双边序列：
，
总结：
因果序列的收敛域包括无穷大点。
常用序列的Z变换：
Z变换之逆变换
，C：
收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线
1）留数定理：
，
即
对于单极点zi：
2）留数辅助定理（C内有高阶极点时）：
适用条件：
F（z）在C外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上！
！
3）利用部分分式展开：
，然后利用定义及常用序列的Z变换求解。
4、离散时间系统：
系统函数：
，
冲激响应：
5、线性系统：
满足叠加原理的系统。
6、移不变系统：
若，则
7、线性移不变系统
设系统的输入序列为x（n），它可以表示为单位取样序列的移位加权和，即:
那么，系统对应的输出为：
如果该系统是一线性移不变系统，根据其线性则有：
又根据移不变性和h（n）定义，则有：
冲激响应：
所以此时系统输出为：
，，
8、系统的频率特性可由其零点及极点确定
（式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列x（n）的Z变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。
）
9、稳定系统：
有界的输入产生的输出也有界的系统，
即：
若，则
线性移不变系统是稳定系统的充要条件：
或：
其系统函数H（z）的收敛域包含单位圆|z|=1
10、因果系统：
时刻的输出只由时刻之前的输入决定。
线性移不变系统是因果系统的充要条件：
或：
其系统函数H（z）的收敛域在某圆外部：
即：
|z|>Rx
11、稳定因果系统：
同时满足上述两个条件的系统——P62
线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：
，
或：
H（z）的极点在单位园内，且H（z）的收敛域满足：
12、差分方程
线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足松弛条件）
13、差分方程的解法
1）直接法：
递推法
2）经典法
3）由Z变换求解
二、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换（第三、四章）
1、周期序列的离散傅立叶级数（DFS）
其中：
=
2、有限长序列的离散傅立叶变换（DFT）
，0≤≤
，0≤n≤
应当注意，虽然和都是长度为的有限长序列，但他们分别是由周期序列和截取其主周期（主值区间）得到的，本质上是做DFS或IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性。
尤其是涉及其位移特性时更要注意。
3、离散傅立叶变换与Z变换的关系
4、频域抽样定理
对有限长序列x（n）的Z变换X（z）在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N，或抽样间隔为，当N≥M时，才可由X（k）不失真恢复。
内插公式：
5、周期卷积、循环卷积
周期（线性）卷积：
循环卷积：
6、用周期（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积
对周期要求：
（N1、N2分别为两个序列的长度）
7、时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT）
1）数据要求：
1、N=8，FFT运算流图
2、DIT―FFT的运算规律
序列长N=2M点的FFT，有M级蝶形，每级有N/2个蝶形运算。
每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p称为旋转因子的指数。
，
第L级共有B=2L-1个不同的旋转因子；同一蝶形运算两输入数据的距离B=2L-1。
同一级中，每个蝶形的两个输入数据只对本蝶形有用，每个蝶形的输入、输出数据节点在同一条水平线上。
经过M级运算后，原来存放输入序列数据的N个存储单元中可依次存放X（k）的N个值。
原位计算：
利用同一存储单元存储蝶形计算的输入输出数据。
3）DIT-FFT计算效率（复数运算）：
乘法运算次数：
，加法计算次数：
（对比DFT运算：
乘法运算次数：
，加法计算次数：
）（复数运算）
8、利用DFT对模拟信号进行谱分析
首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后，就可按照前面的方法，用FFT来对连续信号进行频谱分析。
按采样定理，采样频率应大于2倍信号的最高频率，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混迭低通滤波器。
由此可得到用FFT对模拟信号进行频谱分析的方框图如下
截断的信号时间长度为Tp=NT，F表示对模拟信号频谱的采样间隔，所以称之为频率分辨率
，
信号分析过程中为了避免混叠，要求
，
为提高频率分辨率可以增加采样点数N，或者增加对信号的观察时间Tp
——例3.4.2及习题18
注意：
：
用FFT进行频谱存在的问题1）频谱泄漏，2）为栅栏效应。
各种形式的傅里叶变换：
非周期实连续时间信号的傅里叶变换：
频谱是一个非周期的连续函数；
周期性连续时间信号的傅里叶变换：
频谱是非周期性的离散频率函数；
非周期离散信号的傅里叶变换：
频率函数是周期的连续函数；
离散周期序列的傅里叶变换：
具有既是周期又是离散的频谱。
三、数字滤波器的设计
（一）FIR滤波器的设计
1、特点：
可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的；阶数较高。
2、实现线性相位的条件
（1）h（n）为实数
（2）A类线性相位：
h（n）=h（N-1-n）
可以设计一般意义下的FIR滤波器；N是偶数时，不能做高通滤波器。
或B类线性相位：
h（n）=-h（N-1-n）对称中心：
m=（N-1）/2
适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络。
3、主要设计方法
用窗函数法设计FIR滤波器的步骤
（1）给定希望逼近的频率响应函数Hd（ejω）。
，
FIR滤波器的网络结构：
直接型：
级联型：
将H（z）进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个实系数的二阶形式；级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。
设FIR网络系统函数H（z）为：
H（z）=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3
画出H（z）的直接型结构和级联型结构。
解：
将H（z）因式分解得：
H（z）=（0.6+0.5z-1）（1.6+2z-1+3z-2）
其直接型结构和级联型结构分别如下图的b图、a图所示。
a图b图
（2）求单位脉冲响应hd（n）。
（3）由过渡带宽及阻带最小衰减的要求可选定窗形状，并估计窗口长度N：
设待求滤波器的过渡带用Δω表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。
因过渡带Δω近似与窗口长度成反比，N≈A/Δω，A决定于窗口形式。
例如，矩形窗A=4π，海明窗A=8π等，A参数选择参考表。
按照过渡带及阻带衰减情况，选择窗函数形式。
原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。
（4）最后，计算所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应h（n）：
h（n）=hd（n）w（n）0≤n≤N-1
（5）由h（n）求FIR滤波器的系统函数H（z）
（二）IIR滤波器的设计
1、特点
•阶数少、运算次数及存储单元都较少
•适合应用于要求相位特性不严格的场合。
•有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。
•是递归系统，存在稳定性问题。
2、间接设计方法——先设计模拟滤波器，然后转换成数字滤波器。
脉冲（冲激）响应不变法——基于butterworth模拟低通滤波器设计过程：
（1）将数字滤波器设计指标转换为相应的模拟滤波器指标。
；
（2）设计相应的模拟滤波器，得到模拟系统函数Ha（s）。
根据单调下降要求，选择巴特沃思滤波器。
求出波纹幅度参数为
，，
根据通带衰减要求计算3dB截止频率Ωc
或根据阻带衰减要求计算3dB截止频率Ωc
（3）查表求归一化Ga（p）。
或
（4）将p=s/Ωc代入Ga（p），得到实际的滤波器系统函数
（5）将T和代入，将模拟滤波器系统函数Ha（s）转换成数字滤波器系统函数H（z），即：
脉冲（冲激）响应不变法的特点：
•有混叠失真
•只适于限带滤波器
•不适合高通或带阻数字滤波器的设计
双线性变换法——设计数字低通滤波器系统函数H（z）
这种方法的主要特点是先进行频率变换，求模拟滤波器的频率指标
按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器，然后用将模拟滤波器Ha（s）转换成数字低通滤波器系统函数H（z）。
特点：
（i）稳定性不变
（ii）无混叠
（iii）频率非线性变换，会产生畸变，设计时，频率要做预畸变处理
无限长脉冲响应滤波器的网络结构
1）直接型：
根据系统的差分方程：
记忆方法：
天女散花；反馈在前；分子在后。
2）级联型
若将N阶IIR滤波器的系统函数H（z）的分子和分母分别进行因式分解，得到多个因式连乘积的形式：
或表示为：
其中，式中Hi（z）为一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi（z）的网络结构均采用直接型网络结构；
多项式的系数是实数，Cr和dr是实数或者是共轭成对的复数。
将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数。
再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络Hj（z）：
（a）直接型一阶网络结构；（b）直接型二阶网络结构
3）并联型
如果将系统函数H（z）展成部分分
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