数学建模教案Word文档格式.docx

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培养学生联想、洞察能力、综合分析能力、协作能力和科技论文写作能力，激发学生的学习积极性，培养学生应用数学解决实际问题的能力。

1.3.建模示例之一；

椅子能在不平的地面上放稳吗；

1.4.建模示例之二：

商人们怎样安全过河；

1.5.建模示例之三：

如何预报人口的增长；

1.6.数学建模的基本方法和步骤；

1.7.数学模型的特点和分类；

1.8.数学建模能力的培养.

数学建模基本思想和基本方法。

教学过程：

1.引导学生分析问题的背景，抓住问题的主要矛盾.

2.让学生明白数学建模的过程是从简单到复杂多次循环的过程，认真分析人口的增长问题，使学生体会建模过程.

3.想像力、洞察力和判断力的培养是数学建模的主要任务之一，从课程就应该抓紧.可用以下例子：

A.人人都能做到:

哥伦布与鸡蛋

B.对称性-----

分析思维与综合思维的对比:

一杯咖啡与一杯牛奶

C.杀鸡用牛刀:

到河里饮水

D.思维并无限制:

漏洞原理

E.小洞不补,大洞吃苦:

睡莲问题

F.错误的感觉---再快一点就能如愿以偿:

高速问题

G.有限和无限

讨论题：

交通路口红绿灯：

十字路口绿灯亮15秒，最多可以通过多少辆汽车？

第3周2课时

初等模型

掌握初等数学方法建模的基本思路和建模技巧，能用初等数学方法建立一些比较简单问题的数学模型。

2.2．录像机计数器的用途

　　2.3．双层玻璃窗的功效

2.5．赛艇比赛的成绩

2.7．实物交换

如何用初等数学来刻画实际问题。

1.重点分析“录像机计数器的用途”和“赛艇比赛的成绩”这两个实际问题。

2．录像机计数器的用途是一个实际问题，通过观察，让学生了解它的工作原理，在合理的假设下，建立计数器与录像带转过时间的数学模型，并且包含了参数估计（强调数据的收集）、模型检验和应用。

3．赛艇比赛的成绩，着重引导学生学会用比例法建模，这个模型建立在在一些不太精细的假设的基础上，但对我们的建模目的来说已经足够了。

4．“双层玻璃窗的功效”和“实物交换”教师引导学生把问题分析清楚，让学生在一定假设下建立模型。

第4周4课时

优化模型

日

记

理解静态优化问题的建模思路，掌握静态优化的方法，能把一些比较简单的静态优化问题转化为数学模型，并求解。

3.1．存储问题

　　3.2．生猪的出售时机

　　3.3．森林救火

3.4．最优价格

如何把静态优化问题转化为数学模型，并求解。

优化问题可以说是人们在生活中经常遇到的一类问题，这一章我们介绍较简单的优化模型，归结为微积分中的函数极值问题，可以直接用微分法求解。

用数学建模方法来解决一个优化问题的时候，首先要确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些因素的影响，然后用数学工具（变量、常数、函数）表示它们。

所以在讲授时，必需把问题分析清楚。

1.重点分析“存储问题”和“森林救火问题”。

2．存储管理在现代企业管理中占有重要地位，研究较深入，这里仅仅介绍比较简单的存储模型。

首先引导学生对存储问题有一个基本的认识，此问题的目标应为贮存费，然后分析清楚贮存费的主要因素有哪些，如何度量它们，最后在一定的需求下建立模型，并进行敏感性分析。

3．森林救火是一个具有现实意义问题，此问题的目标很容易得到，即，损失费和救援费，而影响因素稍复杂，但都与速度有关，因此，应引导学生用微元法来建模。

4．“生猪的出售时机”和“最优价格”教师引导学生把问题分析清楚，让学生在一定假设下建立模型。

航天飞机的水箱：

考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。

水箱的形状为在直圆锥顶上装一个球体。

如果球体的半径限定为正好6米，水箱的表面积为450平方米，请你为宇航员设计水箱，使它的容积最大。

第5周2课时

数学规划模型

掌握线性规划的基本概念

1．数学规划的概念

　　2．线性规划以及有关概念

线性规划模型以及基解。

线性规划模型是解决实际问题的常用方法之一，这一节主要介绍线性规划的最基本的概念，对于算法只作简单介绍。

第6周4课时

线性规划模型奶制品的生产与销售

1．掌握建立线性规划模型的最基本建模技巧

2．掌握用Lindo6.1软件求解线性规划模型的方法，并能根据求解报告正确解答线性规划问题的灵敏度分析问题。

4.1．奶制品的生产与销售

模型建立以及结果分析。

1．问题分析：

确定优化问题的目标――利润，决策变量――两种奶制.

2．寻找约束条件：

原料供应、劳动时间、设备能力和非负约束.

3．建立模型并用图解法和LINDO软件求解.

4．引导学生分析软件输出的结果并给出相应经济意义.

5．扩充问题.

注：

讲授时注重线性模型的三要素：

目标函数、决策变量和约束条件.

某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：

木料、木工和漆工。

生产数据如下表所示：

每个书桌

每个餐桌

每个椅子

现有资源总数

木料

8单位

6单位

1单位

48单位

漆工

4单位

2单位

1.5单位

20单位

木工

0.5单位

成品单价

60单位

30单位

若要求桌子的生产量不超过5件，如何安排三种产品的生产可使利润最大？

第7周2课时

线性规划模型运输问题

1．掌握建立运输问题模型的最基本建模技巧

4.2．自来水输送与货机装运

自来水输送：

确定优化问题的目标――利润，决策变量――12个.

供应量和需求量、设备能力和非负约束.

货机装运：

与上例同理，只需注意限制是：

重量限制和空间限制，且有

装载均匀要求，讲授时把它看成是运输问题的一种变形和扩张.

第8周4课时

线性规划模型整数规划指派问题

1．掌握建立整数规划模型的最基本建模技巧

2．初步掌握用0－1变量建立模型的基本技巧

2．了解Lingo8.0软件的基本功能，能用该软件求解简单的非线性规划问题。

4.3.汽车生产与原油有采购

　　4.4.接力队的选拔与选课策略

模型求解方法以及0—1变量的使用。

确定优化问题的目标，决策变量，寻找约束条件.

2．建立模型,认真分析模型并和前面的模型进行比较.

3．在充分分析的基础上，引导学生使用0－1变量.

4．这一节，应注重模型求解的教学.

5．简单介绍多目标规划的处理方法.

露天矿生产的车辆安排（CMCM2003B）

钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。

许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。

提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。

露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。

一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。

每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。

每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。

卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。

从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5%

1%，称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。

从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。

卡车的平均卸车时间为3分钟。

所用卡车载重量为154吨，平均时速28

。

卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1吨柴油。

发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。

卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。

电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。

卡车每次都是满载运输。

每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60

的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。

一个班次的生产计划应该包含以下内容：

出动几台电铲，分别在哪些铲位上；

出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）。

一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：

1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；

2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；

在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。

请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。

针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。

某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。

各卸点一个班次的产量要求：

矿石漏1.2万吨、倒装场Ⅰ1.3万吨、倒装场Ⅱ1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万吨。

铲位和卸点位置二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下表：

铲位1

铲位2

铲位3

铲位4

铲位5

铲位6

铲位7

铲位8

铲位9

铲位10

矿石漏

5.26

5.19

4.21

4.00

2.95

2.74

2.46

1.90

0.64

1.27

倒装场Ⅰ

0.99

1.13

2.25

1.48

2.04

3.09

3.51

岩场

5.89

5.61

4.56

3.65

1.06

0.57

岩石漏

1.76

1.83

2.60

3.72

5.05

6.10

倒装场Ⅱ

4.42

3.86

3.16

2.81

0.78

1.62

0.50

各铲位矿石、岩石数量（万吨）和矿石的平均铁含量如下表：

矿石量

0．95

1．05

1．00

1．10

1．25

1．30

1．35

岩石量

1．15

铁含量

30%

28%

29%

32%

31%

33%

第9周2课时

微分方程模型传染病模型

熟练掌握微分方程建模的基本思路和技巧，掌握模型检验和改进的基本方法，能够把比较简单的动态问题转化为微分方程模型。

5.0.微分方程模型

5.1.传染病模型

微分方程模型基本思想和传染病模型。

1．微分方程的基本思想和方法.

2．微分（导数）的在各领域的实际意义.

3．运用从简单到复杂的原则，分类建立模型.

4．分析模型的解,提出进一步研究的问题.

5．Matlab的使用方法.

6．定性与定量的分析方法.

第10周4课时

战争模型房室模型

5.3、正规战与游击战

　　5.4、药物在体内的分布与排除

离散问题的连续化，房室模型.

1.把战争问题分为正规战争、游击战争和混合战争分别建立微分方程模

型，并用定量和定性的方法得出结果.

2．把药物在体内不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外手成房室问题，用房室模型来解决药物在体内的分布与排除问题.

很多离散问题可用微分方程模型来近似描述，并能得到系统的运行规律。

药物在体内的分布与排除的模型建立过程是将机理分析和测试分析相结合，先由机理分析确定方程形式，再由测试数据估计参数，讲授中应充分体现这一思想方法.

讨论题:

饮酒驾车（CMCM2004C）

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

1.对大李碰到的情况做出解释；

2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

1）酒是在很短时间内喝的；

2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4.根据你的模型论证：

如果天天喝酒，是否还能开车？

5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据

1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；

而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

时间（小时）

0.25

0.5

0.75

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

酒精含量

30

68

75

82

77

58

51

50

41

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

38

35

28

25

18

第11周2课时

微分方程稳定性

掌握微分方程稳定性分析的方法，能解释稳定分析的结果，能用微分方程稳定性方法解决一些比较简单的实际问题。

6.0.微分方程稳定性的概念

6.1.捕鱼业的持续收获

稳定性的概念，建立模型.

动态过程的变化规律一般用微分方程建立的动态模型来描述，对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每一个瞬间的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征。

所以我们这一章来介绍稳定性模型。

1．微分方程稳定性的基本概念和微分方程稳定性理论的结果。

2．可持续发展是世界各国都在关心的问题，我们用捕鱼业的持续收获来

阐述这一问题的建模思想。

3．问题分析：

在捕捞情况下，使其长期的收益最大。

即要建立在捕捞条

件下鱼场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。

4．模型建立：

关键是建立产量模型和效益模型。

5．用稳定性理论分析这一问题，提出指导性意见。

第12周2课时

微分方程稳定性相互竞争食饵－捕食者模型

6.3．种群的相互竞争

6.5．食饵－捕食者模型

建立模型和模型求解.

1．种群的相互竞争是生态学中的最基本的问题，研究种群发展非常有意

义。

在建立模型是应紧紧抓住种群的数量可用Logistic模型来描述，而后引入竞争因素就可得到微分方程模型。

2．稳定性分析（强调相轨线分析）、计算与验证、结果解释。

3．食饵－捕食者模型建立较简单，讲授时主要分析：

数值解、平衡点及

相轨线、模型解释.

4.种群问题不仅对生态学有重要意义，与微分方程定性理论有着密切联系，目前，还有许多学者在关注它。

最优捕鱼问题

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。

一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：

假设这种鱼分4个年龄组：

称1龄鱼，……，4龄鱼。

各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；

各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；

这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×

105（个）；

3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；

卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×

10^11/（1.22×

10^11+n）.渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的8个月内进行捕捞作业。

如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。

比例系数不妨称捕捞强度系数。

通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:

1。

渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

1）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。

2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。

已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：

122,29.7,10.1,3.29（×

10^9条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。

第13周2课时

差分方程模型蛛网模型

掌握用差分方程建立模型的基本技巧，能够把微分方程模型转化为差分方程模型，能够用差分方程方法建立一些比较简单问题的数学模型。

7.1、市场经济中的蛛网模型

差分方程模型的基本思想和模型的建立.

1.在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。

有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，往往需要求数值解。

这就需要将变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型转化为离散型，因此，最后都归结为求解离散型的差分方程的解。

2.差分方程的基本思想和基本理论。

3.蛛网模型的建立，把供需变化过程表示成的图形，给学生一个直观认识，然后引导学生写出解析表达式，即，蛛网模型。

4．结