三角形的证明讲义Word文件下载.docx
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回顾课本
已知:
△ABC是等腰三角形,AB=AC
求证:
∠B=∠C(提示:
利用三角形全等证明。
你能想到哪些方法?
)
归纳:
1、等腰三角形性质定理:
(简称“等边对等角”);
推理格式:
∵AB=AC,∴_________(等边对等角)
2、推论(三线合一):
;
推理格式:
①∵AB=AC,AD⊥BC,②∵AB=AC,BD=DC,③∵AB=AC,___平分____,
∴BD=DC,AD平分_____,∴___⊥___,___平分_____,∴________________,
1、等腰三角形的两边分别是7cm和3cm,则周长为____。
2、如图在△ABC中,AB=AC,AD⊥AC,∠BAC=100°
。
求:
∠1、∠B的度数。
3、如图,已知∠D=∠C,∠A=∠B,且AE=BF。
求证:
AD=BC。
4、如图,在△ABC中,D为AC上一点,并且AB=AD,DB=DC,若∠C=29°
,求∠A。
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,且DE⊥AB,DF⊥AC。
∠1=∠2。
总结一下:
(简称“等边对等角”);
第二篇章
1、如图,E是△ABC内的一点,AB=AC,连接AE、BE、CE,且BE=CE,延长AE,交BC边于点D。
AD⊥BC。
2、已知:
如图,点D,E在三角形ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证:
BD=CE
3、已知:
如图,在△ABC中,∠B=∠C,求证:
AB=AC(提示:
构造两个全等三角形证明)
1、有两个角相等的三角形是______三角形。
(简称“等角对等边”)
推理格式:
∵∠B=∠C,∴___________(等角对等边)
2、反证法证明问题的一般步骤:
从结论的_出发,先假设命题的结论__,然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相__的结果,从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为____。
1、用反证法证明:
在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,求证:
△ADE是等腰三角形。
3.如图,在
中,∠ABC的平分线交AC于点D,DE∥BC。
△EBD是等腰三角形。
4、如图,一艘船从A处出发,以18节的速度向正北航行,经过10时到达B处。
分别从A、B望灯塔C,测得∠NAC=42°
,∠NBC=84°
求B处到灯塔C的距离。
5、已知:
如图,在三角形ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,E是AC延长线上的一点且DB=CE,DE交BC于M.求证:
MD=ME.
6、用反证法证明:
一个三角形中不能有两个直角。
1、三条边都_______的三角形是等边三角形。
2、三个_____都相等的三角形是等边三角形。
3、有一个角等于_____°
的等腰三角形是等边三角形。
4、在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的________。
5、直角三角形:
有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。
6、勾股定理的逆定理:
∵AB2+AC2=BC2,,∴∠___=90°
(△ABC是直角三角形)
7、互逆命题:
在两个命题中,如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______,那么这两个命题称为__________,其中一个命题称为另一个命题的__________。
8、互逆定理:
一个命题是真命题,它的逆命题却______是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为________,其中一个定理称为另一个定理的________。
9.斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。
(“斜边、直角边”或“__”)
1.已知:
如图,△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=
(1)求DC的长;
(2)求AD的长;
(3)求AB的长;
(4)求证:
△ABC是直角三角形.
2.、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图5所示,∠ACB=90°
,AC=80米,BC=60米,若线段CD是一条小渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为10元/米,问D点在距A点多远处时,水渠的造价最低?
最低造价是多少?
3、说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假。
(1)如果ab=0,那么a=0,b=0;
(2)初三(6)班有62位同学;
(3)等边对等角;
4.、找出下列定理有哪些存在逆定理,并把它写出来。
(1)如果
,则
(2)全等三角形对应角相等(3)对顶角相等
1、直角三角形的两直角边为9、12,则斜边为;
直角三角形的两边分别为13和5,则另一条边为。
如果三角形的三边长是6、10、8,则这个三角形是三角形。
2、如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,∠BAE=∠DEC=60°
,AB=3,CE=4,求:
AD
3.如图,AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,BD=CD。
EB=FC。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线:
垂直且______一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。
定理:
到一条线段两个端点距离__________的点,在这条线段的____________线上。
∵AB=AC,∴____点在线段BC的__。
推理格式:
∵PC⊥AB,AC=____(点P在线段AB的垂直平分线MN上),
∴=PB
教材精读
如图,在△ABC中,设AB、BC的垂直平分线相交于点P,
AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P,且AP=BP=CP。
证明:
连接AP、BP、CP,
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=____(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等
∵点P在线段BC的垂直平分线上,
∴
三角形三条边的__________线相交于_____,并且这一点到三个______的距离相等。
∵点P是△ABC的三条边的垂直平分线的交点,
∴PA=_____=_______.
1、已知:
如图,OC是∠AOB的角平分线,点P在OC上,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D,E,求证:
PD=PE
证明:
∵PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D,E,
∴∠PDO=______=90°
∵OC是∠AOB的角平分线,
角平分线上的____到这个角的两边的距离________。
(证明两条线段相等)
∵点P在∠AOB的角平分线上,PE⊥OA,PD⊥OB,
∴PD=__
如图,点P为∠AOB内一点,PE⊥OA,PD⊥OB,且PD=PE,
OP平分∠AOB。
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的___,在这个角的平分线上(证明角相等)
∵PE⊥OA,PD⊥OB,且PD=PE,
∴点P平分。
3.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°
,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E。
(1)已知CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:
AB=AC+CD。
4.如右图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD。
AD平分∠BAC。
5、如图,在△ABC中,BE⊥AC,AD⊥BC,AD、BE相交于点P,AE=BD。
P在∠ACB的角平分线上。
告诉你个秘密
1、角平分线上的____到这个角的两边的距离________。
2、在一个角的内部,且到角的两边距离相等的____,在这个角的平分线上.(证明角相等)
1.、已知:
点P是△ABC的两条角平分线BM、CN的交点,
∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF。
证明:
过点P作PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,PD⊥AB于D,
∵CN是△ABC的角分线,点P为CN上一点,
∴PE=_____()
∵BM是△ABC的角分线,点P为BM上一点,
三角形三条角平分线相交于一___,并且这一点到三角形三条____的距离______。
∵点P是△ABC的三条角平分线的交点,且PE⊥BC,PF⊥AC,PD⊥AB,
∴PD=_____=_______.
实践练习:
(1)如图4,点P为△ABC三条角平分线交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD______PE______PF.
(2)如图5,P是∠AOB平分线上任意一点,且PD=2cm,若使PE=2cm,则PE与OB的关系是__________.
图4图5
7、已知:
如图在△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠BAC,交BC于D,若BC=32,BD∶CD=9∶7,求:
D到AB边的距离.
1、三角形三条角平分线相交于一___,并且这一点到三角形三条____的距离______。
回顾思考
【学习目标】
1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图,复习有关定理的探索与证明,证明的思路和方法,尺规作图等。
2、发展初步的演绎推理能力,进一步掌握综合法的证明方法,提高用规范的数学语言表达论证过程的能力。
复习反馈
1、等腰三角形的性质:
(边)(角)
三线合一:
2、等边三角形的性质:
(边);
(角)
3、判定等腰三角形的方法有:
(角)。
4、判定等边三角形的方法有:
5、线段垂直平分线的性质定理:
。
逆定理:
三角形的垂直平分线性质:
6、角的性质定理:
三角形的角平分线性质:
7、三角形全等的判定方法有:
8、30°
锐角的直角三角形的性质:
9、方法总结:
(1)证明线段相等的方法:
1)可证明它们所在的两个三角形全等;
2)角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等;
3)等角对等边;
4)等腰三角形三线合一的性质;
5)中垂线的性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
(2)证明两角相等的方法:
1)同角的余角相等;
2)平行线性质;
3)对顶角相等;
4)全等三角形对应角相等;
5)等边对等角;
6)角平分线的性质定理和逆定理。
(3)证明垂直的方法:
1)证邻补角相等;
2)证和已知直角三角形全等;
3)利用等腰三角形的三线合一性质;
4)勾股定理的逆定理。
(4)等腰三角形的证明:
主要用等腰三角形的两腰相等,两底角相等和三线合一性质解题。
1、填空:
(1)△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最小边BC=4cm,最长边AB=。
(2)直角三角形两直角边分别是5cm、12cm,其斜边上的高是。
(3)若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点,则此三角形是三角形。
(4)三角形三边分别为a、b、c,且a2-bc=a(b-c),则这个三角形(按边分类)一定是________
如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F,且DE=DF。
△ABC是等腰三角形。
3、如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,已知△BCE的周长为8,AC-BC=2.求AB与BC的长.
4、已知,在△ABC中,AD垂直平分BC,且CA=CE,点B、D、C、E在同一条直线上。
AB+DB=DE
1、等腰三角形的底角为15°
腰上的高为16,那么腰长为__________
2、如图1,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,则BC的长为。
3、如图2,在△ABC中,∠ACB=90°
BE平分∠ABC,ED⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于。
图2
4、命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是_______________________.它是一个__________命题。
等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是___________________________________________________,这个逆命题是_________命题.
5、如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AF,E、F是垂足,且BC=CD。
(1)△BCE≌△DCF;
(2)DF=EB。