大学物理课后习题答案第五章北京邮电大学出版社文档格式.docx
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波动方程y=Acos［
u）+
0］中的u表示什么?
如果改写为y=Acos
5-2
（
又是什么意思?
如果t和x均增加，但相应的［
0］的值
），u
不变，由此能从波动方程说明什么
波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为
x的质元的振动落后于原点的时间；
则
表示x处质元比原点落后的振动位相；
设
t时刻的波动方程为
yt
Acos（
0）
则t
Acos[
t）
（x
x）
0]
x）
其表示在时刻t，位置x处的振动状态，经过t后传播到xut处．所以在
（t
中，
t，波形即向前传
当t，x均增加时，
u的值不会变化，而这正好说明了经过时间
播了
Acos（t
描述的是一列行进中的波，故谓之行
t的距离，说明
波方程．
5-3
波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，
而弹簧振子的动能和
势能却没有这样的特点
解:
我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元
dV内所有质元的能
量．波动动能当然是指质元振动动能，
其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形
变势能．形变势能由介质的相对形变量
（即应变量）
决定．如果取波动方程为
yf（x,t），
则相对形变量（即应变量）为y/x.波动势能则是与
y/x的平方成正比．由波动曲线图
（题5-3图）可知，在波峰，波谷处，
波动动能有极小（此处振动速度为零
），而在该处的应变
也为极小（该处y/x0），所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；
在平衡位置处波动动
能为极大（该处振动速度的极大），而在该处的应变也是最大（该处是曲线的拐点
），当然波动
势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，
即具有相同的量值．
题5-3图
对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化．
5-4波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处
t=0时刻是否一定是波源开始振动的
时刻
波动方程写成
时，波源一定在坐标原点处吗
在什么前提下波动
=Acos
方程才能写成这种形式
由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，
所以在波动方程中，坐标原
点不一定要选在波源处，同样，
0的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；
当波动方程
yAcos（t
写成
u时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的．因为在此处对于波源
的含义已做了拓展，即在写波动方程时，
我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，
只
要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程．
5-5
在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，
描述各质点振动的什么物理量不同，
什么物理
量相同?
2Acos2
xcos
vt
取驻波方程为
，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，
描述各质点的振幅是不相同的，
各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，
即振幅变化规律
2Acos2
可表示为
．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻
两波节的介质为一段，
同一段介质内各质点都有相同的振动位相，
而相邻两段介质内的质点
振动位相则相反．
5-6
波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，
这两种情况
有何区别?
波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，（如题5-6
图所示），因而观察者在单位时间内接收到的完整数目
（u/）会增多，所以接收频率增高；
而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即
uvB，因
而单位时间内通过观察者完整波的数目也会增多，即接收频率也将增高．简单地说，前者是通过压缩波面（缩短波长）使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率．
题5-6图多普勒效应
5-7一平面简谐波沿x轴负向传播，波长
=1.0
m，原点处质点的振动频率为=2.0
Hz，
振幅A＝0.1m，且在t=0时恰好通过平衡位置向
y轴负向运动，求此平面波的波动方程．
由题知t
0时原点处质点的振动状态为
y0
0,v00，故知原点的振动初相为
2,取
Acos[2（t
x）0]
波动方程为
T
则有
0.1cos[2
（2t
]
1
2
0.1cos（4
2x
2m
5-8已知波源在原点的一列平面简谐波，
波动方程为y=Acos（BtCx），其中A，B，C
为正值恒量．求：
（1）波的振幅、波速、频率、周期与波长；
（2）
写出传播方向上距离波源为
l处一点的振动方程；
（3）
任一时刻，在波的传播方向上相距为
d的两点的位相差．
（1）已知平面简谐波的波动方程
yAcos（BtCx）（x0）
将上式与波动方程的标准形式
yAcos（2t2）
比较，可知：
B
波振幅为
A，频率
，
C，波速
波长
C，
波动周期
B．
（2）将xl代入波动方程即可得到该点的振动方程
yAcos（BtCl）
（3）因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为
（x2x1）
将x2x1
d，及
C代入上式，即得
Cd．
5-9沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos（10t4x），式中x,y以米计，t以秒计．求：
（1）波的波速、频率和波长；
（2）绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
（3）求x=0.2m处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?
这一位相所代表的运
动状态在t=1.25s时刻到达哪一点?
（1）将题给方程与标准式
Acos（2t
相比，得振幅A
0.05m，频率
5s1
，波长
0.5m，波速u
2.5ms1
．
（2）绳上各点的最大振速，最大加速度分别为
vmax
A
10
0.05
0.5
m
s1
amax
2A
（10
）2
5
ms2
（3）x0.2m处的振动比原点落后的时间为
x0.2
2.5
0.08
s
故x
0.2m,t1s时的位相就是原点（
0），在t0
10.08
0.92s时的位相，
即
9.2π．
设这一位相所代表的运动状态在
1.25s时刻到达x点，则
xx1
u（t
t1）
0.2
2.5（1.25
1.0）0.825m
5-10如题5-10图是沿x轴传播的平面余弦波在
t时刻的波形曲线．
（1）若波沿x轴正向传
播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少?
若波沿x轴负向传播，上述各点的
振动位相又是多少?
t时刻，有
波沿x轴正向传播，则在
题5-10图
对于O点：
∵yO
0,vO0，∴
O
对于A点：
∵yA
A,vA
0，∴
对于B点：
∵yB
0,vB
对于C点：
∵yC
0,vC
A0
3
C
（取负值：
表示A、B、C点位相，应落后于O点的位相）
（2）波沿x轴负向传播，则在t时刻，有
0,vO
0,vB
（此处取正值表示
A、B、C点位相超前于O点的位相）
5-11一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为
5m·
s-1，波长为2m，原点处质点的振动曲线
如题5-11图所示．
（1）写出波动方程；
（2）作出t=0时的波形图及距离波源
0.5m处质点的振动曲线．
0时，y00,v0
由题5-11（a）图知，A
0.1m，且t
2，
u5
25
又
Hz，则
题5-11图（a）
yAcos[（t
取
则波动方程为
y0.1cos[5（t
）]
（2）t0时的波形如题5-11（b）图
题5-11图（b）题5-11图（c）
将x0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为
y0.1cos（5t
）0.1cos（5t
如题5-11（c）图所示．
5-12如题5-12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线（a）和（b），波
沿
x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：
（1）
波动方程；
P点的振动方程．
（1）由题5-12
图可知，A
0.1m，
4m，又，t
时，y0
0,v00，∴
1，
4
而
ms
Hz，∴
故波动方程为
0.1cos[
将xP
1m代入上式，即得
P点振动方程为
0.1cos[（
0.1cos
题5-12图
x轴正向传播，t=0时的波形如题
5-13一列机械波沿
5-13图所示，已知波速为
10m·
s-1，
波长为2m，求：
（1）波动方程；
（2）P点的振动方程及振动曲线；
（3）P点的坐标；
（4）P点回到平衡位置所需的最短时间．
由题5-13
图可知A
0.1m，t
A,v00
2m，
0时，
，∴
3，由题知
ms1
u10
，则
Hz
∴
（1）波动方程为
y01.cos[10（t
3m
题5-13图
（2）由图知，t
yP
A,vP0
P
负值）
3（P点的位相应落后于0点，故取
yp
0.1cos（10t
4）
∴P点振动方程为
|t0
（3）∵
1.67
∴解得
（4）根据
（2）的结果可作出旋转矢量图如题5-13图（a），则由P点回到平衡位置应经历的位相角
题5-13图（a）
6
∴所属最短时间为
/6
12s
5-14如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知
P点的振动方程为
yP=Acos（
0）．
（1）分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；
（2）写出距P点距离为b的Q点的振动方程．
（1）如题5-14
图（a），则波动方程为
l
如图（b），则波动方程为
题5-14图
yAcos[（t
（2）如题5-14图（a），则Q点的振动方程为
AQ
Acos[（t
b）
如题5-14图（b），则Q点的振动方程为
5-15
已知平面简谐波的波动方程为y
Acos
（4t
2x）（SI）．
（1）写出t=4.2s
时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何
时通过原点?
（2）画出t=4.2s时的波形曲线．解:
（1）波峰位置坐标应满足
2x）
2k
解得x
（k
8.4）m（k
0,1,2,⋯）
所以离原点最近的波峰位置为
0.4m．
∵4t2t
u故知u2ms1,
0.4
0.2s前通过原点，那么从计时时刻算起，则应
s，这就是说该波峰在
是4.2
4s，即该波峰是在4s时通过原点的．
题5-15图
（2）∵
4,u2m
uT
m，又x
0处，t4.2
s时，
4.2
16.8
Acos4
0.8A
又，当y
A时，x
17
，则应有
2x17
0.1m，故t
s时的波形图如题
图所示
5-16
题5-16图中（a）表示t=0时刻的波形图，（b）表示原点（x=0）处质元的振动曲线，试求
此波的波动方程，并画出
x=2m处质元的振动曲线．
由题5-16（b）图所示振动曲线可知
s,A
0.2m，且t
0时，y0
0,v00，
故知
2,再结合题5-16（a）
图所示波动曲线可知，该列波沿
x轴负向传播，
且
Acos[2
4m，若取
题5-16图
y0.2cos[2（t
-3
-2
-1
5-17一平面余弦波，沿直径为
14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0×
10
J·
m
·
s
频率为300Hz，波速为
300m·
s-
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