误差理论与测量平差基础习题集Word文件下载.docx

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高斯于哪一年提出最小二乘法？

其主要是为了解决什么问题？

自20世纪五六十年代开始，测量平差得到了很大发展，主要表现在那些方面？

1-4本课程的任务和内容

本课程主要讲述哪些内容？

其教学目的是什么？

第二章误差分析与精度指标

2-1正态分布

为什么说正态分布是一种重要的分布？

试写出一维随机变量X的正态分布概率密度式。

2-2偶然误差的规律性

观测值的真误差是怎样定义的？

三角形的闭合差是什么观测值的真误差？

在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？

偶然误差*服从什么分布？

它的数学期望和方差各是多少？

2-3衡量精度的指标

何谓精度？

通常采用哪几种指标来衡量精度？

在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值，这些观测值的精度是否相同？

能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高？

若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误差一定相同？

为什么？

为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作12次观测，结果为：

45o00’06”44o59’55”44o59’58”45o00’04”

45o00’03”45o00’04”45o00’00”44o59’58”

44o59’59”44o59’59”45o00’06”45o00’03”

设α没有误差，试求观测值的中误差。

有一段距离，其观测值及其中误差为345.67m+_15mm。

试估计这个观测值的真误差的实际可能范围是多少？

并求出该观测值的相对中误差。

已知两段距离的长度及其中误差分别为300.465m+_4.5cm及660.894m+_4.5cm，试说明这两段距离的真误差是否相等？

它们的精度是否等？

2-4精度、准确度与精确度

试写出协方差的定义式，并说明它是怎样描述这两个观测值之间的相互关系的。

两个独立观测值是否可称为不相关观测值？

而两个观测值是否就是不独立观测值呢？

相关测量值向量X的协方差阵是怎样定义的？

试说明DXX中各个元素的含义。

当向量X中的各个分量两两相互独立式，其协方差阵有什么特点？

试写出描写两个观测值向量X和Y之间相互关系的互协方差阵的定义式，并说明DXY中各个元素的含义。

何谓准确度？

何谓精确度？

当观测值中不存在系统误差时，精确度就是精度吗？

2-5测量不确定度

测量数据的不确定性和不确定度是怎样定义的？

不确定度评定的标准是什么？

2-6综合练习题

社队某量进行了两组观测，它们的真误差分别为：

第一组：

3，-3,2,4，-2，-1,0，-4,3，-2

第二组：

0，-1，-7,2,1，-1,8,0，-3,1

试求两组观测值的平均误差

、

和中误差

，并比较两组观测值的精度。

设有观测值向量

=【L1L2】T，已知σt1=2秒，σt2=3秒，σt1t2=-2秒2，试写出其协方差阵DXX。

设有观测值向量

=【L1L2L3】T的协方差阵

={}，试写出观测值L1、L2及L3的中误差以及协方差σL1L2、σL1L3和σL2L3。

第三章协方差传播律及权

3-1数学期望的传播

3.1.01数学期望是怎祥定义的？

何谓数学期望的传播？

试写出数学期望传播的运算公式.例如.已知同精度观测值=xi（i=1,2,```,n）的数学期望均为µ

，问其算术平均值x=

xi的数学期望等于多少？

3-2协方差传播律

，应用协方差传播律应注意哪些问題？

试举

例说明之。

3.2.06试简述应用协方差传播律的计算步骤。

=l，2，3）均为等精度独立观测值，其中误差为σ,试求X的

中误差：

（1）X=1/2（L1+L2）+L3

（2）X=L1L2/L3

巳知观测值的中误差σ1=σ2=σ,σ12=0，设X=2L2+5,Y=L1-2L2,

Z=L1L2,t=X+Y,试求X,Y,Z和t的中误差。

3.2.09已知独立观測值L1,L2的中误差为σ1和σ2,试求下列函数的中误差：

（1）X=L1-2L2;

（2）Y=0.5L12+L1L2;

（3）Z=sinL1/sin（L1+L2）.

3.2.10设有观测值向量L=[L1L2L3]T，其协方差阵为

DLL=

试分别求下列函数的方差：

⑴F1-L1-3L3；

（2）F2=3L2L3。

（3）=[LlL2L3]T,其协方差阵为DLL=

（1）F1=L1+3L2-2L3;

（2）F2=L12+L2+

。

3.2.12已知观测值向量L及其协方差阵DLL，组成函数X=AL,Y=BX,试求协方差阵

DXL，DYL和DXY.

3.2.13设有观测值向量

=[L1L2L3]T,其协方差阵为

3.2.14已知观测值向量

1，

2和

3及其协方差阵为

现组成函数

X=AL1+A0

Y=BL2+B0

Z=CL3+C0

式中,A,B,C为系数阵,A0,B0,C0为常数阵.令W=[XYZ]T,试求协方差阵DWW。

3.2.15已知边长S及坐标方位角α的中误差各位σs和σα，试求坐标增量ΔX=S·

cosα和ΔY=S·

sinα的中误差。

32.16设有同精度独立观测值向量

=[L1L2L3]T的函数为

Y1=SAB

，Y2=αAB-L2

式中，aAB和SAB为无误差的已知值，测角中误差σ=1"

，试求函数的方差

，

及协方差

3.2.17在图3-1的ΔABC中，由直接观测得b=106.00m±

0.06m，β=29°

39'

土1'

和γ=120°

07'

±

2'

，试计算边长c及其中误差σc

3.2.18在图3-2的ΔABC中测得∠A±

σA,边长b±

σb，a±

σc,试求三角形面积的中误差σs。

如图3-3所示。

a。

为起算方位角，其中σ0,观测角β和边长S的中误差分别为σβ和σS，试求P点坐标X，Y的协方差阵。

3．2.20为了确定图3-4中测站A上B、C、D方向间的关系，同精度观测了三个角，其值为L1=45°

02'

，L2=85°

00，'

L3=40°

01'

设测角中误差σ=1"

，试求：

（1）观测角平差值的协方差阵；

（2）观测角平差值

1关于

3的协方差。

3-3协方差传播律的应用

3-3.21水准测量中两种计算高差中误差的公式为σhAB=

σ站和σhAB=

σ公里，它们各在什么前提条件下使用？

3.3.22试简述同精度独立观测值的算术平均值中误差的计算公式σx=

的推导过程，并说明此式使用的前提条件。

，如图3-5所示。

路线长为S1=2km,S2=6km,S3=4km,设每千米观测高差中误差a=1.0mm,试求：

（1）将闭合差按距离分配之后P1,P2两点间高差的中误差；

（2）分配闭合差后P1点高程的中误差。

，设每站观测高差的中误差均为1cm，今要求从已知点推算待定点的髙程中误差不大于5cm,问可以设多少站？

，已知每千米观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点C点髙程中误差不大于lOmm，问该线路长度最多可达几千米？

（提示：

=HA+h1,

=HB-h2，HC=（

+

）/2）

3.3.27在图3-7中，由已知点A丈量距离S并测量坐标方位角α，借以计算P点的坐标。

观测值及其中误差为S=127.00mm±

0.03m,α=30°

00'

±

2.5'

，设A点坐标无误差，试求待定点P的点位中误差σP。

3.28有一角度测4测回，得中误差0.42'

问再增加多少测回其中误差为0.28"

？

3,3.29在图3-8的梯形稻田中，测量得上底边长为a=50.746m，下底边长为b=86.767m,髙为h=67.420m，其中误差分别为σa=0.030m，σb=0.040m，σh=0.034m,试求该梯形的面积S及其中误差σS

，观测边长和角度得观测值为b±

σb=1000m±

0.015m,α=β=60°

00"

，且为使算得的边长a具有中误差σa=0.02m，试问角α和β的观測精度应为多少？

3-4杈与定权的常用方法

表示什么？

能否是不同量的观测值的方差？

它们的值是惟一的吗？

3,4.34水准测量中的两种常用定权公式Pi=

和Pi=

各在什么前提条件下使用？

试说明两式中C的含义。

3.4.35设某角的三个观测值及其中误差分别为

30°

41'

20"

2.0"

26"

4.0"

16"

1.0"

现分别取2.0"

、4.0〃及1.0"

作为单位权中误差.试按权的定义计算出三组不同的观测值的

权，再按各组权分别计箅这个角的加权平均值

及其中误差

3.4.36在相同观测条件下，应用水准测量測定了三角点A,B,C之间的髙差，设该三角形边长分别为S1=10km，S2=8km,S3=4km,令40km的髙差观测值为单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。

，其算术平均值的权为

，问P与

的关系如

何？

3.4.38设一长度为d的直线之丈量结果的权为1，求长为D的直线之丈量结果的权。

3.4.39在图3-10中，设巳知点A，B之间的附合水准路线长为80km,令每千米观测髙差的权等于1，求平差后线路中点（最弱点）C点高程的权及该点平差前的权。

其权分别为PA=

PB=

，已知σB=8"

试求单

位权中误差σ0和∠A的中误差σA。

，一次

测角中误差为2.4"

已知4次算术平均值的权为2。

试问：

（1）单位权观測是什么？

（2）单位权中误差等于多少？

（3）欲使∠A的权等于6,应观测几次？

取平均得α值，每次观测中误差为3"

对B角观测9次,取平均得β值，每次观测中误差为4"

试确定α，β的,权各是多少？

[解]令C'

=l，则由定权公式

Pi=

得

Pα=4，Pβ=9。

试问以上这样定权对吗？

，已知一次观测中误差σ=2mm,设4次观测值平均值的权为3。

试求：

（1）单位权中误差σ。

；

（2）—次观测值的权；

（3）欲使平均值的权等于9，应观测几次？

，S2=900m，设对S1丈量3次平均值的权PS1=2mm，试求对S2丈量5次平均值的权PS2。

B和C向待定点D进行水准测量，以测定D点髙程（图3-11）。

各线路长度为S1=2km，S2=S3=4km,S4=1km，设2km线路观测高差为单位权观测值，其中误差σ0=2mm.试求：

（1）D点高程最或是值（加权平均值）的中误差σD;

（2）A、D两点间髙差最或是值的中误差σAD。

B和C为已知水准点，P1=P3=P5=2，P2=P4=5，单位权中误差σ0=2mm试求：

（1）D点高程最或是值（加权平均值）之中误差;

（2）C、D两点间高差最或是值之中误差σCD。

3-5协因数和协因数传播律

35.49设观测值向量

的协因数阵为

LL，权阵为

LL，试问

（1）协因数阵的对角元

素Qii是观测值Li的权倒数吗？

（2）权阵的对Pii是观测值Li的权吗？

3.5.50何谓协因数传播律？

其主要用来解决什么问题?

3-5.51协因数传播律主要包含哪几个公式？

试写出其推导过程。

3.5.53巳知观測值向量L的协因数阵为

QLL=

，试求观测值的权PL1和PL2。

已知观测值向量

的权阵为

PLL=

试求观测值的权PL1和PL2。

L2]T的权阵为

单位权方差

=3.试求

，σ12以及PL1和PL2。

的协方差阵为

DLL=

以及L1的协因数Q11=

，试求单位权方差

，权阵PLL和PL1，PL2。

=2，现有函数F=L1+3L2-2L3，试求：

（1）函数F的方差DF和协因数QF；

（2）函数F关于观测值向量

的协方差阵DFL和协因数阵QFL

=

ＰＺＺ＝

试求ＰＸＸ，ＰＹＹ以及Ｐｘ１，Ｐｘ２和Ｐｙ。

３．５．５９　已知观测值向量