空间几何体的表面积与体积专题强化训练Word格式.docx
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C.1＋2D.2
4.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°
，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A.36πB.64πC.144πD.256π
5.
如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥N－PAC与三棱锥D－PAC的体积比为（ ）
A.1∶2B.1∶8
C.1∶6D.1∶3
二、填空题
6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
7.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.
三、解答题
9.已知一个几何体的三视图如图所示.
（1）求此几何体的表面积；
（2）如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长.
10.
如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
11.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
12.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝（ ）
A.1B.2C.4D.8
13.
圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若r＝1，则该几何体的体积为________.
14.四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.
（1）求四面体ABCD的体积；
（2）证明：
四边形EFGH是矩形.
解析 设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝.
所以米堆的体积为V＝×
π·
r2·
5＝·
·
5≈（立方尺）.
故堆放的米约有÷
1.62≈22（斛）.
答案 B
2.
解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝（1＋2）×
2＝3.∴V＝x·
3＝3，解得x＝3.
答案 D
5.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
解析
四面体的直观图如图所示.
侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝，AC＝2.
设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，又SO⊂平面SAC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC，又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO.
又OS＝OB＝1，∴SB＝，
故△SAB与△SBC均是边长为的正三角形，故该四面体的表面积为2×
×
＋2×
（）2＝2＋.
6.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°
解析 因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－ABC的体积取得最大值.由×
R2×
R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR2＝144π.
答案 C
5.
解析 设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P′，N′，则PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′，则在△BPP′中，由BN＝2PN得＝.
V三棱锥N－PAC＝V三棱锥P－ABC－V三棱锥N－ABC＝S△ABC·
PP′－
S△ABC·
NN′＝S△ABC·
（PP′－NN′）＝S△ABC·
PP′＝S△ABC·
PP′，V三棱锥D－PAC＝V三棱锥P－ACD＝S△ACD·
PP′，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABC＝S△ACD，∴＝.故选D.
二、填空题
解析 设新的底面半径为r，由题意得πr2·
4＋πr2·
8＝π×
52×
4＋π×
22×
8，解得r＝.
答案
7.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________.
解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝＝2，
解得R＝1，所以V＝R3＝.
答案 π
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.
由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体.∴体积V＝π×
12×
2＋×
π×
1＝π.
答案 π
三、解答题
解
（1）由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.
S圆锥侧＝（2πa）·
（a）＝πa2，
S圆柱侧＝（2πa）·
（2a）＝4πa2，
S圆柱底＝πa2，
所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝（＋5）πa2.
（2）沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图.
则PQ＝＝＝a，
所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.
解
（1）交线围成的正方形EHGF如图所示.
（2）如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
故S四边形A1EHA＝×
（4＋10）×
8＝56，
S四边形EB1BH＝×
（12＋6）×
8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为.
解析 若俯视图为A，则该几何体为正方体，其体积为1，不满足条件.若俯视图为B，则该几何体为圆柱，其体积为π×
1＝，不满足条件.若俯视图为C，则该几何体为三棱柱，其体积为×
1×
1＝，满足条件.若俯视图为D，则该几何体为圆柱的，体积为π×
1＝，不满足条件.
12.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝（ ）
解析 该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，如图.
则表面积
S＝×
4πr2＋πr2＋（2r）2＋πr·
2r＝（5π＋4）r2，
又S＝16＋20π，
∴（5π＋4）r2＝16＋20π，解得r＝2.
13.
解析 根据三视图中的正视图和俯视图知，该几何体是由一个半径r＝1的半球，一个底面半径r＝1、高2r＝2的圆锥组成的，则其体积为V＝πr3×
＋πr2×
2r×
＝.
（1）解 由该四面体的三视图可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，
又BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，
∴四面体ABCD的体积V＝×
2×
1＝.
（2）证明 ∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，
平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，
∴FG∥EH.
同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，
∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形.
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