初一数学竞赛系列讲座15Word格式.docx

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由图可知：

容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。

二、例题精讲

例1在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？

分析：

根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。

解：

在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：

21，22，…，2100，共100个；

在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：

31，32，…，366，共66个；

在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为：

61，62，…，633，共33个；

所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：

200-100-66+33=67（个）

例2求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。

1到100的自然数中，所有自然数的和是：

1+2+3+…+100=5050

1到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：

21+22+…+250=2（1+2+3+…+50）=21275=2550

1到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：

31+32+…+333=3（1+2+3+…+33）=3561=1683

1到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：

61+62+…+616=6（1+2+3+…+16）=6136=816

所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和

S=5050-2550-1683+816=1633

例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。

如图，用3个圆A、B、C分别表示不大于500而

能被2、3、5整除的自然数，

表示既能被2整除又能被3整除的自然数

表示既能被2整除又能被5整除的自然数

表示既能被3整除又能被5整除的自然数

表示既能被2整除又能被3整除，还能

被5整除的自然数

由图可看出：

属于A、B、C之一的数的个数为：

-（

）+

不大于500且能被2整除的自然数的个数是：

250

不大于500且能被3整除的自然数的个数是：

166

不大于500且能被5整除的自然数的个数是：

100

不大于500既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的自然数的个数是：

83

不大于500既能被2整除又能被5整除，即能被10整除的自然数的个数是：

50

不大于500既能被3整除又能被5整除，即能被15整除的自然数的个数是：

33

不大于500既能被2整除又能被3整除，还能被5整除，即能被30整除的自然数的个数是：

16

由容斥原理得：

不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数是：

250+166+100-（83+50+33）+16=366

例4求前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和。

前200个正整数的和是：

1+2+3+…+200=20100

前200个正整数中，所有2的倍数的正整数和是：

21+22+…+2100=2（1+2+3+…+100）=25050=10100

前200个正整数中，所有3的倍数的正整数和是：

31+32+…+366=3（1+2+3+…+66）=6633

前200个正整数中，所有5的倍数的正整数和是：

51+52+…+540=5（1+2+3+…+40）=4100

前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的正整数和是：

61+62+…+633=6（1+2+3+…+33）=3366

前200个正整数中，所有既是2的倍数又是5的倍数，即是10的倍数的正整数和是：

101+102+…+1033=10（1+2+3+…+20）=2100

前200个正整数中，所有既是3的倍数又是5的倍数，即是15的倍数的正整数和是：

151+152+…+1513=15（1+2+3+…+13）=1365

前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数，即是30的倍数的正整数和是：

301+302+…+306=30（1+2+3+4+5+6）=630

所以，前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和是

S=20100-（10100+6633+4100）+（3366+2100+1365）-630=630

例5某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

短跑

游泳

篮球

短跑、

游泳、

篮球、

短跑、游泳、篮球

17

18

15

6

5

2

求这个班的学生数。

（第三届华杯赛复赛试题）

有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17、18、15，因而，总人数是17+18+15+4=54。

但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：

54-6-6-5=37

又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去。

即这个班学生数为：

37+2=39。

例6从1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数多还是能被13整除而不能被11整除的数多？

（第20届全俄九年级试题）

设1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数有m个，

能被13整除而不能被11整除的数有n个，既能被11又能被13整除的数有p个。

而在1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除数有90909个，∴m+p=90909

在1到1000000这一百万个自然数中，能被13整除数有76923个，∴n+p=76923

∴m+p>

n+p∴m>

n，即能被11整除而不能被13整除的数比能被13整除而不能被11整除的数多。

例750名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？

（1995年华杯赛试题）

首先没有转的同学仍面向老师，即报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学仍面向老师，其次，报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学连续转了两次，仍面向老师。

报数是4的倍数的同学有12个，报数是6的倍数的同学有8个，报数是12的倍数的同学有4个，所以根据容斥原理得：

报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学有50-12-8+4=34个。

报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学有4个。

所以此时还应有34+4=38个同学面向老师。

评注：

若将同学数50改成n，问此时还有多少同学面向老师？

可以得出一个一般的结论：

例8已知某校共有学生900名，其中男生528人，高中学生312人，团员670人，高中男生192人，男团员336人，高中团员247人，高中男团员175人，试问这些数据统计有无错误？

用I表示全校学生，A表示该校男生，B表示该校高中学生，C表示团员，则有：

=900，

=528，

=312，

=670，

且

=192，

=336，

=247，

=175

这样，初中女生的非团员数是：

=900-528-312-670+192+336+247-175=-10<

因人数做到负数，所以数据统计有错误。

例9从自然数序列：

1，2，3，4，…中依次划去3的倍数和4的倍数，但其中5的倍数均保留。

划完后剩下的数依次组成一个新的序列：

1，2，5，7，…求该序列中第2002个数。

因为3，4，5的最小公倍数是60，所以可将自然数序列：

1，2，3，4，…以60的倍数来分段，先考虑1到60的整数，其中3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，则划去3的倍数和4的倍数还剩60-20-15+5=30个，又还要保留其中的5的倍数6个，这样还剩36个，即1到60的整数中，划完后剩下36个，由此推得，每60个一段中，划完后剩下36个。

因2002=3655+22，说明2002是56段中的第22个数。

先考虑1到60的整数

在1到60的整数中，3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，所以划去3的倍数和4的倍数还剩60-20-15+5=30个。

又因为其中5的倍数有6个，需要保留，所以划完后剩下30+6=36个

因为3，4，5的最小公倍数是60，所以每60个整数一段中，划完后均剩下36个。

因为2002=3655+22，所以第2002个数是56段中的第22个数。

因为第一段中的第22个数是37，所以该序列中第2002个数是5560+37=3337。

三、三、巩固练习

选择题

1、在1到40这四十个自然数中选一些数组成数集，使其中任何一个数不是另一个数的2倍，则这个数集最多有（）个数。

A、20B、26C、30D、40

2、甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲不排在首位，丁不排在末位，有（）种不同的排法。

A、14B、13C、12D、11

3、从1到1000中，能被2，3，5之一整除的整数有（）个

A、767B、734C、701D、698

4、从1到200中，能被7整除但不能被14整除的整数有（）个

A、12B、13C、14D、15

5、A、B、C是面积分别为150、170、230的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起的覆盖面积是350，且A与B、B与C、A与C的公共部分面积分别是100、70、90。

则A、B、C的公共部分面积是（）

A、12B、13C、60D、15

6、50束鲜花中，有16束插放着月季花，有15束插放着马蹄莲，有21束插放着白兰花，有7束中既有月季花又有马蹄莲，有8束中既有马蹄莲又有白兰花，有10束中既有月季花又有白兰花，还有5束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有。

则50束鲜花中，这三种花都没有的花束有（）

A、17B、18C、19D、20

填空题

7、一张正方形的纸片面积是50平方厘米，一张圆形的纸片面积是40平方厘米。

两张纸片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米，则这两张纸片重合部分的面积是。

8、某班有学生45人，已知其次考试数学30人优秀，物理28人优秀，数理两科都优秀的有20人。

则数理两科至少有一科优秀的有人，一科都未达到优秀的有人。

9、某班有学生50人，参加数学兴趣小组的有35人，参加语文兴趣小组的有30人，每人至少参加一个组，则两个组都参加的有人。

10、一个数除以3余2，除以4余1，则这个数除以12的余数是。

11、每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为一个边宽是1厘米的方框。

把5个这样的方框放在桌上，成为如图这样的图形。

则桌面上被这些方框盖住的部分面积是平方厘米。

12、200以内的正偶数中与5互质的数有个。

解答题

13、在线段AB上取两个点以C、D，已知AB=25，AD=19，CB=17，求CD长。

14、求1到200的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。

15、100名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是3的倍数的学生向后转，接着又让报数是7的倍数学生向后转，问此时还有多少学生面向老师？

这些面向老师的学生的报数号的总和是多少？

16、求前500个正整数中非5、非7、非11的倍数的数的个数。

17、某校初一年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数。

18、某班语文、数学、外语三门考试成绩统计结果如下：

课程

语文

数学

外语

语、数

数、外

语、外

至少一门

得满分人数

9

11

8

3

4

问：

语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是多少？

19、求出分母是111的最简真分数的和。

20、有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着。

现将其顺序编号为1，2，3，…，1997。

将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？