泰勒展式的研究Word文档下载推荐.docx
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代码：
clear
x=0:
.001:
1;
y=1;
holdon
fori=1:
5
y=y+x.^i/factorial（i）;
plot（x,y）;
end
plot（x,exp（x）,'
r'
）;
holdoff
图像：
可以看见，展开到3阶以上，即n>
3时，多项式函数与原函数已经很贴近了。
然而值得注意的是，泰勒展式只能在某点附近近似替代函数，是一种局部性质。
当x取值太远，被忽略的余项就要发飙了。
当然，可以采用增大n的方式来暴力对抗余项误差：
上图取n=11，逼近效果又好起来了，但可以预见的是，当x继续增大，误差也会再次变大。
爱动脑筋的小朋友可能会问，有没有什么办法一劳永逸地解决误差问题？
有，但是比较麻烦，那就是：
把n取为无穷大。
细心的小朋友会顿生疑窦，无穷多个数相加有意义吗？
问得好。
无穷个数作和，这正是[级数]研究的问题。
因此，泰勒公式又称为泰勒级数。
级数理论定义，无穷个数的和是一个有限数的话，便称级数“收敛”；
无穷则叫“发散”。
对于一列由无穷个函数相加构成的级数，若x取某值时，函数的和收敛，称级数在该点“点态收敛”；
使函数项级数点态收敛的点构成级数的“收敛域”。
级数理论告诉我们，幂函数级数（即n取无穷时的泰勒展式）满足一定条件时是存在收敛域的。
至于条件是什么，小朋友们不要着急，今后总会学的~
顺便提一句，如果只展开到x最低次方项，泰勒展式就成了微分公式。
因此，泰勒展式也可以看作高级微分公式，或者微分公式的推广~
有的小朋友可能会问：
这么复杂的公式学了有什么用？
别着急，不会让你白学的。
事实上，翻开任何一本物理教材，你都会发现，泰勒公式几乎无处不在－－好在大都只用求一两阶就够了。
因此，（语重心长地）小朋友们一定要学好泰勒展式啊！
现在我们看一下另一段代码。
x=-pi:
pi;
y=1/2;
10000
y=y-2*sin（（2*i-1）*x）/（2*i-1）/pi;
plot（x,y）;
细心的小朋友会发现，这段代码跑完后产生的根本不是多项式函数！
而是一堆乱七八糟的正弦函数！
换句话说，这根本就不是泰勒级数！
学长果然不学无术，居然犯这么低级的错误！
此言差矣。
其实上面的代码所构造的乃是另一种级数：
大名鼎鼎的朱丽叶级数！
开个玩笑，其实是[傅立叶级数]。
傅立叶级数是另一种展开函数的方式，于19世纪初由法国数学家Fourier提出后华丽登场，直指Taylor级数的两大软肋：
局部性质，以及对函数要求过于苛刻（要求函数n阶甚至无穷阶可导）。
废话不多说，直接看效果。
上面的代码试图逼近的函数为：
这是十分常用的方波函数。
而代码运行的结果为：
震惊吧！
颤抖吧！
无知的小朋友们！
一堆正弦加起来竟然成了直线！
这就是朱丽叶级数的魅力！
什么？
你不信？
那好，我们来看一看叠加是如何进行的：
普通sin（x）
取i=1:
2，即正弦+正弦：
文艺sin（x）
i=1:
10，十个正弦函数：
蝙蝠侠sin（x）
500个：
二逼sin（x）
再回头看看上面的代码，10000个正弦函数的叠加......信了吧？
所以说，学长是不会欺骗小朋友的。
细心的小朋友又会问了：
那么朱丽叶级数有没有什么软肋？
问得好。
直接上图：
这是i=1:
50时模拟函数y=x的效果。
细心的小朋友会发现，端点处的逼近效果十分不好，居然都翘起来了！
这是否和泰勒级数一样，n取得不够大呢？
不是。
不信的话，下为i=1:
500的图像：
两端仍然翘起来了！
那么问题在哪儿呢？
原来，这是基底函数的选取所造成的。
Taylor级数取幂函数作为基底，自然会产生发散的问题；
而Fourier级数选取正、余弦这两个周期函数做基底，当然会有周期性的问题了。
Fourier级数优于Taylor级数的一点在于，它可以在任意给定的区间上，整体地逼近某函数，而不会出现离某点越远误差越大的现象。
而在区间外呢？
这个时候，函数的周期性就要出来作祟了。
把x的范围扩大一点，问题就明白了：
细心的小朋友马上有了新问题：
图像中居然有竖着的线！
平行于y轴！
那还能叫函数吗？
不着急。
随着i的增大，图像上的那条线确实会逼近竖直，但这也没关系。
看图说话：
这是把500次叠加过程中每次叠加的结果全画出来的图像。
可以看见，每条曲线在经过周期边界时，穿过的是同一点。
不难推测，500次叠加以后的所有曲线，也会过相同的点，并且在该点附近，图像会越来越趋近竖直。
聪明的小朋友会猜：
如果到了最后，函数太竖直了，以至于仅在该点取该值，在该点左右取上下两条直线上的值，变成分段函数了，不就自然而然地避免了图像竖直的问题了吗？
真聪明。
事实上，函数确实是如此取值的。
于是我们又得到了一个令人震惊的结论：
无穷个连续函数相加，和函数居然不连续了！
下图可以更清楚地看出图像是如何逼近竖直的：
同时可以证明，翘起的那一点，恰好是函数不连续点左右极限的平均值。
这也是Fourier级数的一个重要性质。
那么Fourier级数又有什么用？
这个可就说不完了。
小朋友们只要记住：
Fourier级数的作用，是Taylor级数的很多很多倍！
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