泛函分析课程教学大纲Word下载.docx
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使学生了解和掌握空间、线性算子以及线性算子空间、线性算子谱理论的基本概念和基本理论。
本课程的基本目的是使学生把具体的分析、代数、几何中的问题抽象到一种更加纯粹的形式中加以研究，使学会综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法。
本课程在数学系的课程体系中具有承上启下的作用，可以使学生从全新的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题，为学生进一步学习近代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下基础。
二、课程内容与建议学时
本课程的内容包括以下几个部分:
绪论、距离空间、赋范空间、内积空间与Hilbert空间、有界线性算子、共轭空间和共轭算子以及线性算子的谱理论。
绪论从有限维空间元素的分解、对称矩阵按照特征值对角化等实例出发，采用类比、归纳等方法引入无穷维空间、线性算子、谱理论这样一些抽象概念；
通过数学分析、线性代数、微分方程中一些熟悉的例子，研究和探讨如何类比地建立起无穷维空间框架，把有限维空间的数学方法自然地推广到无穷维空间。
内容的前三章侧重于泛函分析中的空间理论,特别是Hilbert空间的几何特征。
第四章介绍了有界线性算子以及有界线性算子空间的概念，系统地讲述Banach空间中的基本定理和它们的应用，即：
一致有界原理，开映像定理和闭图像定理。
第五章介绍了Hahn-Banach定理，以及共轭空间。
特别在Hilbert空间中，从Riesz表示定理出发，介绍了Hilbert空间的共轭空间和共轭算子。
第六章是线性算子的谱理论，重点讲述有界自共轭算子、紧算子的谱理论。
建议学时分配表
课程内容
建议学时
绪论
4
距离空间
10
赋范空间
8
内积空间与Hilbert空间
有界线性算子
12
共轭空间和共轭算子
线性算子的谱理论
课程主要内容
绪论：
从分析和代数中的若干问题出发，运用类比、联想、化归等方法，引入泛函分析中的一些基本概念和研究方法，诠释数学研究的基本思想。
内容：
前言（C），从分析、代数中的问题到泛函分析（A）。
第一章距离空间
§
1距离空间的基本概念
距离空间的定义（A）,距离空间的例（A）,距离空间中的收敛性（A）。
2开集和连续映射
开球、闭球（A）,内点、开集和邻域（B）,等价的距离（A）,连续映射（A）。
3闭集、可分性、列紧性
闭集（A）,闭集的结构（B）,可分的距离空间（B）,距离空间中的列紧集（A）。
4完备的距离空间
Cauchy列（A）,完备的距离空间（A）,完备与不完备距离空间的例（A）,距离空间的完备化（C）。
5完备距离空间的性质和一些应用
闭球套定理（B）,压缩映射原理（A）,压缩映射原理的应用（A）。
第二章赋范空间
1赋范空间的基本概念
赋范空间和Banach空间的定义（A）,范数的连续性（A）,范数与距离的关系（A）。
2完备的赋范空间
连续函数上定义的不同范数（A）,赋范空间的完备化（B）,
空间,
空间（A）。
3赋范空间的几何结构
凸集（A）,子空间（A）,Riesz引理（A）。
4有限维赋范空间
等价的范数（A）,有限维空间（A）,有限维赋范空间的几何特征（A）。
5赋范空间的进一步性质
赋范空间中的级数（B）,赋范空间中的商空间（C）.
第三章内积空间与Hilbert空间
1内积空间的基本性质
内积空间的定义（A）,由内积生成的范数（A）,内积和相应范数的关系（A）,完备的内积空间（A）。
2正交与正交分解
正交的定义（A）,正交补集（A）,最佳逼近（A）,Hilbert空间的正交分解（A）。
3正交系和正交投影
内积空间中的正交系（A）,正交投影（A）,Fourier级数（A）,Bessel不等式和Fourier级数的收敛性（A）。
4正交基和正交列的完备性
正交基（A）,正交列的完备性（A）,标准正交基的例（A）。
5可分的Hilbert空间
线性无关组的正交化算法（B）,可分的Hilbert空间与
等距同构（B）。
第四章有界线性算子
1有界线性算子与有界线性泛函
有界线性算子与有界线性泛函的定义（A）,有界线性算子组成的赋范空间（A）,有界线性算子的例（A）,有界线性算子范数的计算（A）。
2有界线性算子空间的收敛与完备性
有界线性算子空间的收敛性（A）,有界线性算子空间的完备性（A）。
3一致有界原则
Baire纲定理（B）,一致有界原则（A）,强收敛意义下的完备性（A）,共鸣定理的应用（A）。
4开映像定理与逆算子定理
逆算子（A）,开映射定理（A）,逆算子定理（A）。
5闭算子与闭图像定理
闭算子的定义（A）,闭算子的例（A）,闭图像定理（A）。
第五章共轭空间和共轭算子
1Hahn-Banach定理
Hahn-Banach定理（B）,Hahn-Banach定理的推论（B）,线性泛函和闭集分离（B）。
2共轭空间
共轭空间的概念（A）,
的共轭空间（
）（B）。
3Hilbert空间的共轭空间、共轭算子
Riesz表示定理（A）,Hilbert空间的共轭空间（A）,Hilbert空间上的共轭算子（A）。
4自共轭的有界线性算子
有界自共轭算子的定义、例（A）,自共轭算子的性质（A）,Cartesian分解（C）。
5Banch空间上的共轭算子、弱收敛
Banach空间上的共轭算子（B）,自反性（B）,弱收敛（C）,一些具体空间中的弱收敛性（C）。
第六章线性算子的谱理论
1谱集和正则点集
线性代数和微分方程中的特征值问题（A）,谱点和正则点的定义（A）,特征值和特征元素（A）,闭线性算子的正则点（A）,存在不是特征值的谱点（A）。
2有界线性算子的谱集
有界线性算子的谱集是有界集（A）,有界线性算子的谱集是闭集（A）,有界线性算子的谱集非空（A）,有界线性算子的谱半径（A）。
3有界自共轭线性算子的谱
有界自共轭线性算子的剩余谱集是空集（A）,有界自共轭线性算子谱集的性质（A）,有界自共轭线性算子谱的分布（A）。
4紧线性算子的谱
紧线性算子的定义和例（A）,紧线性算子的特征值（A）,紧线性算子的剩余谱和连续谱（A）,Fredholm抉择定理（A）。
注：
A表示教师应作深入而充分的讲授和辅导，学生应完成足够的练习，最后达到明晰的理解和牢固的掌握。
C表示教师应当有明晰的介绍，学生应当有较好的理解。
B表示介于A、C之间，教师根据具体情况掌握。
三、教学基本要求
1.主讲教师应该做到：
⑴按照教学大纲的规定，制定每学期的教学实施计划，掌握教学进度，完成教学任务。
⑵熟悉教材，认真备课，写出讲稿或做好多媒体课件。
⑶讲授清楚，注意改进教学方法和教学手段。
⑷对辅导教师要给与热情指导，提出改进意见。
2.辅导教师应该做到：
⑴随堂听课。
⑵定时辅导。
每周两次，每次不少于一小时。
⑶批改作业。
每周批阅一次，批阅量不低于50%，要有优、良、合格、不合格四级记载。
与主讲教师交流学生完成作业中存在的问题。
⑷上好习题课。
认真选题、备课，习题课上应展开讨论，培养学生分析问题、解决问题的能力，激发学生学习的主动性。
四、教材与参考书
1．教材
孙炯,王万义,赫建文编著.《泛函分析》（普通高等教育“十一五”国家级规划教材），高教出版社，2010.
2．教学参考书
⑴ErwinKreyszig著,蒋正新吕善伟张式淇译，《泛函分析导论及应用》，北京航空学院出版社，1987.
⑵江泽坚,孙善利.《泛函分析》（第二版），高等教育出版社，2005.
⑶郑维行,王声望编.《实变函数与泛函分析概要》（第二册）（第三版），高等教育出版社，2005.
⑷刘炳初编著.《泛函分析》（第二版），科学出版社，2007.
3．进一步学习的参考书
⑴张恭庆,林源渠编著.《泛函分析讲义》，北京大学出版社，1995.
⑵夏道行,吴卓人,严绍宗等编著.《实变函数论与泛函分析》第二册（第二版），人民教育出版社，2010.
⑶PeterD.Lax.《FunctionalAnalysis》（天元基金影印数学丛书），高等教育出版社，2007.
⑷汪林编.《泛函分析中的反例》，高等教育出版社，1994.
（5）孙炯，王忠编著.《线性算子的谱分析》，科学出版社，2005.
“泛函分析”课程教学大纲（B）
适用专业数学与应用数学，统计学
泛函分析是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论、量子物理等研究中发展起来的数学分支学科，它综合函数论、几何和代数的观点与方法研究解决数学中提出的重要问题。
第六章是线性算子的谱理论，简单介绍谱理论的一些基本概念。
绪论:
从分析和代数中的若干问题出发，运用类比、联想、化归等方法，引入泛函分析中的一些基本概念和研究方法，诠释数学研究的基本思想。
第七章距离空间
闭球套定理（B）,压缩映射原理（A）,压缩映射原理的应用（A）。
第八章赋范空间
第九章内积空间与Hilbert空间
线性无关组的正交化算法（C）,可分的Hilbert空间与
等距同构（C）。
第十章有界线性算子
第十一章共轭空间和共轭算子
第十二章线性算子的谱理论
线性代数和微分方程中的特征值问题（A）,谱点和正则点的定义（A）,特征值和特征元素（A）,闭线性算子的正则点（B）,存在不是特征值的谱点（B）。
有界线性算子的谱集是有界集（A）,有界线性算子的谱集是闭集（B）,有界线性算子的谱集非空（B）,有界线性算子的谱半径（A）。
⑵定时辅导。
⑶批改作业。
3．教学参考书
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