苏教版数学必修1 第3章 312 第1课时 指数函数的概念图象与性质Word下载.docx
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【解析】 只有(4),(6)是指数函数,因它们满足指数函数的定义;
(1)中解析式可变形为y=2x·
22=4·
2x,不满足指数函数的形式;
(2)中底数为负,所以不是;
(3)中解析式中多一负号,所以不是;
(5)中指数为常数,所以不是;
(6)中令b=a-1,则y=bx,b>
0且b≠1,所以是.
【答案】 (4)(6)
教材整理2 指数函数的图象和性质
阅读教材P64中至P67“思考”,完成下列问题.
指数函数的图象与性质
a>
1
0<
a<
图象
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)函数y=3·
2x是指数函数.( )
(2)指数函数的图象与x轴永不相交.( )
(3)函数y=2-x在R上为增函数.( )
(4)当a>1时,对于任意x∈R总有ax>1.( )
【解析】
(1)y=3·
2x的系数为3,故y=3·
2x不是指数函数.
(2)指数函数的值域为(0,+∞),故它与x轴不相交.
(3)y=2-x=
x是减函数.
(4)a>
1时,若x<
0,则ax<
1.
【答案】
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
2.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象过点(2,9),则f(x)=________.
【解析】 由于a2=9,∴a=±
3.∵a>0,∴a=3,
∴f(x)=3x.
【答案】 3x
[小组合作型]
指数函数的概念
函数f(x)=(a2-7a+7)ax是指数函数,求实数a的值.
【精彩点拨】 利用指数函数的定义求解.
【自主解答】 ∵函数f(x)=(a2-7a+7)ax是指数函数,
∴
∴a=6,即a的值为6.
指数函数具有以下特征:
①底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x;
②指数位置是自变量x,且x的系数是1;
③ax的系数是1.
[再练一题]
1.已知y=(2a-1)x是指数函数,则a的取值范围是________.
【解析】 要使y=(2a-1)x是指数函数,则2a-1>
0且2a-1≠1,
∴a>
且a≠1.
【答案】 a>
且a≠1
利用单调性比较大小
比较下列各组数的大小:
【精彩点拨】 观察底是否相同(或能化成底相同),若相同用单调性,否则结合图象或中间值来比较大小.
在进行指数式的大小比较时,可以归纳为以下三类:
(1)底数同、指数不同:
利用指数函数的单调性解决.
(2)底数不同、指数同:
利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象,依据底数a对指数函数图象的影响,逆时针方向底数在增大,然后观察指数取值对应的函数值即可.
(3)底数不同、指数也不同:
采用介值法.以其中一个的底为底,以另一个的指数为指数.比如ac与bd,可取ad,前者利用单调性,后者利用图象.
2.比较下列各组数的大小:
【解】
(1)由于指数函数y=1.9x在R上单调递增,而-π<
-3,
∴1.9-π<
1.9-3.
(2)∵y=0.6x在R上递减,
∴0.60.4>
0.60.6.
又在y轴右侧,函数y=0.6x的图象在y=0.4x图象的上方,
∴0.60.6>
0.40.6,∴0.60.4>
0.40.6.
利用单调性解指数不等式
【精彩点拨】 化为同底,利用指数函数的单调性求解.
1.形如ax>
ay的不等式,借助y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.
2.形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解.
【解析】
(1)∵2
<
2-(x+1)≤22,又y=2x是增函数,
-(x+1)≤2,
解得-3≤x<
-
.
【答案】
(2)讨论:
①当a>
1时,3x-2≤x+2,∴x≤2.
②当0<
1时,3x-2≥x+2,∴x≥2.
综上,当a>
1时,不等式的解集为{x|x≤2}
当0<
1时,不等式的解集为{x|x≥2}.
[探究共研型]
图象变换及其应用
探究1 在同一坐标系中作出y=2x,y=2x+1,y=2x+1+2的图象,在另一坐标系中做出y=2x,y=2x-1,y=2x-1-2的图象,结合以前所学的知识,归纳出图象变换的规律.
【提示】
结论:
y=2x+1的图象是由y=2x的图象向左平移1个单位得到;
y=2x+1+2的图象是由y=2x+1的图象再向上平移2个单位得到;
y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位得到;
y=2x-1-2的图象是由y=2x-1的图象再向下平移2个单位得到.
探究2 在同一坐标系中,做出y=2x-1,y=3x-1,y=
x-1的图象,它们有公共点吗?
坐标是什么?
能否由此得出结论y=ax-1均过该点.在另一坐标系中,做出y=2x+1-1,y=3x+1-1,y=
x+1-1的图象,它们有公共点吗?
坐标是什么,能得出y=ax+1-1均过该点的结论吗?
由以上两点,能否说明形如y=ax+m+n(m,n>
0)的图象经过的定点是什么?
y=2x-1,y=3x-1,y=
x-1都过定点(0,0),且y=ax-1也总过定点(0,0).y=2x+1-1,y=3x+1-1,y=
x+1-1都过定点(-1,0),且y=ax+1-1也总过定点(-1,0).综上得y=ax+m+n的图象经过定点(-m,1+n).
探究3 除去用图象变换的方法外,还有无其它方式寻找定点.如y=4a2x-4+3是否过定点.
【提示】 还可以整体代换.
将y=4a2x-4+3变形为
=a2x-4.
令
⇒
即y=4a2x-4+3过定点(2,7).
(1)函数y=3-x的图象是________.(填序号)
(2)已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图象必定不经过第________象限.
(3)函数f(x)=2ax+1-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.
【精彩点拨】 题
(1)中可将y=3-x转化为y=
x.
题
(2)中,函数y=ax+b的图象过点(0,1+b),
因为b<-1,所以点(0,1+b)在y轴负半轴上.
题(3)应该根据指数函数经过定点求解.
【自主解答】
(1)y=3-x=
x为单调递减的指数函数,其图象为②.
(2)函数y=ax(0<a<1)在R上单调递减,图象过定点(0,1),所以函数y=ax+b的图象在R上单调递减,且过点(0,1+b).因为b<-1,所以点(0,1+b)在y轴负半轴上,故图象不经过第一象限.
(3)令x+1=0,得x=-1,此时y=2a0-3=-1,故图象恒过定点(-1,-1).
【答案】
(1)②
(2)一 (3)(-1,-1)
1.处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点:
指数函数的图象过定点(0,1).
(2)巧用图象变换:
函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的性质:
奇偶性与单调性.
2.指数型函数图象过定点问题的处理方法
求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点.
4.函数y=f(x)=ax+2-
(a>
1)的图象必过定点________,其图象必不过第________象限.
【解析】 y=ax(a>
1)在R上单调递增,必过(0,1)点,
故求f(x)所过的定点时可以令
即定点坐标为
.结合图象(略)可知,f(x)的图象必在第一、二、三象限,不在第四象限.
四
1.下列所给函数中为指数函数的是________.(填序号)
①y=4x;
②y=x4;
③y=-4x;
④y=(-4)x;
⑤y=4x2;
⑥y=x2;
⑦y=(2a-1)x
【解析】 形如y=ax(a>
0且a≠1)的函数为指数函数,故①⑦是指数函数.
【答案】 ①⑦
2.已知指数函数f(x)的图象过点(4,81),则f(6)的值为________.
【解析】 设f(x)=ax,则a4=81,∴a=3,∴f(6)=36=729.
【答案】 729
3.指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是________.
【解析】 由题意可知,0<
2-a<
1,
即1<
2.
【答案】 (1,2)
4.函数y=ax-5+1(a≠0)的图象必经过点________.
【解析】 指数函数的图象必过点(0,1),即a0=1,由此变形得a5-5+1=2,所以所求函数图象必过点(5,2).
【答案】 (5,2)
5.画出函数y=2|x|的图象,观察其图象有什么特征?
根据图象指出其值域和单调区间.
【解】 当x≥0时y=2|x|=2x;
当x<0时y=2|x|=
∴函数y=2|x|的图象如图所示,
由图象可知,y=2|x|的图象关于y轴对称,值域是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,0],单调递增区间是[0,+∞).