版高中数学人教B版选修21学案313 两个向量的数量积Word文档格式.docx
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两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________
②若a与b同向，则a·
b＝________；
若反向，则a·
b＝________.特别地，a·
a＝______或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝________
④|a·
b|≤|a|·
|b|
类型一 空间向量的数量积运算
命题角度1 空间向量数量积的基本运算
例1
（1）下列命题是否正确？
正确的请给出证明，不正确的给予说明．
①p2·
q2＝（p·
q）2；
②|p＋q|·
|p－q|＝|p2－q2|；
③若a与（a·
b）·
c－（a·
c）·
b均不为0，则它们垂直．
（2）设θ＝〈a，b〉＝120°
，|a|＝3，|b|＝4，求：
①a·
b；
②（3a－2b）·
（a＋2b）．
反思与感悟
（1）已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．
（2）如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·
a＝|a|2及数量积公式进行计算．
跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°
，那么|a＋3b|等于（ ）
A.B.
C.D．4
命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题
例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
（1）·
；
（2）·
（3）·
.
反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．
跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求：
（1）（＋）·
（＋）；
（2）|＋＋|.
类型二 利用数量积求夹角或模
命题角度1 利用数量积求夹角
例3 已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°
的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．
反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法
跟踪训练3 已知：
PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA.
求证：
l⊥PA.
命题角度2 利用数量积求模（或距离）
例4 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°
，∠BAA1＝∠DAA1＝60°
，求AC1的长．
反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
跟踪训练4 如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°
，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题
例5 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：
OA⊥BC.
反思与感悟
（1）证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
（2）证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
跟踪训练5 已知向量a，b满足：
|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．
1．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于（ ）
A．14B.C．4D．2
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A.·
B.·
C.·
D.·
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①（＋＋）2＝32；
②·
（－）＝0；
③与的夹角为60°
其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．0
4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·
b＝－，则〈a，b〉＝________.
5．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
1．空间向量运算的两种方法
（1）利用定义：
利用a·
b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
（2）利用图形：
计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤
（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
（3）代入a·
b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
提醒：
完成作业 第三章 3.1.3
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 ∵＝－，
∴·
＝·
－·
＝||||cos〈，〉－||||·
cos〈，〉
＝8×
4×
cos135°
－8×
6×
cos120°
＝24－16.
求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算．
思考2 120°
梳理
（2）λ（a·
b） b·
a a·
c＋b·
c
知识点二
（1）∠AOB
（2）[0，π]
知识点三
b＝0 |a|·
|b| －|a|·
|b| |a|2
题型探究
例1
（1）解 ①此命题不正确．
∵p2·
q2＝|p|2·
|q|2，
而（p·
q）2＝（|p|·
|q|·
cos〈p，q〉）2
＝|p|2·
|q|2·
cos2〈p，q〉，
∴当且仅当p∥q时，p2·
q）2.
②此命题不正确．
∵|p2－q2|＝|（p＋q）·
（p－q）|
＝|p＋q|·
|p－q|·
|cos〈p＋q，p－q〉|，
∴当且仅当（p＋q）∥（p－q）时，
|p2－q2|＝|p＋q|·
|p－q|.
③此命题正确．
∵a·
[（a·
b]＝a·
（a·
c－a·
b＝（a·
b）（a·
c）－（a·
c）＝0，
且a与（a·
b均为非零向量，
∴a与（a·
b垂直．
（2）解 ①∵a·
b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴a·
b＝3×
＝－6.
②∵（3a－2b）·
（a＋2b）＝3|a|2＋4a·
b－4|b|2
＝3|a|2＋4|a||b|cos120°
－4|b|2，
∴（3a－2b）·
（a＋2b）＝3×
9＋4×
3×
（－）－4×
16＝27－24－64＝－61.
跟踪训练1 C
例2 解 如图，设＝a，＝b，
＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
b＝b·
c＝c·
a＝0.
＝b·
[（c－a）＋b]
＝|b|2＝42＝16.
（a＋c）＝|c|2－|a|2
＝22－22＝0.
＝（－a＋b＋c）·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
跟踪训练2 解
（1）（＋）·
（＋）＝（＋）·
（－＋－）＝（＋）·
（＋－2）＝12＋1×
1×
cos60°
－2×
＋1×
＋12－2×
＝1.
（2）|＋＋|
＝
＝
＝.
例3 解 如图所示．∵＝＋，＝＋，
＝（＋）·
（＋）
＋·
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
＝0，·
＝0，
·
＝0且·
＝－a2.
又·
＝||·
||cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝＝－.
又∵〈，〉∈[0°
，180°
]，
∴〈，〉＝120°
，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC所成的角为60°
.
跟踪训练3 证明 如图，取直线l的方向向量a，同时取向量，.
因为l⊥OA，
所以a·
＝0.
因为PO⊥α，且l⊂α，所以l⊥PO，
因此a·
又因为a·
＝a·
＋a·
所以l⊥PA.
例4 解 因为＝＋＋，
所以2＝（＋＋）2＝2＋2＋2＋2（·
）．
因为∠BAD＝90°
所以〈，〉＝90°
，〈，〉＝〈，〉＝60°
所以2＝1＋4＋9＋2（1×
＋2×
）＝23.
因为2＝||2，
所以||2＝23，||＝，
即AC1＝.
跟踪训练4 解 ∵＝＋＋，
∴||2＝（＋＋）2
＝||2＋||2＋||2＋2·
＋2·
＝12＋2（2·
2·
cos90°
）＝8，
∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.
例5 证明 因为OB＝OC，AB＝AC，
OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
（－）
||cos∠AOC－||·
||cos∠AOB＝0，
所以⊥，即OA⊥BC.
跟踪训练5 45°
当堂训练
1．B 2.D 3.B 4. 5.
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