高考数学四海八荒易错集专题17排列组合二项式定理理Word格式文档下载.docx
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故选A.
4.某天连续有7节课,其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节,数学2节.在排课时,要求生物课不排第1节,数学课要相邻,英语课与数学课不相邻,则不同排法的种数为( )
A.408B.480
C.552D.816
5.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )
A.24B.48
C.60D.72
解析 由题可知,五位数为奇数,则个位数只能是1,3,5;
分为两步:
先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C,再将剩下的4个数字排列得到A,则满足条件的五位数有C·
A=72(个).选D.
6.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24B.18C.12D.9
答案 B
解析 从E到F的最短路径有6条,从F到G的最短路径有3条,所以从E到G的最短路径为6×
3=18(条),故选B.
7.(2x+)5的展开式中,x3的系数是______________.(用数字填写答案)
答案 10
解析 (2x+)5展开式的通项公式k∈{0,1,2,3,4,5},
令5-=3,解得k=4,得∴x3的系数是10.
4.在(-)n的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于________.
答案 112
解析 2n=256,n=8,
通项
取k=2,常数项为C(-2)2=112.
8.(1+2x)10的展开式中系数最大的项是________.
答案 15360x7
9.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,则所有涂色方法的种数为________.
答案 260
解析 如图所示,
将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色,则只能是第1,4个小方格涂一种,第2,3个小方格涂一种,方法种数是CA=20;
如果使用3种颜色,若第1,2,3个小方格不同色,第4个小方格只能和第1个小方格相同,方法种数是CA=60,若第1,2,3个小方格只用2种颜色,则第4个方格只能用第3种颜色,方法种数是C×
3×
2=60;
如果使用4种颜色,方法种数是CA=120.根据分类加法计数原理,知总的涂法种数是20+60+60+120=260.
10.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=____________.
答案 3
解析 设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,①
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②
①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5),
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.
11.已知等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,定义映射f:
(a1,a2,a3,a4)→(b1,b2,b3,b4),则f(4,3,2,1)=____________.
答案 (0,-3,4,-1)
易错起源1、两个计数原理
例1、
(1)如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有( )
A.72种B.48种
C.24种D.12种
(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<
a2且a3<
a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275),那么所有凸数的个数为( )
A.240B.204
C.729D.920
答案
(1)A
(2)A
当中间数为3时,有2×
3=6(个);
当中间数为4时,有3×
4=12(个);
当中间数为5时,有4×
5=20(个);
当中间数为6时,有5×
6=30(个);
当中间数为7时,有6×
7=42(个);
当中间数为8时,有7×
8=56(个);
当中间数为9时,有8×
9=72(个).
故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).
【变式探究】
(1)将1,2,3,…,9这九个数字填在如图所示的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法有( )
A.6种B.12种
C.18种D.24种
(2)在一次游戏中,三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者,三个人互相传递,每人每次只能传一下,由甲开始传,若经过五次传递后,花又被传回给甲,则不同的传递方式有________种.(用数字作答)
答案
(1)A
(2)10
解析
(1)分为三个步骤:
1
2
3
4
9
第一步,数字1,2,9必须放在如图的位置,只有1种方法.
所以共有10种不同的传递方法.
【名师点睛】
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类加法计数原理.
(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化.
【锦囊妙计,战胜自我】
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理,将方法种数相加;
如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理,将各步的方法种数相乘.
易错起源2、排列与组合
例2、
(1)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72B.120
C.144D.168
(2)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求取出的卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,则不同的取法共有( )
A.232种B.252种
C.472种D.484种
答案
(1)B
(2)C
(1)在某真人秀活动中,村长给6位“萌娃”布置了一项搜寻空投食物的任务.已知:
①食物投掷地点有远、近两处;
②由于Grace年纪尚小,所以她要么不参与该项任务,但此时另需一位“萌娃”在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;
③所有参与搜寻任务的“萌娃”须均分成两组,一组去远处,一组去近处,则不同的搜寻方案有( )
A.40种B.70种
C.80种D.100种
(2)2名男生和5名女生排成一排,若男生不能排在两端又必须相邻,则不同的排法种数为( )
A.480B.720
C.960D.1440
答案
(1)A
(2)C
解析
(1)Grace不参与该项任务,有CCC=30(种)方案,Grace参与该项任务,有CC=10(种)方案,故共有30+10=40(种)不同的搜寻方案.故选A.
(2)把2名男生看成1个元素,和5名女生共6个元素进行全排列,又2名男生的顺序可调整,故共有AA种方法,其中男生在两端的情形共2AA种,故总的方法种数为AA-2AA=960.故选C.
求解排列、组合问题的思路:
排组分清,加乘明确;
有序排列,无序组合;
分类相加,分步相乘.
具体地说,解排列、组合的应用题,通常有以下途径:
(1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.
(2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数.
解答计数问题多利用分类讨论思想.分类应在同一标准下进行,确保“不漏”“不重”.
名称
排列
组合
相同点
都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素,元素无重复
不同点
①排列与顺序有关;
②两个排列相同,当
且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同
①组合与顺序无关;
②两个组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同
易错起源3、二项式定理
例3、
(1)设则二项式n的展开式中x2的系数为( )
A.80B.90
C.120D.160
(2)8的展开式中x7的系数为________.(用数字作答)
答案
(1)D
(2)-56
解析
(1)因为
所以(2x+)6的展开式的通项
令6-=2,得k=3,
所以x2的系数为C23=160.
(2)8的通项Tk+1=C(x2)8-kk
=(-1)kCx16-3k,当16-3k=7时,k=3,
则x7的系数为(-1)3C=-56.
(1)(-)10的展开式中系数为正数的有理项有( )
A.1项B.2项
C.3项D.4项
(2)设A=37+C35+C33+C3,B=C36+C34+C32+1,则A-B=________.
答案
(1)B
(2)128
(1)在应用通项公式时,要注意以下几点:
①它表示二项展开式的任意项,只要n与k确定,该项就随之确定;
②Tk+1是展开式中的第k+1项,而不是第k项;
③公式中,a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置;
④对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.
(2)在二项式定理的应用中,“赋值思想”是一种重要方法,是处理组合数问题、系数问题的经典方法.
(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn,其中各项的系数就是组合数C(k=0,1,…,n)叫做二项式系数;
展开式中共有n+1项,其中第k+1项Tk+1=Can-kbk(其中0≤k≤n,k∈N,n∈N*)称为二项展开式的通项公式.
1.从8名女生和4名男生中,抽取3名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为( )
A.224B.112
C.56D.28
解析 根据分层抽样,从8名女生中抽取2人,从4名男生中抽取1人,所以抽取2名女生1名男生的方法数为CC=112.
2.5人站成一排,甲、乙两人必须站在一起的不同排法有( )
A.12种B.24种
C.48种D.60种
答案 C
解析 可先排甲、乙两人,有A=2(种)排法,再把甲、乙两人与其他三人进行全排列,有A=24(种)排法,由分步乘法计数原理,得一共有2×
24=48(种)排法,故选C.
3.设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( )
A.-15x4B.15x4
C.-20ix4D.20ix4
解析 由题可知,含x4的项为Cx4i2=-15x4.故选A.
4.在二项式(x2-)n的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为( )
A.32B.-32
C.0D.1
5.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a0+a1+a2+…+an=126,那么(-)n的展开式中的常数项为( )
A.-15B.15C.20D.-20
解析 令x=1得
a0+a1+a2+…+an=2+22+…+2n=2×
=2n+1-2=126⇒2n+1=128⇒2n+1=27⇒n=6,
又Tk+1=C()6-k(-)k=C(-1)kx3-k,
所以由3-k=0得常数项为-C=-20.故选D.
6.已知等比数列{an}的第5项是二项式(x+)4展开式中的常数项,则a3·
a7=________.
答案 36
7.冬季供暖时,供热公司将5名水暖工分配到3个不同的居民小区检查暖气管道,每名水暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,那么分配的方案共有________种.
答案 150
解析 将5名水暖工分成2,2,1或3,1,1三组,共有+C=25(种)分法,将这三组水暖工分配到3个小区共有A=6(种)分法,由分步乘法计数原理得分配方案共有25×
6=150(种).
8.某大学的8名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名,分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有________种.
答案 24
解析 分类讨论,有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车,则有CCC=12(种)乘车方式;
孪生姐妹不乘坐甲车,则有CCC=12(种)乘车方式.根据分类加法计数原理得,共有24种乘车方式.
9.已知(1+2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=________(用数字作答).
答案 729
解析 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|相当于(1+2x)6的展开式中各项系数绝对值的和,令x=1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=36=729.
10.若(1-2x)2016=a0+a1x+…+a2016x2016,则++…+的值为________.
答案 -1