多边形的内角和与外角和同步练习解析版Word下载.docx

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12、如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°

，再沿直线前进10米后，又向左转40°

，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________米．

13、一个十边形所有内角都相等，它的每一个外角等于________度．

14、如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________．

15、如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°

，那么这个等腰三角形的底角度数为________．

16、如图，将一张长方形纸片与一张直角三角形纸片（∠EFG＝90°

）按如图所示的位置摆放，

使直角三角形纸片的一个顶点E恰好落在长方形纸片的一边AB上，已知∠BEF＝21°

，则

∠CMF＝________．

三、计算题

17、如图，△ABC中，∠A=30°

，∠B=70°

，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度数．

四、解答题

18、一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°

，求这个多边形的边数及内角和度数．

19、一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于2012°

，求这个内角的度数及多边形的边数．

20、如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．

（1）探究猜想：

①若∠A=20°

，∠D=40°

，则∠AED=________

②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并用两种不同的方法证明你的结论．________

（2）拓展应用：

如图②，射线FE与l1，l2交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：

∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，可直接写答案）．

五、综合题

21、如图，六边形ABCDEF的内角都相等，CF∥AB．

（1）求∠FCD的度数；

（2）求证：

AF∥CD．

22、实验探究：

（1）动手操作：

①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A=30°

，则∠ABD+∠ACD=________；

②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD=________

（2）猜想证明：

如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由；

（3）灵活应用：

请你直接利用以上结论，解决以下列问题：

①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，若∠BAC=40°

，∠BDC=120°

，求∠BEC的度数；

（4）②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，

若∠BDC=120°

，∠BF3C=64°

，则∠A的度数为________．

答案解析部分

1、【答案】B

【考点】三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：

2∠A=∠1+∠2，理由：

∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°

，

则2∠A+180°

﹣∠2+180°

﹣∠1=360°

∴可得2∠A=∠1+∠2．

故选：

B．

【分析】根据四边形的内角和为360°

及翻折的性质，就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质．

2、【答案】A

【考点】多边形内角与外角

∵△ABC中，∠C=50°

，∴∠A+∠B=180°

﹣∠C=130°

∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°

∴∠1+∠2=360°

﹣130°

=230°

A．

【分析】首先根据三角形内角和可以计算出∠A+∠B的度数，再根据四边形内角和为360°

可算出∠1+∠2的结果．

3、【答案】A

【解析】【解答】多边形的外角和为360°

，则该多边形的内角和为360°

×

2=720°

则（n-2）·

180°

=720°

.

解得n=6.

故选A.

【分析】多边形的外角和为360°

，且多边形内角和公式为（n-2）·

4、【答案】C

【考点】三角形内角和定理

∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，

∴∠FBC=2∠DBC，∠GCB=2∠DCB，

∵∠BFC=132°

∴∠FBC+∠DCB=180°

-∠BFC=180°

-132°

=48°

∠DBC+∠GCB=180°

-∠BGC=180°

-118°

=62°

则

2∠DBC+∠DCB＝48°

①

∠DBC+2∠DCB＝62°

②

由①+②可得：

3（∠DBC+∠DCB）=110°

∴∠ABC+∠ACB=3（∠DBC+∠DCB）=110°

∴∠A=180°

-（∠ABC+∠ACB）=180°

-110°

=70°

故选C．

【分析】由三角形内角和及角平分线的定义可得到关于∠DBC和∠DCB的方程组，可求得∠DBC+∠DCB，则可求得∠ABC+∠ACB，再利用三角形内角和可求得∠A．

5、【答案】B

【解析】【解答】在△AED中，∠A=180°

-（∠AED+∠ADE），则∠AED+∠ADE=180°

-∠A,

由折叠可知∠1=180°

-2∠AED，

∠2=180°

-2∠ADE，

则∠1+∠2=360°

-2（∠AED+∠ADE）=360°

-2（180°

-∠A）=2∠A，

即2∠A=∠1+∠2.

故选B.

【分析】根据三角形的内角和可得∠AED+∠ADE=180°

-∠A，又根据折叠和平角的定义可得∠1=180°

-2∠AED，∠2=180°

-2∠ADE，从而等量代换化简可得.

6、【答案】D

∵0°

＜∠A＜90°

，0°

＜∠B＜90°

，∴如果∠A=10°

，∠B=20°

，那么∠C=180°

﹣10°

﹣20°

=150°

，是钝角；

如果当∠A=30°

，∠B=60°

﹣30°

﹣60°

=90°

，是直角；

如果当∠A=60°

，∠B=59°

﹣59°

=61°

，是锐角；

即∠C可能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角．

故选D．

【分析】在0°

举出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理求出∠C，得出∠C的所有情况，即可得出答案．

7、【答案】C

【考点】多边形的对角线

设多边形有n条边，则n﹣2=6，

解得n=8．

【分析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形作答．

8、【答案】900

七边形的内角和是：

180°

（7-2）=900°

．

故答案为：

900°

【分析】由n边形的内角和是：

（n-2），将n=7代入即可求得答案．

9、【答案】230

【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质

∵∠C=50°

∴∠C处的外角=180°

-50°

=130°

-130°

【分析】根据三角形的外角与相邻的内角互补，可以得到∠1+∠2=360°

-（∠3+∠4），然后根据三角形的内角和定理求得∠3+∠4，然后代入即可求解．

10、【答案】12

设这个多边形是n边形，

根据题意得：

（n﹣2）×

180=1800，

解得：

n=12．

∴这个多边形是12边形．

12．

【分析】首先设这个多边形是n边形，然后根据题意得：

180=1800，解此方程即可求得答案．

11、【答案】15°

【考点】三角形的外角性质

由一副常用的三角板的特点可知，∠EAD=45°

，∠BFD=30°

∴∠ABF=∠EAD﹣∠BFD=15°

15°

【分析】根据常用的三角板的特点求出∠EAD和∠BFD的度数，根据三角形的外角的性质计算即可．

12、【答案】90

由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°

，且每次都是向左转40°

，所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米．

【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．

13、【答案】36

外角的度数是：

360°

÷

10=36°

36．

【分析】根据多边形的外角和是360度，再用360°

除以边数可得外角度数．

14、【答案】360°

如图，连接AD．∵∠1=∠E+∠F，∠1=∠FAD+∠EDA，

∴∠E+∠F=∠FAD+∠EDA，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

=∠BAD+∠ADC+∠B+∠C．

又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°

【分析】连接AD，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F=∠FAD+∠EDA，由四边形内角和是360°

，即可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°

15、【答案】67.5°

或22.5°

【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质

有两种情况；

（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，

则∠ADB=90°

已知∠ABD=45°

∴∠A=90°

﹣45°

=45°

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=

（180°

）=67.5°

2）如图当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°

已知∠HFE=45°

∴∠HEF=90°

∴∠FEG=180°

=135°

∵EF=EG，

∴∠EFG=∠G，

=

﹣135°

），

=22.5°

67.5°

【分析】先知三角形有两种情况

（1）

（2），求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．

16、【答案】69°

【考点】平行线的性质，三角形的外角性质

延长MF交AB于H，则∠EFG=90°

∵∠BEF=21°

∴∠BHF=90°

+21°

=111°

∵CD∥AB

∴∠CMF=180°

-∠BHF=180°

-111°

=69°

69°

​

【分析】延长MF交AB于H，求出∠BHF或∠EBF，再根据平行线的性质求得∠CMF.

17、【答案】解：

∵∠A=30°

∴∠ACB=180°

﹣∠A﹣∠B=80°

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=

∠ACB=40°

∵CD⊥AB于D，

∴∠CDA=90°

∠ACD=180°

﹣∠A﹣∠CDA=60°

∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=20°

∵DF⊥CE，

∴∠CFD=90°

∴∠CDF=180°

﹣∠CFD﹣∠ECD=70°

【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．

18、【答案】解：

根据题意，得

（n-2）•180=1620，

n=11．

则这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度．

【解析】【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°

，而多边形的外角和是360°

，则内角和是1620度．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°

，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．

19、【答案】解：

∵2012÷

180=11…32，

∴这个多边形的边数与2的差是12，

∴这个多边形的边数是：

12+2=14，

∴这个内角的度数是：

12﹣2012°

=2160°

﹣2012°

=148°

答：

这个内角的度数为148°

，多边形的边数为14

【解析】【分析】根据多边形内角和定理：

（n﹣2）•180°

（n≥3）且n为整数），可得：

多边形的内角和一定是180°

的倍数，而多边形的内角一定大于0°

，并且小于180°

，用2012除以180，根据商和余数的情况，求出这个多边形的边数与2的差是多少，即可求出这个多边形的边数，再用这个多边形的内角和减去2012°

，求出这个内角的度数是多少即可．

20、【答案】

（1）60°

；

∠AED=∠A+∠D，

证明：

方法一、延长DE交AB于F，如图1，

∵AB∥CD，

∴∠DFA=∠D，

∴∠AED=∠A+∠DFA=∠A+∠D；

方法二、过E作EF∥AB，如图2，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠A=∠AEF，∠D=∠DEF，

∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠A+∠D.

（2）当P在a区域时，如图3，∠PEB=∠PFC+∠EPF；

当P点在b区域时，如图4，∠PFC=∠PEB+∠EPF；

当P点在区域c时，如图5，∠EPF+∠PEB+∠PFC=360°

当P点在区域d时，如图6，∠EPF=∠PEB+∠PFC．

​

【解析】【分析】

（1）①易求得∠AED=∠A+∠D；

②方法一：

运用了平行线的性质和三角形外角的性质；

方法二：

运用了平行线的性质；

（2）有四种情况，分别画出图形，运用平行线的性质和三角形外角的性质去分析解答.

21、【答案】

（1）解：

∵六边形ABCDEF的内角相等，∴∠B=∠A=∠BCD=120°

∵CF∥AB，

∴∠B+∠BCF=180°

∴∠BCF=60°

∴∠FCD=60°

（2）解：

∵∠AFC=360°

﹣120°

=60°

，∴∠AFC=∠FCD，

∴AF∥CD．

【考点】平行线的判定与性质，多边形内角与外角

（1）先求六边形ABCDEF的每个内角的度数，根据平行线的性质可求∠B+∠BCF=180°

，再根据四边形的内角和是360°

，求∠FCD的度数，从而求解．

（2）先根据四边形内角和求出∠AFC=60°

，再根据平行线的判定即可求解．

22、【答案】

60°

（2）猜想：

∠A+∠B+∠C=∠BDC；

连接BC，

在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°

∴∠DBC+∠DCB=180°

﹣∠BDC；

在Rt△ABC中，

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°

即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°

而∠DBC+∠DCB=180°

﹣∠BDC，

∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°

﹣=∠BDC，

即：

∠A+∠B+∠C=∠BDC

（3）①由

（2）可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE=∠BEC，

∵∠BAC=40°

∴∠ABD+∠ACD=120°

﹣40°

=80°

∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，

∴∠ABE+∠ACE=40°

∴∠BEC=40°

+40°

（4）40°

①∵BC∥EF，

∴∠DBC=∠E=∠F=∠DCB=45°

∴∠ABD=90°

，∠ACD=60°

=15°

∴∠ABD+∠ACD=60°

②在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°

而∠D=90°

∴∠DBC+∠DCB=90°

而∠DBC+∠DCB=90°

∴∠ABD+∠ACD=90°

﹣∠A=60°

故答案为60°

4）②由

（2）可知：

∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC=120°

，∠ABF3+∠ACF3=∠BF3C=64°

∵∠ABF3=

∠ABD，∠ACF3=

∠ACD，

∴ABD+∠ACD=120°

﹣∠A，∠A+

（∠ABD+∠ACD）=64°

∴∠A+

=64°

∴∠A=40°

故答案为40°

【分析】

（1）在△DBC中，根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D=180°

，然后把∠D=90°

代入计算即可；

（2）根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°

，∠DBC+∠DCB+∠D=180°

，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°

，即可求得∠A+∠ABD+∠ACD=180°

﹣=∠BDC，（3）应用

（2）的结论即可求得．