成三角形的个数．
∵四边形可分割成4﹣2=2个三角形；
五边形可分割成5﹣2=3个三角形；
六边形可分割成6﹣2=4个三角形；
七边形可分割成7﹣2=5个三角形
∴10边形可分割成10﹣2=8个三角形．
此题主要考查学生对平面图形的认识及对规律型题的掌握情况．
①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成 3 个三角形；
②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成 4 个三角形；
③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外 n﹣2 个顶点连线可以把n边形分成 n﹣1 个三角形（用含n的代数式表示）．
①②③在n边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形；
④欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形中，利用（n﹣1）个三角形，内角和为（n﹣1）×
180°
，n边形的内角和还要再减去P所在的一个平角，所以n边形的内角和为（n﹣2）×
①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成4﹣1=3个三角形；
②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成5﹣1=4个三角形；
③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外（n﹣2）个顶点连线可以把n边形分成（n﹣2）个三角形（用含n的代数式表示）．
④在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形，
这（n﹣1）个三角形的内角和等于（n﹣1）•180°
，
以P为公共顶点的（n﹣1）个角的和是180°
所以n边形的内角和是（n﹣1）•180°
﹣180°
=（n﹣2）•180°
n﹣2，n﹣1．
本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决，在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形．
设多边形为n边形，根据从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，列出方程n﹣2=
，解方程求出n的值，再关键n边形的内角和公式求解．
设多边形为n边形，由题意，得
n﹣2=
整理得：
n2﹣5n+4=0，
即（n﹣1）（n﹣4）=0，
n1=4，n2=1（不合题意舍去），
所以内角和为（4﹣2）×
=360°
本题考查了多边形的对角线，n边形的内角和公式．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线将n边形分成（n﹣2）个三角形，n边形对角线的总条数为
是解题的关键．
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