届一轮复习浙江版三角函数解三角形单元检测Word文档格式.docx

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D．－

答案　B

解析　∵sin＝cos＝cos＝，

∴sin＝cos

＝cos＝2cos2－1

＝2×

－1＝－.

4．设a＝tan35°

，b＝cos55°

，c＝sin23°

，则（　　）

A．a>

b>

cB．b>

c>

a

C．c>

aD．c>

a>

b

答案　A

解析　由题可知b＝cos55°

＝sin35°

，因为sin35°

>

sin23°

，所以b>

c，利用三角函数线比较tan35°

和sin35°

，易知tan35°

sin35°

，所以a>

b.综上，a>

c，故选A.

5．若函数f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）是偶函数，则θ的最小正实数值是（　　）

解析　f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）＝2·

sin.因为f（x）为偶函数，所以当x＝0时，2x＋θ＋＝θ＋＝kπ＋（k∈Z），解得θ＝kπ＋（k∈Z）．当k＝0时，θ取得最小正实数值，故选B.

6．若函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）等于（　　）

A.sinB.sin

C.sinD.sin

解析　由题图知，函数f（x）的最小正周期T＝2＝8π，A＝，所以ω＝＝，

f（x）＝sin，由点在函数f（x）的图象上，可知sin＝0，又0<

|φ|<

，所以φ＝－，所以f（x）＝sin.

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2bsinB＝（2a＋c）sinA＋（2c＋a）sinC．则角B的大小为（　　）

解析　由正弦定理得2b2＝（2a＋c）a＋（2c＋a）c，化简得a2＋c2－b2＋ac＝0，所以cosB＝＝＝－，又B∈（0，π），解得B＝，故选C.

8．已知函数f（x）＝sin2x－2cos2x，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x1）·

g（x2）＝－4，则|x1－x2|的值可能为（　　）

A.B.C.D．π

解析　由题意得f（x）＝sin2x－cos2x－1

＝2sin－1，则g（x）＝2sin，故函数g（x）的最小正周期T＝＝.由g（x1）·

g（x2）＝－4，知g（x1）与g（x2）的值一个为2，另一个为－2，故|x1－x2|＝＝（k∈Z）．当k＝1时，|x1－x2|＝，故选C.

9．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，c2sinAcosA＋a2sinCcosC＝4sinB，cosB＝，已知D是AC上一点，且S△BCD＝，则等于（　　）

解析　设＝＝＝k，

则由c2sinA·

cosA＋a2sinCcosC＝4sinB，

得k2sinAsinC（sinC·

cosA＋sinAcosC）＝4sinB，

即k2sinAsinCsin（C＋A）＝4sinB，

所以k2sinAsinC＝4，即ac＝4.

又cosB＝，所以sinB＝，

所以S△ABC＝acsinB＝，

所以＝＝1－＝，故选A.

10．已知f（x）＝2sinωxcos2－sin2ωx（ω>

0）在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析　f（x）＝sinωx（1＋sinωx）－sin2ωx＝sinωx，所以是含原点的单调递增区间，

因为函数f（x）在区间上是增函数，所以⊆，所以解得ω≤.又ω>

0，所以0<

ω≤.因为函数f（x）在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤π<

，解得≤ω<

.综上ω的取值范围为，故选B.

第Ⅱ卷（非选择题　共110分）

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上）

11.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm，则制作这样一面扇面需要的布料为________cm2.

答案　450π

解析　由扇形的面积公式，知制作这样一面扇面需要的布料为×

×

60×

60－×

30×

30＝450π（cm2）．

12．（2018·

浙江省名校协作体考试）已知tan＝3，则tanα＝________，cos2α＝________.

答案　　

解析　由tan＝＝3，

解得tanα＝，

所以cos2α＝＝＝.

13．（2019·

衢州模拟）设函数f（x）＝2sin，则函数f（x）的最小正周期为__________，单调递增区间为________________________．

答案　π　，k∈Z

解析　函数f（x）的最小正周期为＝π，

由2x＋∈，k∈Z得

x∈，k∈Z，

即单调递增区间为，k∈Z.

14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2cosA（bcosC＋ccosB）＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝________，b＋c＝________.

答案　　7

解析　方法一　由正弦定理得，

2cosA（sinBcosC＋sinCcosB）＝sinA，

所以2cosAsin（B＋C）＝sinA，

在△ABC中，B＋C＝π－A，

所以sin（B＋C）＝sinA>

0，所以cosA＝，

又A∈（0，π），所以A＝.

因为S△ABC＝bcsinA＝bc＝3，所以bc＝12，

由a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc，

所以13＝（b＋c）2－36，即（b＋c）2＝49，故b＋c＝7.

方法二　过A作AD⊥BC于D，

在Rt△ADB中，BD＝ccosB，

在Rt△ADC中，DC＝bcosC，

所以BD＋DC＝ccosB＋bcosC＝a，

代入2cosA（bcosC＋ccosB）＝a，化简得cosA＝，

所以13＝（b＋c）2－36，

即（b＋c）2＝49，故b＋c＝7.

15．我国古代数学家秦九韶在《数学九章》系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，代表了当时世界数学的最高水平．其中他还创造使用了“三斜求积术”（给出了三角形三边求三角形面积公式S＝），这种方法对现在还具有很大的意义和作用．在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，D在AC上，且BD平分∠ABC，则△ABC面积是________；

BD＝________.

答案　84　

解析　方法一　将已知数据代入公式，得S△ABC＝84.

∵BD平分∠ABC，∴＝＝，

＝＋＝＋＝＋（－）

＝＋，cos∠ABC＝＝，

∴2＝2＝＋＝，

∴BD＝.

方法二　∵cos∠ABC＝＝，

cos∠BAC＝＝，

cos∠ABD＝cos＝＝，

∴sin∠ABC＝，sin∠BAC＝，sin∠ABD＝，

∴S△ABC＝AB·

BCsin∠ABC＝84，

BD＝＝

＝

＝＝.

16.函数y＝sin（πx＋φ）（φ>

0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB＝θ，则sin2θ＝________.

答案　

解析　由题意知函数y＝sin（πx＋φ）的最小正周期为T＝＝2，过点P作PQ垂直x轴于点Q（图略），

则tan∠APQ＝＝，tan∠BPQ＝＝，

tanθ＝tan（∠APQ＋∠BPQ）＝8，

故sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝.

17．已知函数f（x）＝sin－cos，若存在x1，x2，…，xn满足0≤x1<

x2<

…<

xn≤6π，且|f（x1）－f（x2）|＋|f（x2）－f（x3）|＋…＋|f（xn－1）－f（xn）|＝12（n≥2，n∈N*），则n的最小值为________．

答案　8

解析　f（x）＝sin－cos＝sin＝sinx．由y＝sinx的图象知，对xi，xi＋1（i＝1,2,3，…，n）有|f（xi）－f（xi＋1）|max＝f（x）max－f（x）min＝2，则要使n取得最小值，应尽可能多的使xi（i＝1,2,3，…，n）取得极值点，所以在区间[0,6π]上，

当xi的值分别为x1＝0，x2＝，x3＝，x4＝，x5＝，x6＝，x7＝，x8＝6π时，n取得最小值8.

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．（14分）已知cosα＝，cos（α－β）＝，且0<

β<

α<

.

（1）求tan2α的值；

（2）求β.

解　

（1）由cosα＝，0<

，

得sinα＝＝＝，

∴tanα＝＝×

＝4，

∴tan2α＝＝＝－.

（2）由0<

，得0<

α－β<

又cos（α－β）＝，

∴sin（α－β）＝＝＝.

由β＝α－（α－β），得cosβ＝cos[α－（α－β）]

＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）

＝×

＋×

＝，∴β＝.

19．（15分）已知函数f（x）＝sin＋sin2x.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若对任意x∈R，有g（x）＝f，求函数g（x）在上的值域．

解　

（1）f（x）＝sin＋sin2x

＝＋sin2x

＝sin2x＋cos2x＋sin2x

＝sin2x＋cos2x－＋sin2x

＝sin2x＋1－＝sin2x＋，

故函数f（x）的最小正周期T＝＝π.

（2）由

（1）知f（x）＝sin2x＋.

∵对任意x∈R，有g（x）＝f，

∴g（x）＝sin2＋＝sin＋，

当x∈时，2x＋∈，

则－≤sin≤1，

∴－×

＋≤g（x）≤＋，即≤g（x）≤1.

故函数g（x）在上的值域为.

20．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2A－cos2B＝2coscos.

（1）求角B的值；

（2）若b＝，且b≤a，求a－的取值范围．

解　

（1）由cos2A－cos2B＝2coscos，得2sin2B－2sin2A＝2，

则sinB＝，

因为0<

B<

π，所以B＝或.

（2）因为b≤a，所以B＝，

由正弦定理＝＝＝＝2，

得a＝2sinA，c＝2sinC.

所以a－＝2sinA－sinC＝2sinA－sin

＝sinA－cosA＝sin.

又b≤a，所以≤A<

，则≤A－<

所以≤sin<

所以a－∈.

21．（15分）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2＋b2＝6abcosC，且sin2C＝2sinAsinB.

（1）求角C的值；

（2）设函数f（x）＝sin＋cosωx（ω>

0），且f（x）的图象上两相邻的最高点之间的距离为π，求f（A）的取值范围．

解　

（1）因为a2＋b2＝6abcosC，

由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2abcosC，

所以cosC＝.

又sin2C＝2sinAsinB，由正弦定理得c2＝2ab，

所以cosC＝＝＝，

又C∈（0，π），所以C＝.

（2）f（x）＝sin＋cosωx＝sin，

则最小正周期T＝＝π，解得ω＝2，

所以f（x）＝sin.

因为C＝，B＝－A，

则解得<

A<

所以π<

2A＋<

则－<

f（A）<

0.

所以f（A）的取值范围是.

22．（15分）已知函数f（x）＝sin＋2sin2x.

（2）确定函数f（x）在[0，π]上的单调性；

（3）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f＝，b＋c＝7，△ABC的面积为2，求边a的长．

解　

（1）f（x）＝sin2xcos＋cos2xsin＋1－cos2x＝sin＋1，

∴f（x）的最小正周期T＝＝π.

（2）令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

解得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），

∴f（x）的单调递减区间是（k∈Z）．

同理f（x）的单调递增区间为，k∈Z，

故f（x）在上为减函数，

在和上为增函数．

（3）∵f（x）＝sin＋1，f＝，

∴sin＝，又－<

A－<

，∴A＝.

∵△ABC的面积为2，∴bcsin＝2，解得bc＝8.

∵b＋c＝7，∴a2＝b2＋c2－2bccos＝（b＋c）2－3bc＝25，

∴a＝5.