新课标八年级数学竞赛培训第31讲完全平方数和完全平方式Word文档下载推荐.docx

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6

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

5．（3分）若四位数

是一个完全平方数，则这个四位数是　_________　．

6．（3分）设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是　_________　．

7．（3分）设平方数y2是11个相继整数的平方和，则y的最小值是　_________　．

8．（3分）p是负整数，且2001+p是一个完全平方数，则p的最大值为　_________　．

9．（3分）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是　_________　．

10．（3分）使得n2﹣19n+95为完全平方数的自然数n的值是　_________　．

11．（3分）自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n=　_________　．

12．（3分）两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是　_________　．

三、解答题（共12小题，满分84分）

13．（6分）n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：

n+l是3个完全平方数之和．

14．（6分）一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．

15．（8分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52﹣32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数？

并请你说明理由．

16．（9分）已知：

五位数

满足下列条件：

（1）它的各位数字均不为零；

（2）它是一个完全平方数；

（3）它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数

以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数

也都是完全平方数．

试求出满足上述条件的所有五位数．

17．（8分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？

若能够，请举出一例；

若不能够；

请说明理由．

18．（6分）使得（n2﹣19n+91）为完全平方数的自然数n的个数是多少？

19．（8分）已知a1，a2，…，a2002的值都是1或﹣1，设m是这2002个数的两两乘积之和．

（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；

（2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．

20．（8分）如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），

证明：

（1）2a，2b，c都是整数；

（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；

（3）反过来，如

（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？

21．（7分）是否存在一个三位数

（a，b，c取从1到9的自然数），使得

为完全平方数？

22．（6分）求证：

四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．

23．（6分）有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士？

24．（6分）证明：

是一个完全平方数．

新课标八年级数学竞赛培训第31讲：

参考答案与试题解析

考点：

完全平方数．1552088

分析：

因为x是自然数，那么0也属于自然数．然后根据y=x4+2x3+2x2+2x+1，讨论y是不是完全平方数．

解答：

解：

当x=0时，y=1．y是完全平方数．

当x为大于0的自然数时．x4+2x3+2x2＜y＜x4+x2+1+2x3+2x2+2x．

故（x2+x）2＜y＜（x2+x+1）2．y一定不是完全平方数．

故存在有限个，使y是完全平方数．

故选B．

点评：

本题考查了完全平方数的概念和自然数的知识．属于简单的题目．

专题：

综合题．

a的个位数字为1，十位数字为x，则x为偶数，而b的个位数为6，十位数字为y，y为奇数，从而得出答案．

∵a的个位数字为1，十位数字为x，∴x为偶数，

∵b的个位数为6，十位数字为y，∴y为奇数，

故选D．

本题考查了完全平方数的性质，是一道竞赛题，难度中等．

是整数，则﹣a是一个完全平方数，据此即可作出判断．

如果

是整数，则﹣a是一个完全平方数，则﹣a≥0．

故a≤0，且﹣a是完全平方数．

本题主要考查了完全平方数，以及二次根式有意义的条件，正确理解完全平方数的意义是解题的关键．

尾数特征．1552088

规律型．

设自然数n的末两位数字为10a+b，则（10a+b）2=a2×

102+2ab×

10+b2.2ab是偶数，要使十位数字是7，则b2的十位数字必须是奇数，而使一位数b2的十位数字是奇数的，只有4或6．可知n2的末位数字是6．

设自然数n的末两位数字为10a+b（其中a为1～9之间的正整数，b为0～9之间的正整数），

∵（10a+b）2=a2×

10+b2．

而2ab是偶数，

∴b2的十位数字必须是奇数，

∴b=4或6．

∵42=16，62=36．

∴n2的末位数字是6．

本题考查了尾数特征和完全平方公式，由n2的十位数字是7，得出n的末位数字是4或6是解题的关键．

是一个完全平方数，则这个四位数是　7744　．

完全平方数；

数的整除性．1552088

由xxyy这个数的特点可知这个数能被11整除，又它是完全平方数所以能被11的平方121整除．又它是4位数且为完全平方数，所以此数应为121与9162536496481的乘积的一种．分别计算可知此数应为121与64的乘积，为7744．其他乘积均不行．

∵四位数

是一个完全平方数，

∴这个数能被11整除，

则

=11（100x+y）是一个完全平方数，则100x+y能被11整除，

∵100x+y=99x+（x+y），

∴x+y能被11整除，而1≤x+y≤18，

∴只有x+y=11，经检验x=7，y=4，

故这个四位数为7744．

故答案为：

7744．

本题考查了完全平方数的性质，以及数的整除问题，是重点又是难点，要熟练掌握．

6．（3分）设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是　（

+1）2　．

由m是一个完全平方数，得m是

的平方数，则比

大且最小的整数是

+1，从而得出它的平方．

∵m是一个完全平方数，

∴m是

的平方数，

∴比

+1，它的平方是（

+1）2．

（

本题考查了一个数的完全平方数，以及完全平均数的性质，要熟练掌握．

7．（3分）设平方数y2是11个相继整数的平方和，则y的最小值是　﹣11　．

设这11个数分别为：

x﹣5，x﹣4，x﹣3，…，x+4，x+5．列出方程，讨论y的最小值．

设11个数分别为：

x﹣5，x﹣4，x﹣3，…，x+4，x+5．

则这11个相继整数的平方和为（x﹣5）2+（x﹣4）2+…+x2+…+（x+4）2+（x+5）2=11（x2+10）=y2，

因为y2是平方数，则当y最小时，y2最小．

则y最小时，从而x2=1，y2=121，

y=±

11．

则y的最小值是﹣11．

本题考查了完全平方数的应用，根据题意列出合适的方程是解题关键．

8．（3分）p是负整数，且2001+p是一个完全平方数，则p的最大值为　﹣65　．

方程思想．

根据p是负整数，且2001+p是一个完全平方数，可知2001+p是小于2001的完全平方数，由于小于2001的最大完全平方数是442，则有方程2001+p=442，求解即可．

∵p是负整数，且取最大值．

则有442≤2001+p＜452，

∴2001+p=442=1936，

∴p=﹣65．

﹣65．

本题考查完全平方数的知识，难度较大，关键是找到小于2001的最大的完全平方数．

9．（3分）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是　1681　．

根据题意，设N=x2（x为自然数），去掉此两位数字后得到整数m，m=k2（k为自然数），然后根据其中关系求解N．

设N=x2（x为自然数），N的末两位数字组成整数y，去掉此两位数字后得到整数m，m=k2（k为自然数），则1≤y≤99，x2=100k2+y，y=x2﹣100k2=（x+10k）（x﹣10k）．

令x+10k=a，x﹣10k=b，则b≥1，k≥1，x=10k+b≥11，a=x+10k≥21．

若k≥4，则x=10k+b≥41，a=x+10k≥81，

唯有b=1，k=4，x=41，a=81，y=81，m=16，N=1681．

显然当k≤3时，x≤40．

故N=1681为所求最大值．

本题考查了完全平方数的应用．做此题时要合理设未知数，然后根据题意求解结果．

10．（3分）使得n2﹣19n+95为完全平方数的自然数n的值是　5或14　．

计算题．

先讨论n=1，2，3，4，时的情况，然后讨论n≥5时的情况，运用夹逼法确定n2﹣19n+95的范围，从而得出n的可能值．

①当n=1，2，3，4时显然不符合题意；

②当n≥5时，（n﹣10）2≤n2﹣19n+95≤n2，

∴

（1）n2﹣19n+95=（n﹣10）2⇒n=5；

（2）n2﹣19n+95=（n﹣9）2⇒n=14，只有这两种情况符合题意，

故n可取5或14．

5或14．

本题考查完全平方数的知识，难度较大，注意夹逼法的运用，也要掌握讨论法的运用．

11．（3分）自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n=　1988　．

因式分解．

设n﹣59=a2，n+30=b2，则存在a2﹣b2=﹣89=﹣1×

89，根据奇偶性相同即可求得a、b的值，即可求得n的值．

设n﹣52=a2，n+37=b2，

则a2﹣b2=﹣89=﹣1×

89，

即（a+b）（a﹣b）=﹣1×

89．且a+b与a﹣b的奇偶性相同，

故a+b=89，a﹣b=﹣1，于是a=44，b=45，

从而n=1988．

1988．

本题考查了完全平方数的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了奇偶性的判定．

12．（3分）两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是　78和22　．

根据两位数的差是56列出x﹣y=56，根据两位数的平方数的末两位数字相同，得到x2﹣y2=m×

100（m为正整数），解方程组，推出m的值，从而求出y的值．

∵x﹣y=56，x2﹣y2=m×

100（m为正整数），

消去x，得112y=100m﹣3136，y=

﹣28，

∵y是一个两位数且m＜100，

∴m=56或84，

∴y=22或47．

当y=22时，x=78；

当y=47时，x=103（舍去）．

22，78．

此题考查了尾数的特征，根据两平方数的末两位数字相同得出x2﹣y2=m×

100（m为正整数），是解题的关键．

证明题．

此题可以由3n+1为完全平方数得到3n+1=m2，则m=3k+1或3k+2，再得到n的值，代入n+1经变形即可证为3个完全平方数之和．

设3n+1=m2，则m=3k+1或m=3k+2（k是正整数）．

若m=3k+1，则

．

∴n+1=3k2+2k+1=k2+k2+（k+1）2．

若m=3k+2，则

∴n+1=3k2+4k+2=k2+（k+1）2+（k+1）2．

故n+1是3个完全平方数之和．

本题考查了完全平方数的应用，关键是对n的取值的讨论，比较麻烦，同学们应重点掌握．

代数综合题．

所求正整数为x，引入参数m和n分别表示这两个完全平方数，然后利用奇偶性分析求解．

设所求正整数为x，

则：

x+100=m2①；

x+168=n2②；

其中m，n都是正整数，②﹣①得n2﹣m2=68，即（n﹣m）（n+m）=22×

17③；

因n﹣m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n﹣m，n+m都是偶数．

注意到0＜n﹣m＜n+m，

由③可得

解得n=18．

代入②得x=156，即为所求．

本题考查完全平方数的知识，难度较大，本题的难点在于引入参数，利用奇偶分析求解．

如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为m，n是正整数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．

1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2﹣k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．

对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2﹣（k﹣1）2（k=2，3，…）．

即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．

对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），其中x，y为正整数，

当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x﹣y）被4整除，而4k+2不被4整除；

当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x﹣y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．

所以不存在自然数x，y使得x2﹣y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．

因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．

因为1998=（1+3×

665）+2，4×

（665+1）=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，

注意到2666不是“智慧数”，

因此2667是第1998个“智慧数”，

即第1998个“智慧数”是2667．

本题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．

设

，且a=m2（一位数），

（两位数），

（两位数），则M2=m2×

104+n2×

102+t2①

由式①知M2=（m×

102+t）2=m2×

104+2mt×

102+t2②，比较式①、式②得n2=2mt．然后讨论即可得出答案．

102+t2②

比较式①、式②得n2=2mt．

因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数．

故n2=16或36或64．

当n2=16时，得mt=8，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；

故M2=11664或41616．

当n2=36时，得mt=18．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去．

故M2=43681或93636．

当n2=64时，得mt=32．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去．

因此，满足条件的五位数只有4个：

11664，41616，43681，93636．

本题考查了完全平方数，难度较大，关键是设

（两位数），然后表示出M2的形式．

根据偶数的平方和为偶数，奇数得平方和为奇数，即可讨论这四个数的奇偶性，再讨论三个奇数的性质，即可求得其中结论矛盾，即可求得不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数，即可解题．

偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，即正整数的平方被4除余0或1．

若存在正整数满足ninj+2002=m2；

i，j=1，2，3，4，n是正整数；

∵2002被4除余2，

∴ninj被4除应余2或3．

（1）若正整数n1，n2，n3，n4中有两个是偶数，

设n1，n2是偶数，则n1n2+2002被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，

故正整数n1，n2，n3，n4中至多有一个是偶数，至少有三个是奇数．

（2）在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，

根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，

则它们的乘积被4除余1，与ninj被4除余2或3的结论矛盾．

综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．

本题考查了奇数、偶数的性质，考查了完全平方数的性质，本题中讨论四个数的奇偶性是解题的关键．

根据n2﹣19n+91=（n﹣9）2+（10﹣n），可分两种情况：

①当n＞10时（n2﹣19n+91）不会成为完全平方数；

②当n≤10时，（n2﹣19n+91）才是完全平方数；

从而得出n的值为9或10．

若（n2﹣19n+91）处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了．

∵n2﹣19n+91=（n﹣9）2+（10﹣n）

当n＞10时，（n﹣10）2＜n2﹣19n+91＜（n﹣9）2∴当n＞10时（n2﹣19n+91）不会成为完全平方数

∴当n≤10时，（n2﹣19n+91）才是完全平方数

经试算，n=9和n=10时，n2﹣19n+91是完全平方数．

所以满足题意的值有2个．

本题考查了完全平方数的应用，是重点内容，要掌握．

（1）由于（a1+a2+…+a2002）2=a12+a22+…+a20022+2m=2002+2m，可得m=

．a1+a2+…+a2002

=2002时，m有最大值，a1+a2+…+a2002=