福建省福州市高二下学期期中考试数学理试题解析版10.docx

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福建省福州市高二下学期期中考试数学理试题解析版10

高二下学期期中考试数学（理）试题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

评卷人

得分

一、选择题

1．已知复数满足（为虚数单位），则等于（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】根据题意，由复数的运算法则得到,根据复数的模的概念得到模长，故

∴|z|=1．

故选：

B．

2．有一段演绎推理是这样的：

“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面内的所有直线”.已知直线平面，直线平面，则直线直线”．你认为这个推理（）

A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误

【答案】B

【解析】

试题分析：

一条直线平行于一个平面时，这条直线与平面内的部分直线平行，并是不与所有直线平行，所以大前提错误，故选B.

考点：

1.演绎推理；2.直线与平面平行的性质.

3．若定义在上的函数在处的切线方程是，则f

（2）+f’

（2）=（）

A.B.C.0D.1

【答案】A

【解析】因为函数在处的切线方程是，故得到又因为f’

（2）=-2+1=-1，故，故答案选A.

4．函数的单调递减区间为（　　）

A.B.（1，＋∞）C.（0，1）D.（0，＋∞）

【答案】C

【解析】函数f（x）=x2﹣lnx的定义域为：

{x|x＞0}．

函数f（x）=x2﹣lnx的导函数为：

f′（x）=x﹣，

令x﹣＜0并且x＞0，解得0＜x＜1．

函数f（x）=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1）．

故选：

C．

5．若，，则、的大小关系是（）

A.B.C.D.由的取值确定

【答案】A

【解析】

故<0.

故，

故答案为A.

6．下列计算错误的是（　　）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】故正确.

表示以坐标原点为圆心，1为半径的圆的四分之一的面积，是，故答案正确.

C故答案不正确.

D.故两者相等.

故最终答案选择C．

7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】有两个不等的变号根，则二次函数在实数集上有两个不等跟根，只要判别式大于零即可；或

故结果为.

故答案为B.

8．利用数学归纳法证明…且）时，第二步由到时不等式左端的变化是（　　）

A.增加了这一项

B.增加了和两项

C.增加了和两项，同时减少了这一项

D.以上都不对

【答案】C

【解析】当时，左端，那么当时左端，故第二步由到时不等式左端的变化是增加了和两项，同时减少了这一项，故选C.

9．已知函数的图像如右图所示，则不等式的解集为（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】∵（x﹣1）•f′（x）>0，

∴不等式等价为x＞1时，f′（x）>0，此时函数单调递增，原函数图像单调递增，由图象可知此时解集为：

，当x＜1时，f′（x）<0，此时函数单调递减，找得图像单调增即可，由图象可知，即不等式的解集为．

故选：

B．

10．下面给出了四个类比推理：

①为实数，若则；类比推出:

为复数，若则.

②若数列是等差数列，，则数列也是等差数列；类比推出：

若数列是各项都为正数的等比数列，，则数列也是等比数列.

③若则；类比推出：

若为三个向量，则.

④若圆的半径为,则圆的面积为；类比推出：

若椭圆的长半轴长为,短半轴长为,则椭圆的面积为.上述四个推理中，结论正确的是（）

A.①②B.②③C.①④D.②④

【答案】D

【解析】①在复数集C中，若z1，z2∈C，z12+z22=0，则可能z1=1且z2=i．故错误；

②在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：

由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以类比推出：

若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，dn=，则数列{dn}也是等比数列．正确；

③由若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）；类比推出：

若为三个向量则.，不正确，因为与共线，与共线，当、方向不同时，向量的数量积运算结合律不成立；

④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：

若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab．根据圆是椭圆的特殊情形验证可知正确．

故选：

D．

点睛：

逐个验证：

①数集有些性质以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例；②在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：

由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等；

③向量要考虑方向；区分向量的数乘和点积.④根据圆是椭圆的特殊情形验证可知正确．

11．设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】∵<0（x＞0），设函数g（x）=，∴g′（x）=<0，

∴g（x）的单调递减区间为（0，+∞），∵g（﹣x）===g（x），

∴g（x）为偶函数，∴g（x）的单调递减区间为（0，+∞），

∵f（﹣2）=0，∴g（﹣2）=0．g

（2）=0，∴当x＜﹣2时，g（x）<0，

当﹣2＜x＜0时，g（x）>0，当0＜x＜2时，g（x）<0，当x＞2时，g（x）>0，

∵不等式xf（x）＞0的解集等价于g（x）＞0，∴当-2

不等式xf（x）＞0的解集.

故选：

B．

点睛：

题重点考查了函数的基本性质，函数的单调性与导数之间的关系等知识点，属于中档题．首先构造函数g（x）=，然后得到该函数的单调区间，再根据<0得到g（x）的单调性，由是奇函数得到g（x）是偶函数，最后结合该函数的取值情形，进行求解．

12．已知函数满足，当x[1,3]时，.若函数在区间上有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】当x∈[，1]时，∈[1，3]，

故（x）=（）=ln=﹣lnx；

故g（x）=|lnx|，

作函数（x）=|lnx|与函数y=ax的图象如下，

，

设直线l与（x）=|lnx|相切，如图，设切点为（x，lnx），

则由导数的几何意义可得，=，可得切点横坐标为x=e；有导数的几何意义得到

kl=；故实数a的取值范围是[，），

故选：

A．

点睛：

本题考查了导数的几何意义的应用及数形结合的思想应用，先根据分段函数的解析式得到f（x）=|lnx|，将函数的零点个数问题转化成图像交点问题，从而作函数f（x）=|lnx|与函数y=ax的图象，利用导数及数形结合的思想求解．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人

得分

二、填空题

13．复数满足：

（为虚数单位），则复数的共轭复数=_________.

【答案】

【解析】首先根据复数的运算法则得到：

根据共轭复数的概念得到

故答案为.

14．由曲线与直线围成的平面图形的面积为____________.

【答案】

【解析】画出两个曲线的图像，记两图像在第一象限的交点为A（3，3）点，则围成的图像的面积，由积分的定义得到，.

15．观察下列数表：

1

35

791113

1517192123252729

………设2017是该表第行的第个数，则的值为______________

【答案】508

【解析】根据数表可知该数表的通项公式，由得.

所以2027是第1014个奇数，

根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，

第一行1个数，

第二行个数,且第1个数是1

第三行个数,且第1个数是

第四行个数,且第1个数是

   …

前行共有个奇数.

当时，，所以2027位于第10行，

第10行第1个数是.

，

所以

所以；

故答案为：

.

16．某同学在研究函数在处的切线问题中，

偶然通过观察上图中的图象发现了一个恒成立的不等式：

当时，，仿照该同学的研究过程，请你研究函数的过原点的切线问题，写出一个类似的恒成立的不等式：

____________________________.

【答案】

【解析】观察原式子是的切线，且直线恒在曲线的下方；求过原点的切线即可，设切点为，根据切线的几何意义得到故切点为，直线斜率为，故过原点的直线为.结合图像知道直线恒在曲线上方.故得到.

点睛：

这是考查学生知识的迁移能力，用题目中给的结论，类比出相应的结论.研究出原题目中的结论，是切线和曲线的位置关系问题，通过求切线和结合图像，得到两者的位置关系.类比这种解题思路，解决所给函数的切线问题.

评卷人

得分

三、解答题

17．已知复数（其中为虚数单位）.

（Ⅰ）当实数取何值时，复数是纯虚数；

（Ⅱ）若复数在复平面上对应的点位于第四象限，求实数的取值范围。

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）将复数整理得，由纯虚数的定义得，解方程组即可；（Ⅱ）因为复数对应的点在第四象限，所以，解不等式组即可.

试题解析：

（Ⅰ），由题意得，

（Ⅱ）由

解得，

考点：

1.复数相关的定义；2.复数的几何意义;3.复数的运算.

18．已知函数。

（Ⅰ）若函数在时有极值0，求常数a,b的值；

（Ⅱ）若函数在点处的切线平行于x轴，求实数b的值。

【答案】

（1）;

（2）.

【解析】试题分析：

（1）根据函数的极值点的概念得到，极值点既在切线上又在曲线上，得到参数值.

（2）根据导数的几何意义得到，从而得到参数值.

（Ⅰ）依题意得解得或

当时，，

这时函数无极值，与已知矛盾，故舍去；

当时，，

此时，当时，；当时，

故在处有极值，符合题意.

（2），由已知得

所以.

19．设函数

（1）证明：

；

（2）若对任意都有，求的取值范围.

【答案】

（1）见解析;

（2）x的范围是.

【解析】试题分析：

（1）根据均值不等式，乘积是定值，可以证得问题.

（2）首先要根据根据函数特殊值，再由函数的单调性直接比较函数自变量的大小关系即可.

（1）（当且仅当即时取“=”）

（2）由

（1）可知，对任意，均有，所以函数在上单调递增

从而，

故当对任意都有时，的取值范围是.

点睛：

这道题目是考查不等式与函数最值集合的问题，第一问因为乘积是定值，故就想到了均值不等式求最值.第二问，解不等式，根据抽象函数的单调性，直接去掉f，直接比较括号内的大小关系即可.

20．已知数列的前项和．

（1）计算，，，；

（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论

【答案】

（1）依题设可得，，，；

（2）猜想：

．

证明：

①当时，猜想显然成立．

②假设时，猜想成立，

即．那么，当时，，即．

又，所以，

从而．即时，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．

【解析】

（1）分别令n=1,2,3,4,依次求出，，，的值.

（2）再用数学归纳法证明时要按两个步骤进行，缺一不可

21．为宣传平潭综合试验区的“国际旅游岛”建设，试验区某旅游部门开发了一种旅游纪念产品，每件产品的成本是12元，销售价是16元，月平均销售件。

后该旅游部门通过改进工艺，在保证产品成本不变的基础上，产品的质量和技术含金量提高，于是准备将产品的售价提高。

经市场分析，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为。

记改进工艺后，旅游部门销售该纪念