新湘八年级下册第1章直角三角形教案文档格式.docx
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要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片
（l）量一量斜边AB的长度
（2）找到斜边的中点，用字母D表示
（3）画出斜边上的中线
（4）量一量斜边上的中线的长度
让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？
归纳：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练：
练习4：
在△ABC中，∠ACB=90°
，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°
，那么∠ECB=_________。
练习5：
已知：
∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。
求证：
（1）ED=EB
（2）∠EBD=∠EDB
（3）图中有哪些等腰三角形？
练习6已知：
在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，M是BC的中
点。
如果连接DE,取DE的中点O,那么MO与DE有什么样的关系存在?
四、小结：
这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理？
1、
2、
3、
5、作业：
P7习题A组1、2
六、课后反思：
第二课时
教学目标
1、掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”；
2、掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度”；
3、能利用直角三角形的性质解决一些实际问题。
重点：
直角三角形的性质
难点：
直角三角形性质的应用
教学过程
一、创设情境，导入新课
1直角三角形有哪些性质？
（1）两锐角互余；
（2）斜边上的中线等于斜边的一半
2按要求画图：
（1）画∠MON，使∠MON=30°
，
（2）在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K，量一量PO,PK的长度，PO,PK有什么关系？
（3）在OM上再取点Q,R，分别过
Q,R作ON的垂线QD,RE,垂足分别为D,E，量一量QD，OQ，它们有什么关系？
量一量RE,OR，它们有什么关系？
由此你发现了什么规律？
直角三角形中，如果有一个锐角等于30°
，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
为什么会有这个规律呢？
这节课我们来研究这个问题.
二、合作交流，探究新知
1探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°
，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。
如图，Rr△ABC中，∠A=30°
，BC为什么会等于
AB
分析：
要判断BC=
AB,可以考虑取AB的中点，如果BD=BC，那么BC=
AB，由于∠A=30°
所以∠B=60°
如果BD=BC,则△BDC一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC是等边三角形，你会判断吗？
由学生完成
归纳：
这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？
先让学生交流，得出把△ABC沿着AC翻折，利用等边三角形的性质证明。
2上面定理的逆定理
上面问题中，把条件“∠A=30°
”与结论“BC=
AB”交换，结论还成立吗？
学生交流
方法
（1）取AB的中点，连接CD，判断△BCD是等边三角形，得出∠B=60°
从而
∠A=30°
（2）沿着AC翻折，利用等边三角形性质得出。
（3）你能把上面问题用文字语言表达吗？
直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。
三、应用迁移，巩固提高
1、定理应用
例1、在△ABC中，△C=90°
，∠B=15°
，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D,BD=16cm，则AC的长为______
例2、如图在△ABC中，若∠BAC=120°
，AB=AC,AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.
2、实际应用
例3、（P5）如图1-8，在A岛周围20海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°
的方向，且与轮船相距30
海里，该该船继续保持由西向东不的航向，那么有触礁的危险吗？
图1-8
四、课堂练习，巩固提高
P6练习1、2
五、反思小结，拓展提高
直角三角形有哪些性质？
怎样判断一个三角形是直角三角形？
六、作业布置：
P7习题A组3、4
七、课后反思：
第三课时
1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
（1）
（1）掌握勾股定理；
（2）学会利用勾股定理进行计算、证明与作图
（3）在定理的证明中培养学生的拼图能力；
勾股定理及其应用
教学难点：
有关勾股定理的探究
教学方法:
观察、比较、合作、交流、探索.
一、新课背景知识复习
（1）三角形的三边关系
（2）问题：
直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？
二、勾股定理的证明方法
探究一：
将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.
探究二:
如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形,
三、定理的获得 让学生用文字语言将上述问题表述出来．
勾股定理：
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方
强调说明：
勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边
四、定理的应用
例题1、已知：
如图1-15，在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝13，BC＝10cm，AD⊥BC于D，你能算出BC边上的高AD的长吗？
解：
在△ABC中，∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，
∴BD=
BC=5
在Rt△ADB中，由勾股定理有得，AD2+BD2＝AB2，
AD＝12
故AD的长是12cm。
五、练习P11
六、课堂小结：
（1）勾股定理的内容
（2）勾股定理的作用
已知直角三角形的两边求第三边
已知直角三角形的一边，求另两边的关系
七、作业布置
P16习题A组1、2、3
八、教学反思：
第四课时
直角三角形的性质与判定
（2）
1、勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，学生将在原有的基础上对直角三角形由更深刻的认识和理解。
2、学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值；
3、尽可能的应用勾股定理有关知识解决有关问题。
应用勾股定理有关知识解决有关问题
一、课前复习
1、勾股定理的内容是什么？
问：
是这样的。
在RtΔABC中，∠C＝90°
，有：
AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。
今天我们来看看这个定理的应用。
二、新课过程
由题意有：
∠O＝90°
，在RtΔABO中
∴AO＝
＝2.4（米）
又∵下滑了0.4米∴OC＝2.0米
在RtΔODC中∴OD＝
=1.5（米）
∴外移BD＝0.8米
答：
梯足将外移0.8米。
例2（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。
问水深，葭长几何？
意思是：
有一个边上长为10尺的正方形池溏，
一株芦苇生在池子的中央，其出水部分为1尺。
如果将芦苇沿与水池边直的方向拉到岸边，它的顶端
刚好碰到池边的水面。
问水深与芦苇长各为多少？
请求水深与芦苇的长各有多少尺？
DE＝5尺，DF＝FE+1。
设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺
由勾股定理有：
x2+52＝（x+1）2
解之得：
x＝12
水深12尺，芦苇长13尺。
三、例如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
BC＝12米，AC＝16－11＝5米。
在RtΔABC中
AB＝
＝13
小鸟至少要飞13米。
四、练习：
教材P13练习1、2
五、教学反思：
第五课时
1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）（3）
（1）理解并会证明勾股定理的逆定理；
（2）会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；
（3）知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数
勾股定理的逆定理及其应用
一、、新课背景知识复习：
勾股定理的内容、文字叙述、符号表述、图形
二、逆定理的获得
（1）让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来
（2）学生自己证明
逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：
a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
强调说明：
（1）勾股定理及其逆定理的区别
勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理．
（2）判定直角三角形的方法：
①角为900②垂直③勾股定理的逆定理
三、
定理的应用
例题3P15判定由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形。
（1）a=6,b=8,c=10;
（2）a=12,b=15,c=20.
例题4P15如图1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的长。
四、巩固练习：
P16练习1、2
五、补充：
1、如果一个三角形的三边长分别为a2=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2（m＞n）
则这三角形是直角三角形
证明：
∵a2+b2=（m2-n2）2+（2mn）2
=m4+2m2n2+n4
=（m2+n2）2
∴a2+b2=c2 ,∠C＝900
2、已知：
如图，四边形ABCD中，∠B＝
，AB＝3，BC＝4，
CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积
解：
连结AC
∵∠B＝
，AB＝3，BC＝4
∴
∴AC＝5
∵
∴
∴∠ACD＝900
以上习题，分别由学生先思考，然后回答．师生共同补充完善．（教师做总结）
（1）逆定理应用时易出现的错误分不清哪一条边作斜边（最大边）
（2）判定是否为直角三角形的一种方法：
结合勾股定理和代数式、方程综合运用．
七、布置作业：
P16习题A组1、2、3、4
第六课时
1.3直角三角形全等判定
1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已学过的全等三角形判定方法来判定．
2．使学生掌握“斜边、直角边”定理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．
“斜边、直角边”定理的掌握．
难点：
“斜边、直角边”定理的灵活运用．
教学手段：
剪好的三角形硬纸片若干个
一、引入新课
前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS．我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形．我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形（如直角三角形）．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？
我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等.
提问：
如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否能全等呢？
二、探究
1.如图，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=△A＇C＇，∠C=∠C＇=Rt∠，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？
研究这个问题，我们先做一个实验：
把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起（教具演示）如图3-44，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=Rt∠，所以B、C（C＇）、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇．根据“AAS”公理可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．
2．两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以完全重合，从而引出直角三角形全等判定公理——“HL”定理．
（三）讲解新课
斜边、直角边定理：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
这是直角三角形全等的一个特殊的判定定理，其他判定公理同于任意三角形全等的判定定理．
3、例题分析
例题1P20如图1-23，BD,CE分别是△ABC的高，且BE=CD.
求证：
Rt△BEC≌Rt△CDB
例题2P20已知一直角边和斜边，求作直角三角形。
已知：
线段α、c（c˃α），如图1-24。
求作：
Rt△ABC，使AB=C，BC=α。
作法：
（1）
（2）
（3）
则△ABC为所求作的直角三角形。
由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”定理只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等，所以判定两个直角三角形的方法有五种：
“SAS、ASA、AAS、SSS、LH”
五、练习P20练习1、2．
六、作业P21习题A组1、2、3、4
第七课时
1.4角平分线的性质
（1）
教学目标
1、了解并掌握角平分线的性质；
2、了解并掌握角平分线的逆定理。
直角三角形的判定方法“HL”，角平分线性质
直角三角形的判定方法“HL”的说理过程
一、
引课如图，AD是△ABC的高，AD把△ABC分成两个直角三角形，这两个直角三角全等吗？
问题1：
图中的两个直角三角形有可能全等吗？
什么情况下这两个直角三角形全等？
由于学生对等腰三角形有初步的了解，因此教学中，学生根据图形的直观，认为这两个直角三角形全等的条件可能情况有四个:
BD＝CD,∠BAD＝∠CAD；
∠B＝∠C；
AB＝AC。
问题2：
你能说出上述四个可判定依据吗？
说明：
1．从问题2的讨论中，可以使学生主动发现判定两个直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件，同时由于有一个直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只要两个条件。
2．当“AB＝AC”时，从图形的直观可以估计这两个直角三角形全等，这时两个直角三角形对应相等的元素是“边边角”，从而有利于学生形成新的认知的冲突──在上学期中我们知道，已知两边及其一边的对角，画出了两个形状、大小都不同的三角形，因此得到“有两边及其一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等”的结论，那么当其中一边的对角是特殊的直角时，这个结论能成立吗？
二、新授
探究1
已知，在△OPD与△OPE中，PD⊥OA，PE⊥OB，
∠BOP=∠AOP，请说明PD
=PE。
思路：
证明Rt△PDO≌Rt△PEO,得到PD=PE。
归纳结论：
角平分线上的点到角两边的距离相等
探究2
PD
=PE，请说明∠BOP=∠AOP。
请学生自行思考解决证明过程。
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
（板书）
三、例题讲解
例题1P23如图1-28，∠BAD=∠BCD=900,∠1=∠2.
（1）求证：
点B在∠ADC的平分线上
（2）求证：
BD是∠ABC的平分线
P24练习1、2
（到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上，角平分线上的点到两边的距离相等，等腰三角形的判定的综合应用）
五、小结
l．直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法____“HL”公理。
2．两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件（两个条件占至少有一个条件是一对边相等）。
3、角平分线上的点到角两边的距离相等。
4、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
六、布置作业
P26习题1.4A组1、2、3
第八课时
1.4角平分线的性质
（2）
1、掌握角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、掌握角平分线的判定：
3角平分线定理的简单应用
重点：
角平分线定理的理解。
角平分线定理的简单应用。
一、知识回顾
1、角平分线的性质：
2、角平分线的判定：
二、动脑筋
P24如图1-29，已知EF⊥CD,EF⊥AB,MN⊥AC,M是EF的中点，需要添加一个什么条件，就可使CN,AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
（可以添加条件MN=ME或MN=MF）
理由：
∵NE⊥CD,MN⊥CA
∴M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线
同理可得AM是∠CAB的平分线。
例题2P25如图1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB,PF⊥AC,垂足分别为点E、F.试探索BE+PF与PB的大小关系。
四、练习P25练习1、2
动脑筋P25
如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？
1、角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
P26习题1.4B组4、5
图1-30图1-31图1-32
第九课时
小结与复习
一、知识小结
二、例题讲解
例1：
已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°
，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，
∠A=30°
，求BC，CD和DE的长
分析：
由30°
的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.
在Rt△ADE中，有∠A=30°
，则DE可求.
在Rt△ABC中
∵∠ACB=90∠A=30°
∵AB=8∴BC=4
∵D为AB中点，CD为中线
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°
在Rt△ADE中，
例2：
△ABC中，AB=AC=BC（△ABC为等边三角形）D为BC边上的中点，
DE⊥AC于E.求证：
.
CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的一半，因此可证.
∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90°
（垂直定义）
∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC∠C=60°
∵在Rt△EDC中，∠C=60°
，∴∠EDC=90°
-60°
=30°
∵D为BC中点，
∴
例3：
如图AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC.
求证：
AB=BO.
证AB=BD只需证明∠BAO=∠BOA
由已知中等腰直角三角形的性质，可知
由此，建立起AE与AC之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证.
作DF⊥BC于F，AE⊥BC于E
∵△BDC中，∠BDC=90°
，BD=CD
∵BC=AC∴
∵DF=AE∴
∴∠ACB=30°
∵∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠ABC=75°
∴∠OBA=30°
∴∠AOB=75°
∴∠BAO=∠BOA∴AB=BO
三、作业布置：
P28复习题1
第十课时第十一课时
习题课
1、已知，Rt△ABC中，∠C=90°
，∠A=50°
，则∠B=；
2、在Rt△ABC中，∠C=90°
，则∠A与∠B；
3、在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是三角形。
4、在直角三角形中，斜边上的中线等于的一半；
5、若△ABC中，∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，则△ABC是三角形；
6、如图，在△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，∠A=40°
，则∠DCB=，∠B=；
7、如图，直线AB上有一点O，过O点作射线OD、OC、OE，且OC、OE分别是∠BOD和∠AOD的平分线，则∠1与∠2的大小关系是，∠1+∠3=度，OC与OE的位置关系是。
8、如图，ΔABC中，AB=AC=4，P是BC上任意一点，过P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，若SΔABC=6，则PE+PD=。
（9）（10）（11）
9、如图，已知∠ACB=∠BDA=90°
，要使△ACB≌△BDA，至少还需加上条件：
。
10、如图，已知AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，则∠E（）
A.大于90°
B.等于90°
C.小于90°
D.无法确定
11、如图，ΔABC中，∠A=50°
，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则∠BOC的度数是（）
A.115°
B.110°
C.105°
D.130°
12、如图，已知AC⊥BD于C，CF=CD，BF的延长线交AD于点E，且AC=BC。
（
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