东北大学期末考核《离散数学X》期末考试备战高分题集Word文件下载.docx
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二、1.指出下面的命题公式中哪些是永真式（只写题号即可）。
（1）.（P∧（P→Q））→Q
（2）.P→（P∨Q）
（3）.（P∧Q）→Q（4）.（P∨Q）→P
解:
（1）,
（2）,（3）为永真式。
2.然后对上面的永真式任选其中一个给予证明（方法不限）。
证明（3）.（P∧Q）→Q
设前件（P∧Q）为真，则得Q为真。
所以（P∧Q）→Q是永真式。
3.上面哪个不是永真式（找出一个即可），请说明它为什么不是永真式。
（4）.（P∨Q）→P不是永真式。
因为如果前件P∨Q为真，后件P不一定为真。
所以（P∨Q）→P不是永真式。
三、用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。
要求按照推理的格式书写推理过程。
x（B（x）C（x））,xA（x）,x（A（x）C（x））xB（x）
⑴xA（x）P
⑵A（a）ES⑴
⑶x（A（x）C（x））P
⑷A（a）C（a）US⑶
⑸C（a）T⑵⑷I
⑹x（B（x）C（x））P
⑺B（a）C（a）US⑹
⑻B（a）T⑸⑺I
⑼xB（（x）EG⑻
四、令全集E={1,2},A={1},P（A）表示集合A的幂集。
（注意：
要求有计算过程，不能直接写出计算结果！
）
1.指出P（E）和P（A）各有多少个元素。
即求|P（E）|和|P（A）|。
因为P（E）＝{Φ,{1},{2},{1,2}}所以P（E）有4个元素。
即|P（E）|＝4。
P（A）＝{Φ,{1}}所以P（A）有2个元素。
即|P（A）|＝2。
2.计算P（E）－P（A）
P（E）－P（A）＝{Φ,{1},{2},{1,2}－{Φ,{1}}
＝{{2},{1,2}}
3．计算～AE
因为～A＝E－A={1,2}-{1}={2}
～AE＝{2}{1,2}＝（{2}{1,2}）－（{2}{1,2}）＝{1,2}－{2}＝{1}
五、给定集合A={1,2,3},定义A上的关系如下：
R=A×
A（完全关系（全域关系））
S={<
1,2>
<
2,3>
3,1>
}
T={<
1,1>
2,1>
2,2>
3,3>
M={<
1,3>
1.写出关系S的矩阵；
再画出上述各个关系的有向图。
关系S的矩阵如下：
下面是几个关系的有向图：
2.判断各个关系性质。
用“√”表示“是”，用“×
”表示“否”，填下表：
自反的
反自反的
对称的
反对称的
传递的
R
S
M
√
×
3.上述四个关系中，哪些是等价关系？
哪些是偏序关系？
对等价关系，写出此等价关系的各个等价类。
T和R是等价关系。
M是偏序关系。
A/T={{1,2},{3}}A/R={{1,2,3}}
4.求复合关系SoT
SoT＝{<
3,2>
六、写出命题公式（Q→P）→Q的主合取范式。
（要求有解题过程）
方法1：
等价变换
（QP）Q
（Q∨P）∨Q（去）
（Q∧P）∨Q（摩根定律）
Q（吸收律）
（P∧P）∨Q（互补、同一律）
（P∨Q）∧（P∨Q）（分配律）
方法2：
真值表法
先列（QP）Q的真值表如下：
P
QP
（QP）Q
从真值表看出，该命题公式的主合取范式含有大项M0和M2，即（P∨Q）和
（P∨Q）。
于是此命题公式的主合取范式为：
（QP）Q（P∨Q）∧（P∨Q）
七、用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。
xC（x）,x（A（x）B（x））,x（B（x）C（x））xA（x）
⑴x（A（x）B（x））P
⑵A（a）B（a）ES⑴
⑶xC（x）P
⑷C（a）US⑶
⑸x（B（x）→C（x））P
⑹B（a）→C（a）US⑸
⑺B（a）T⑷⑹I
⑻A（a）T⑵⑺I
⑼xA（x））EG⑻
八、令集合A={1,{1}},B={1}，P（A）表示A的幂集。
要求要有计算过程，不能直接写出计算结果！
（1）A×
P（B）
（2）A⊕B
（3）P（A）－P（B）
A={1,{1}},B={1}，
⑴A×
P（B）＝{1,{1}}×
{Φ,{1}}
＝{<
1,Φ>
1,{1}>
{1},Φ>
{1},{1}>
⑵A⊕B＝（AB）－（AB）
=（{1,{1}}{1}）－（{1,{1}}{1}）＝{1,{1}}－{1}＝{{1}}。
⑶P（A）－P（B）＝{Φ,{1},{{1}},{1,{1}}－{Φ,{1}}
＝{{{1}},{1,{1}}}
九、R是实数集合，给出R上的运算：
+、－、×
、max、min、|x-y|,分别表示加法、减法、乘法、两个数中取最大的、两个数中取最小的、x-y的绝对值运算。
1.判断各个运算性质。
+
－
max
min
|x-y|
有交换性
有结合性
有幂等性
有幺元
有零元
2.分别指出R对上面哪些运算是半群、独异点和群。
3.如果有群，请说明它为什么是群。
1.
2.构成半群的有：
<
R,＋>
，<
R,×
>
R,max>
<
R,min>
.
构成独异点的有：
<
。
构成群的有：
3.<
是群的理由：
（1）＋在实数集合内满足封闭性。
即
任何a,b∈R,有ａ＋ｂ∈R。
（2）＋是可结合的。
（3）0是＋运算的幺元。
任何a∈R,有0+a=a=a+0.
（4）任何实数a,都有逆元－a∈R,使得（-a）+a=0=a+（-a）.
所以<
是群。
十、有三个小题
1.指出下面各个图中哪些是彼此同构的.
a、h、i同构；
b、d同构；
c、g同构；
e、f同构。
2.完全二叉树中，设边数为e，叶结点数为t，求证e=2（t-1）。
由完全m叉树公式（m－1）i=t－1这里m＝2，得（2－1）i=t－1,
∴i=t－1,
∴T中总的结点数v为:
v=i＋t=（t－1）＋t=2t－1，
于是T的边数e：
e=v－1=2t－1－1=2t－2=2（t－1）
3．根据给定一组权值:
1,6,2,5,3,4,1,6,2画出一棵最优完全二叉树。
要求有画图的过程。
解权值排序并画图：
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