中考数学湘教版总复习提分专练05以三角形为背景的中档计算题与证明题Word格式文档下载.docx

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图T5-2

|类型2|　与全等三角形相关的计算、证明题

3.如图T5-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.

△ABD≌△CAE.

（2）连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?

请证明你的结论.

图T5-3

4.[2018·

宁波]如图T5-4,在△ABC中,∠ACB=90°

AC=BC,D是AB边上一点（点D与A,B不重合）,连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°

得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.

△ACD≌△BCE;

（2）当AD=BF时,求∠BEF的度数.

图T5-4

|类型3|　与相似三角形相关的计算、证明题

5.如图T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.

△ACD∽△BFD;

（2）当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长.

图T5-5

6.[2018·

东营]

（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:

如图T5-6①,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°

∠OAC=75°

AO=3

BO∶CO=1∶3,求AB的长.

经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题（如图②）.

请回答:

∠ADB=　　　　°

AB=　　　　. 

（2）请参考以上解题思路,解决下列问题:

如图③,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=3

∠ABC=∠ACB=75°

BO∶OD=1∶3,求DC的长.

图T5-6

参考答案

1.解:

（1）证明:

连接CE.∵CD=CB,点E为BD的中点,

∴CE⊥BD.

∵点F为AC的中点,

∴EF=

AC.

（2）∵∠BAC=45°

CE⊥BD,

∴△AEC是等腰直角三角形.

∴EF垂直平分AC,∴AM=CM.

∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,

∴BC=AM+DM.

2.解:

（1）∠ABE=∠ACD.理由如下:

因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,

所以△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD.

（2）证明:

因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.

由

（1）可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,

即直线AF垂直平分线段BC.

3.解:

∵AB=AC,

∴∠B=∠ACD.

∵AE∥BC,

∴∠EAC=∠ACD,

∴∠B=∠EAC.

∵AD是BC边上的中线,

∴AD⊥BC.

∵CE⊥AE,

∴∠ADB=∠AEC=90°

.

在△ABD和△CAE中,

∵

∴△ABD≌△CAE（AAS）.

（2）AB平行且等于DE.

证明:

由

（1）知△ABD≌△CAE,

∴AE=BD.

又∵AE∥BD,

∴四边形ABDE为平行四边形,

∴AB平行且等于DE.

4.解:

∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°

得到线段CE,

∴∠DCE=90°

CD=CE.

又∵∠ACB=90°

∴∠ACB=∠DCE,

∴∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE中,∵

∴△ACD≌△BCE.

（2）∵∠ACB=90°

AC=BC,

∴∠A=45°

∵△ACD≌△BCE,

∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°

又AD=BF,

∴BE=BF,

∴∠BEF=∠BFE=

=67.5°

5.解:

∵AD⊥BC,BE⊥AC,

∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°

∴∠C+∠DBF=90°

∠C+∠DAC=90°

∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD.

（2）∵∠ADB=90°

tan∠ABD=1,

∴tan∠ABD=

=1,∴AD=BD.

∵△ACD∽△BFD,

∴

=

=1,∴BF=AC=3.

6.[解析]

（1）利用两直线平行,内错角相等,可得∠ADB=∠OAC=75°

和△AOC与△DOB相似,于是得DO=

再利用三角形内角和定理可求得∠ABD=75°

所以AB=AD=4

（2）同理,可过B作AD的平行线,利用相似可求得DC的长.

解:

（1）∵BD∥AC,∴∠ADB=∠OAC=75°

又∵∠DOB=∠AOC,

∴△DOB∽△AOC,

∵AO=3

∴DO=

∴AD=AO+DO=3

+

=4

在△ABD中,∠BAO=30°

∠ADB=75°

∴∠ABD=180°

-∠BAO-∠ADB=180°

-30°

-75°

=75°

∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD=4

（2）过点B作BE∥AD交AC于点E.

∵AC⊥AD,∴∠DAC=∠BEA=90°

又∵∠AOD=∠EOB,

∴△AOD∽△EOB,

∵BO∶OD=1∶3,

∴EO=

∴AE=4

∵∠ABC=∠ACB=75°

∴∠BAC=30°

AB=AC,∴AB=2BE.

在Rt△AEB中,AE2+BE2=AB2,

即（4

）2+BE2=（2BE）2,得BE=4,

∴AB=AC=8,AD=12.

在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,

即82+122=CD2,得CD=4