届高三数学一轮复习 第7章 第5节 直线平面垂直的判定及其性质文档格式.docx

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（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（　　）

（2）垂直于同一个平面的两平面平行．（　　）

（3）若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．（　　）

（4）若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．（　　）

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）×

2．（教材改编）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.（　　）

A．若l⊥β，则α⊥β

B．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥β

D．若α∥β，则l∥m

A　[∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β（面面垂直的判定定理），故A正确．]

3．（2016·

浙江高考）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）

A．m∥l　　　　　B.m∥n

C．n⊥lD.m⊥n

C　[∵α∩β＝l，∴l⊂β.

∵n⊥β，∴n⊥l.]

4．如图751，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

图751

4　[∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，

则△PAB，△PAC为直角三角形．

由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，

∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.

因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]

5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．

a　[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．

即∠A′OC＝90°

，又A′O＝CO＝

a，

∴A′C＝

＝a，即折叠后AC的长（A′C）为a.]

线面垂直的判定与性质

　如图752，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.

图752

（1）求证：

CD⊥平面ABD；

（2）若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．

[解]　

（1）证明：

因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，

所以AB⊥CD.2分

又因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，

AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，

所以CD⊥平面ABD.5分

（2）由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.

又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝

×

12＝

.8分

因为M是AD的中点，所以S△ABM＝

S△ABD＝

根据

（1）知，CD⊥平面ABD，

则三棱锥CABM的高h＝CD＝1，

故VAMBC＝VCABM＝

S△ABM·

h＝

.12分

[规律方法]　1.证明直线和平面垂直的常用方法有：

（1）判定定理；

（2）垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；

（3）面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

（4）面面垂直的性质．

2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

[变式训练1]　

如图753所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝

DB，点C为圆O上一点，且BC＝

AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.

求证：

PA⊥CD.

图753

[证明]　因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由

AC＝BC，得∠ABC＝30°

.3分

设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2

，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·

BCcos30°

＝3，

所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.8分

因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，

所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.12分

面面垂直的判定与性质

　（2017·

郑州调研）如图754，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

图754

BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：

平面BCD⊥平面EGH.

[证明]　

（1）如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，

连接MH.1分

在三棱台DEFABC中，

AB＝2DE，G为AC的中点，

可得DF∥GC，DF＝GC，

所以四边形DFCG为平行四边形.3分

则M为CD的中点，

又H为BC的中点，

所以HM∥BD，

由于HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，

故BD∥平面FGH.5分

（2）连接HE，GE，CD

因为G，H分别为AC，BC的中点，

所以GH∥AB.6分

由AB⊥BC，得GH⊥BC.

所以EF∥HC，EF＝HC，

因此四边形EFCH是平行四边形，

所以CF∥HE.10分

由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.

又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H.

所以BC⊥平面EGH.

又BC⊂平面BCD，

所以平面BCD⊥平面EGH.12分

[规律方法]　1.面面垂直的证明的两种思路：

（1）用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；

（2）用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．

2．垂直问题的转化关系：

[变式训练2]　如图755，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．

图755

PB∥平面MNC；

（2）若AC＝BC，求证：

PA⊥平面MNC.

[证明]　

（1）因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB，2分

又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，

所以PB∥平面MNC.5分

（2）因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.

因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.7分

因为平面PAB⊥平面ABC，

CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.

所以CM⊥平面PAB.10分

因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.

又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.12分

平行与垂直的综合问题

☞角度1　多面体中平行与垂直关系的证明

　（2016·

江苏高考）如图756，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

图756

[证明]　

（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.

在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，

所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.3分

又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，

所以直线DE∥平面A1C1F.5分

（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.

因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.7分

又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.

因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.10分

又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.

因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.12分

[规律方法]　1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．

2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．

☞角度2　平行垂直中探索开放问题

秦皇岛调研）如图757

（1）所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图757

（2）所示．

（1）　　　　　　　　　

（2）

图757

A1F⊥BE；

（2）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？

并说明理由.

【导学号：

01772259】

[证明]　

（1）由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.

所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，

因为DC∩DA1＝D，

所以DE⊥平面A1DC.2分

由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.

又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，

所以A1F⊥平面BCDE，

又BE⊂平面BCDE，

所以A1F⊥BE.5分

（2）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.6分

理由如下：

如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.

又因为DE∥BC，则DE∥PQ.

所以平面DEQ即为平面DEQP.9分

由

（1）知，DE⊥平面A1DC，

所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

所以A1C⊥DP.

又DP∩DE＝D，

所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.12分

[规律方法]　1.对命题条件探索性的主要途径：

（1）先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．

2．平行（垂直）中点的位置探索性问题：

一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.

线面角的求法与应用

浙江高考）如图758，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°

，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.

图758

BF⊥平面ACFD；

（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.1分

因为平面BCFE⊥平面ABC，

且AC⊥BC，

所以AC⊥平面BCK，3分

因此，BF⊥AC.

又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.

所以BF⊥平面ACFD.5分

（2）因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.8分

在Rt△BFD中，BF＝

，DF＝

，得cos∠BDF＝

，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为

[规律方法]　1.利用综合法求空间角的步骤：

（1）找：

根据图形找出相关的线面角或二面角．

（2）证：

证明找出的角即为所求的角．

（3）算：

根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．

2．线面角的求法：

找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．

[变式训练3]　如图759，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°

，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

图759

（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；

（2）证明：

AE⊥平面PCD.

[解]　

（1）在四棱锥PABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，

故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，

从而AB⊥平面PAD，2分

故PB在平面PAD内的射影为PA，

从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．

在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°

∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°

.5分

在四棱锥PABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

故CD⊥PA.

由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC.7分

又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.

由PA＝AB＝BC，

∠ABC＝60°

，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，

∴AE⊥PC.10分

又PC∩CD＝C，

故AE⊥平面PCD.12分

[思想与方法]

1．证明线面垂直的方法：

（1）线面垂直的定义：

a与α内任一直线都垂直⇒a⊥α；

（2）判定定理1：

⇒l⊥α；

（3）判定定理2：

a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

（4）面面垂直的性质：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

2．证明面面垂直的方法．

（1）利用定义：

两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

3．转化思想：

垂直关系的转化

[易错与防范]

1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．

2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．