实验五矩阵的LU分解法雅可比迭代Word文档格式.docx
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对k=1,2,…,n-1
①选主元，找
使得
=
②如果
，则矩阵A奇异，程序结束；
否则执行③。
③如果
，则交换第k行与第
行对应元素位置，
j=k,┅,n+1
④消元，对i=k+1,┅,n计算
对j=l+1,┅,n+1计算
2）回代过程
①若
否则执行②。
②
；
对i=n-1,┅,2,1,计算
程序与实例
例1解方程组
输出结果如下：
X[0]=-0.398234
X[1]=0.013795
X[2]=0.335144
程序如下：
#include<
stdio.h>
math.h>
main（）
{
inti,j,p,o,l,q;
doublea[3][4]={{0.101,2.304,3.555,1.183},{-1.347,3.712,4.623,2.137},{-2.835,1.072,5.643,3.035}};
doublex[3],z[4];
printf（"
列主元消去法\n"
）;
for（j=0;
j<
2;
j++）
{
for（i=j+1;
i<
3;
i++）
{
if（fabs（a[j][j]）<
fabs（a[i][j]））
{
for（p=0;
p<
4;
p++）
{
z[p]=a[j][p];
a[j][p]=a[i][p];
a[i][p]=z[p];
}/*交换得最大主元*/
}
}
for（l=j+1;
l<
l++）
for（q=3;
q>
=j;
q--）
a[l][q]=（a[l][q]-（a[l][j]/a[j][j]）*a[j][q]）;
printf（"
进行消去：
\n"
for（o=0;
o<
o++）
for（p=0;
printf（"
%12.6f"
a[o][p]）;
printf（"
}
x[2]=a[2][3]/a[2][2];
x[1]=（a[1][3]-x[2]*a[1][2]）/a[1][1];
x[0]=（a[0][3]-x[2]*a[0][2]-x[1]*a[0][1]）/a[0][0];
最后的解:
for（i=0;
x[%d]=%12.6f\n"
i,x[i]）;
}
结果如下：
例2解方程组
计算结果如下
B=-1.161954
C=1.458125
D=-6.004824
E=-2.209018
F=14.719421
voidmain（void）
doublea[5][6]={{8.77,2.40,5.66,1.55,1.0,-32.04},{4.93,1.21,4.48,1.10,1.0,-20.07},{3.53,1.46,2.92,1.21,1.0,-8.53},{5.05,4.04,2.51,2.01,1.0,-6.30},{3.54,1.04,3.47,1.02,1.0,-12.04}};
doublex[5],z[6];
列主元消去法求五元一次方程组：
5;
6;
for（q=5;
消去一列：
x[4]=a[4][5]/a[4][4];
x[3]=（a[3][5]-x[4]*a[3][4]）/a[3][3];
x[2]=（a[2][5]-x[4]*a[2][4]-x[3]*a[2][3]）/a[2][2];
x[1]=（a[1][5]-x[4]*a[1][4]-x[3]*a[1][3]-x[2]*a[1][2]）/a[1][1];
x[0]=（a[0][5]-x[4]*a[0][4]-x[3]*a[0][3]-x[2]*a[0][2]-x[1]*a[0][1]）/a[0][0];
方程组的解为：
矩阵直接三角分解法
将方程组Ax=b中的A分解为A=LU，其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵，则方程组Ax=b化为解2个方程组Ly=b，Ux=y，具体算法如下：
①对j=1,2,3,…,n计算
对i=2,3,…,n计算
②对k=1,2,3,…,n:
a.对j=k,k+1,…,n计算
b.对i=k+1,k+2,…,n计算
③
，对k=2,3,…,n计算
④
对k=n-1,n-2,…,2,1计算
注：
由于计算u的公式于计算y的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵
[A∣b]=
施行算法②，③，此时U的第n+1列元素即为y。
例3求解方程组Ax=b
A=
b=
结果为
X[0]=3.000001
X[1]=-2.000001
X[2]=1.000000
X[3]=5.000000
inti,j;
doublea[4][4]={{1,2,-12,8},{5,4,7,-2},{-3,7,9,5},{6,-12,-8,3}};
doublel[4][4],b[4]={27,4,11,49},y[4],x[4];
直接三角分解法求方程组的解：
l[i][0]=a[i][0];
l[0][i]=a[0][i];
l[1][1]=a[1][1]-l[1][0]*a[0][1];
l[1][2]=a[1][2]-l[1][0]*a[0][2];
l[1][3]=a[1][3]-l[1][0]*a[0][3];
l[2][1]=（a[2][1]-l[2][0]*l[0][1]）/l[1][1];
l[2][2]=a[2][2]-l[2][0]*l[0][2]-l[2][1]*l[1][2];
l[2][3]=a[2][3]-l[2][0]*l[0][3]-l[2][1]*l[1][3];
l[3][1]=（a[3][1]-l[3][0]*l[0][1]）/l[1][1];
l[3][2]=（a[3][2]-l[3][0]*l[0][2]-l[3][1]*l[1][2]）/l[2][2];
l[3][3]=a[3][3]-l[3][0]*l[0][3]-l[3][1]*l[1][3]-l[3][2]*l[2][3];
LU合并矩阵：
for（j=0;
l[i][j]）;
y[0]=b[0];
y[1]=b[1]-y[0]*l[1][0];
y[2]=b[2]-y[0]*l[2][0]-y[1]*l[2][1];
y[3]=b[3]-y[0]*l[3][0]-y[1]*l[3][1]-y[2]*l[3][2];
Y矩阵：
y[%d]=%12.6f\n"
i,y[i]）;
x[3]=y[3]/l[3][3];
x[2]=（y[2]-x[3]*l[2][3]）/l[2][2];
x[1]=（y[1]-x[3]*l[1][3]-x[2]*l[1][2]）/l[1][1];
x[0]=（y[0]-x[3]*l[0][3]-x[2]*l[0][2]-x[1]*l[0][1]）/l[0][0];
方程组的解：
迭代法
雅可比迭代法
设方程组Ax=b系数矩阵的对角线元素
M为迭代次数容许的最大值,ε为容许误差。
①取初始向量x=
，令k=0。
②对i=1,2,…,n计算
，则输出
，结束；
否则执行④。
④如果k≥M,则不收敛，终止程序；
否则
转②。
例4用雅可比迭代法解方程组
迭代次数为20
X[0]=1.000000
X[1]=2.000000
X[2]=-1.000000
#definee0.000001
floata,b,c,x[3];
inti;
Jacobi迭代法求方程组：
输入X1,X2,X3的初始值,以“，”间隔：
scanf（"
%f,%f,%f"
&
a,&
b,&
c）;
;
x[0]=（8-2*b-c）/5;
x[1]=（21-2*a+3*c）/8;
x[2]=（1-a+3*b）/（-6）;
if（fabs（x[0]-a）<
e&
&
fabs（x[1]-b）<
fabs（x[2]-c）<
e）
break;
else
a=x[0];
b=x[1];
c=x[2];
if（i>
200）
发散\n"
break;
迭代%d次\n"
i+3）;
x[%d]=%f\n"
高斯-塞尔德迭代法
算法:
设方程组Ax=b的系数矩阵的对角线元素,
M为迭代次数容许的最大值,ε为容许误差
①取初始向量
令k=0。
②对i=1,2,…,n计算
结束；
④如果
则不收敛，终止程序；
例5用高斯-塞尔德迭代法解方程组
X[0]=3.000000
X[1]=2.000000
X[2]=1.000000
floata[3][4]={{8,-3,2,20},{4,11,-1,33},{6,3,12,36}},x[3];
floatt,b,c;
高斯--赛德尔法解方程组\n"
输入X1，X2，X3的初始值，以逗号间隔：
x[0],&
x[1],&
x[2]）;
t=x[0];
x[0]=（a[0][3]-a[0][1]*x[1]-a[0][2]*x[2]）/a[0][0];
x[1]=（a[1][3]-a[1][0]*x[0]-a[1][2]*x[2]）/a[1][1];
x[2]=（a[2][3]-a[2][0]*x[0]-a[2][1]*x[1]）/a[2][2];
if（fabs（x[0]-t）<
continue;
break;
i+1）;
例6用雅可比迭代法解方程组
迭代4次得解
若用高斯-塞尔德迭代法则发散。
用高斯-塞尔德迭代法解方程组
迭代84次得解
，若用雅克比迭代法则发散。
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