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习题解

1.1晶体具有哪些宏观特征？

这些宏观特征与晶体的微观结构有何联系？

答：

晶体有固定的熔点，外形为凸多面体。

一个理想完整的晶体，相当的晶面具有相同的面积。

晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这种性质称为晶体的解理性，这样的晶面称为解理面。

显露在晶体外表的往往是一些解理面。

晶体可以有不同的外形和大小，但必须遵守晶面角守恒定律：

属于同一品种的晶体，两个对应晶面（或晶棱）间的夹角恒定不变。

晶体外形上的规则性反映着内部分子（原子）间排列的有序。

晶态固体的内部，至少在微米量级的范围是有序排列的，这叫做长程有序。

晶体有固定的熔点也是因为在熔化过程中，晶态固体的长程序解体时对应着一定的温度。

1.2简要说明下列概念：

结点、基元、原胞、晶胞、布喇菲格子、子晶格、简单格子和复式格子．

答：

基元是晶体的基本结构单元；结点是基元的代表点，应该取各基元结构中相同的位置，如基元的重心或其它有明显特征之处；原胞是晶体的最小重复单元，它包含基元及其周围空间；晶胞是能反映结点空间排列或晶体对称性的重复单元，其体积应该是原胞的整数倍；布喇菲格子是指全体结点的集合，反映基元在空间的排列情况；子晶格是指复式格子中同一种粒子构成的网格；简单格子是指晶体中只有一种粒子的情况，复式格子是指有两种或两种以上粒子的情况。

1.3设立方体晶胞边长为a，问简立方、面心立方、体心立方的最近邻和次近邻格点数各为多少？

距离多大？

答：

简立方分别为6个和12个，距离为a和a；面心立方分别为12个和6个，距离为a和a；体心立方分别为8个和6个，距离为a和a。

1.4证明体心立方、面心立方的原胞体积分别为a3/2和a3/4。

答：

体心立方每个立方体包含2个结点，每个结点对应1个原胞，故原胞体积分别为a3/2。

面心立方每个立方体包含4个结点，故原胞体积分别为a3/4。

（更严格的证明应用原胞基矢求体积的方法进行）

1.5体心立方晶格是否可以看作两个简立方晶格平移套构而成？

如果可以，为什么它们不属于复式格子？

答：

体心立方晶格可以看作两个简立方沿体对角线方向平移1/2套构而成，但体心和顶角是同一种粒子且在晶体中的地位相同，所以不是复式格子。

1.6简要说明：

晶列、晶向、晶面、密勒指数、正格子、倒格子。

答：

任意两个结点相连构成一条晶列，许许多多互相平行的晶列确定一个方向，称晶向。

任意三个不在一条线上的结点确定一个平面称晶面，许许多多互相平行的晶面确定一个方向，密勒指数就是与此方向对应的一组整数。

晶体的结点直接形成的格子称正格子，以矢量,,为基矢构成的格子称倒格子。

1.7在面心立方和体心立方结构中，面原子密度最大的晶面是哪族晶面？

线原子密度最大的方向是什么晶向？

答：

在面心立方中，最近邻原子沿面对角线方向，故此方向线原子密度最大。

用晶胞基矢表示，此方向指数为，间距为。

包含两个面对角线的晶面的面原子密度最大，它们与体对角线垂直，用晶胞基矢表示，此晶面指数为（1,1,1），间距为。

在体心立方中，最近邻原子沿体对角线方向，故此方向线原子密度最大。

用晶胞基矢表示，此方向指数为[1,1,1]，间距为。

包含两个体对角线的晶面的面原子密度最大，它们与面对角线垂直，用晶胞基矢表示，此晶面指数为，间距为。

1.10具有笛卡尔坐标（n1,n2,n3）的所有点形成什么样的布喇菲点阵？

如果

（a）ni或全为奇数，或全为偶数；

（b）要求为偶数。

答：

（a）原点的笛卡尔坐标（0,0,0），以它为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，这些点的笛卡尔坐标（n1,n2,n3）全为偶数，它们构成边长为2的简立方点阵。

同理，以（1,1,1）为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，其笛卡尔坐标（n1,n2,n3）全为奇数，也构成边长为2的简立方点阵。

两套点阵套构成体心立方（坐标为偶数的点为顶角，为奇数的点为体心）。

（b）要求为偶数则有两种情况，三个坐标全为偶数，或一个偶数两个奇数。

前者构成面心立方（边长为2）的顶角点，后者构成面心立方的面心点，如（0,1,1）,（1,0,1）,（1,1,0）,（2,1,1）,（1,2,1）,（1,1,2）。

所以为偶数的坐标点的集合构成面心立方。

1.12如果基矢构成正交系，证明晶面族（h,k,l）的面间距为

证：

由于基矢构成正交系，不妨设，，。

故原胞体积，相应的倒格子基矢为，，。

与晶面族（h,k,l）相应的倒格矢，故面间距为

A

H

D

C

G

F

E

B

1.13找出四方体（a=b≠c）和长方体（a≠b≠c）的全部对称操作。

（1）设两底面为正方形，侧面为长方形。

则两底面中心连线为4次轴，两对侧面中心连线为2次轴。

四条侧棱中，两组对棱中心连线各构成一个2次轴。

考虑到不动也是对称操作，所以共有转动对称操作

3+2×1+2×1+1=8

由于四方体中心为对称中心，所以转动反演对称操作也有8个，故共有16个对称操作。

（2）对于长方体，只存在3个2次轴（3对面中心连线），也存在对称中心，对称操作数为

2×（3×1+1）=8

1.14证明：

一个具有对称素的物体必定具有对称素3和；而一个具有对称素的物体心定具有对称素3和。

反之亦然。

证：

以Cn表示转操作，Cni表示转接着中心反演操作，I表示中心反演操作，则Cni=CnI

（1）具有对称素意味着C3i为对称操作，用C3i的组合如，说明C3也为对称操作，故物体必具有对称素3。

另一方面，，说明I也为对称操作，即存在。

反之，C3I=C3i，所以存在对称素3和，则必存在。

（2），即C6i的组合可以得到C3，所以具有对称素为的物体必具有对称素3。

，即C6i的组合可以得到C2i，所以具有对称素为的物体必具有对称素。

反之，，即C3及C2i的组合可以得到C6i，所以具有对称素3和对称素的物体必具有对称素为。

1.15试分析立方晶系为什么没有底心格子；四方晶系为什么没有底心和面心格子？

答：

在立方体引入底心，破坏了原来的对称性，例如不再有3次轴，所以立方晶系为什么没有底心格子。

在四方体中引入底心，可以采用更小的四方体作原胞，即简单四方。

而面心格子可简化为体心四方。