中学数学复习证明题专项练习Word文档格式.docx

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∴当x＝4时||，y有最大值为4||；

（3）点P的坐标为（4||，0）或（

||，0）．

【解法提示】如解图||，过P作PN⊥CB于N||，

第1题解图

∴∠ECF＝∠FNP＝90°

∴∠CEF＋∠EFC＝90°

∵∠EFC＋∠PFN＝90°

∴∠CEF＝∠NFP||，

∴△CEF∽△NFP||，

∵CF＝

＝2

||，由

（2）得

即2y－4＝

将y＝－

x2＋2x代入得：

8（－

x2＋2x）－16＝x2－16x＋64||，

整理得3x2－32x＋80＝0||，

解得x1＝4||，x2＝

∴点P的坐标为（4||，0）或（

2.如图||，在△ABC中||，AB＝AC||，过点C作CG⊥BA||，交BA的延长线于点G||，一等腰直角三角尺的一条直角边与AC在同一直线上||，该三角尺的直角顶点为F.

（1）如图①||，当另一条直角边恰好经过点B时||，求证BF＝CG||；

（2）将三角尺沿AC方向平移到图②位置时||，另一条直角边交BC于点D||，过点D作DE⊥BA于点E||，试探究线段DE、DF与CG之间满足的等量关系||，并说明理由||；

（3）如图③||，将三角尺继续沿AC方向平移（点F不与点C重合）时||，若AG∶AB＝5∶13||，BC＝4

||，请直接写出DE＋DF的值．

第2题图

2.

（1）证明：

如解图①||，

第2题解图①

∵BF⊥AC||，CG⊥AB||，

∴S△ABC＝

AC·

BF＝

AB·

CG||，

∵AB＝AC||，

∴BF＝CG||；

（2）解：

DE＋DF＝CG||；

理由：

如解图②||，连接AD||，

第2题解图②

∵DF⊥AC||，DE⊥AB||，CG⊥AB||，

∴S△ACD＝

DF||，S△ABD＝

DE||，

S△ABC＝

∵S△ACD＋S△ABD＝S△ABC||，

DF＋

DE＝

∴DE＋DF＝CG||；

（3）DE＋DF的值为8.

【解法提示】如解图③||，连接AD||，

第2题解图③

同

（2）可得：

DE＋DF＝CG||，

设AG＝5x||，

∵AG∶AB＝5∶13||，AB＝AC||，

∴AC＝AB＝13x||，

∵∠G＝90°

∴GC＝

＝12x||，

在Rt△BGC中||，

∵BG＝AB＋AG＝13x＋5x＝18x||，GC＝12x||，BC＝4

∴（18x）2＋（12x）2＝（4

）2||，

解得x＝

（负值舍去）||，

∴DE＋DF＝CG＝12x＝8.

3.如图||，在等边△ABC中||，AD是BC边上的中线||，点P是直线AD上的动点（不与点A、D重合）||，连接BP||，将线段BP绕点P逆时针旋转60°

||，得到线段PM||，连接CM.

（1）如图①||，当点P在线段AD上时||，直接写出线段AP与CM的数量关系||；

（2）如图②||，当点P在AD的延长线上时||，

（1）中结论是否成立？

若成立||，请加以证明||；

若不成立||，请说明理由||；

（3）如图③||，当点P在AD的延长线上||，∠AMC＝45°

时||，若AB＝2||，请直接写出线段AP的长．

第3题图

3.解：

（1）AP＝CM||；

【解法提示】如解图①||，连接BM||，由旋转的性质可得BP＝MP||，∠BPM＝60°

第3题解图①

∴△BPM是等边三角形||，

∴BP＝BM||，

∵△ABC是等边三角形||，

∴AB＝BC||，

∵∠ABP＋∠CBP＝∠CBP＋∠CBM||，

∴∠ABP＝∠CBM||，

∴△ABP≌△CBM（SAS）||，

∴AP＝CM||；

（2）

（1）中结论仍成立．

证明：

如解图②||，连接BM||，

第3题解图②

由旋转性质得BP＝MP||，∠BPM＝60°

∵∠ABC＝∠MBP＝60°

∵AB＝CB||，

∴△ABP≌△CBM||，

（3）AP＝2.

【解法提示】

如解图③||，连接BM.

第3题解图③

由

（2）得△ABP≌△CBM||，

∵AD为BC边上的中线||，

∴∠BCM＝∠BAP＝30°

∵∠ACB＝60°

||，∴∠ACM＝90°

∵∠AMC＝45°

||，AC＝AB＝2||，

∴CM＝2||，

∴AP＝CM＝2.

4.如图①||，在菱形ABCD和等边三角形BGF中||，∠ABC＝60°

||，点G在BC边上||，点P是DF的中点||，连接PG、PC.

（1）判断PG与PC的关系||，并证明||；

（2）将△BGF绕点B顺时针旋转60°

||，如图②||，线段PC、PG还满足

（1）中的结论吗？

写出你的猜想||，并给出证明||；

（3）若将△BGF绕点B顺时针旋转120°

||，如图③||，连接CG||，PC＝

||，请直接写出CG的长．

第4题图

4.解：

（1）PC⊥PG||，PG＝

PC||；

如解图①||，延长GP交DC于点E||，

第4题解图①

∵点P是DF的中点||，

∴DP＝FP||，

∵△BGF是等边三角形||，

∴∠FGB＝60°

∴∠CGF＝180°

－60°

＝120°

又∵在菱形ABCD中||，∠ABC＝60°

∴∠DCG＝120°

∴DC∥GF||，

∴∠PDE＝∠PFG||，

在△PED和△PGF中||，

∴△PED≌△PGF（ASA）||，

∴PE＝PG||，DE＝FG||，

∵DC＝BC||，

∴DC－DE＝BC－FG＝BC－BG||，

即CE＝CG||，

∴CP是EG的中垂线||，

即PC⊥PG||，

在Rt△CPG中||，∠PCG＝60°

∴PG＝

（2）猜想仍满足

（1）中结论．

如解图②||，延长GP交DA于点M||，连接MC||，GC||，

第4题解图②

∵点P是线段DF的中点||，

∴DP＝FP.

∵∠ABC＝60°

||，∠CBG＝60°

||，△BGF是等边三角形||，

∴点F在AB的延长线上||，∠BFG＝60°

∴GF∥BC∥AD||，

∴∠MDP＝∠GFP||，

在△DPM和△FPG中||，

∴△DPM≌△FPG（ASA）||，

∴PM＝PG||，DM＝FG＝BG||，

在△CDM和△CBG中||，

||，∴△CDM≌△CBG（SAS）||，

∴CM＝CG||，∠DCM＝∠BCG||，

∴∠MCG＝∠DCB＝120°

∵PM＝PG||，

∴PC⊥PG||，∠PCG＝

∠MCG＝60°

（3）CG的长为2

.

【解法提示】如解图③||，延长GP到点H||，使PH＝PG||，连接CH||，DH||，过点F作FN∥DC||，

第4题解图③

||，∠CBG＝120°

||，△BFG是等边三角形||，

∴点G在AB的延长线上||，点F在CB的延长线上||，

∵点P是线段DF的中点||，∴FP＝DP||，

在△GFP和△HDP中||，

∴△GFP≌△HDP（SAS）||，

∴GF＝HD||，∠GFP＝∠HDP||，

∴GF∥HD.

∵FN∥AG∥DC||，

∴∠GFN＝∠GFP＋∠PFN＝120°

∴∠CDH＝∠HDP＋∠PDC＝∠GFP＋∠PFN＝120°

∵△BFG是等边三角形||，

∴GF＝GB||，∴HD＝GB||，

在△HDC和△GBC中||，

∴△HDC≌△GBC（SAS）||，

∴CH＝CG||，∠DCH＝∠BCG||，

∴∠DCH＋∠HCB＝∠BCG＋∠HCB＝120°

即∠HCG＝120°

∵CH＝CG||，PH＝PG||，

∴PG⊥PC||，∠GCP＝60°

∵PC＝

||，∴CG＝2

5.问题情境

在Rt△ABC中||，∠BAC＝90°

||，AB＝AC||，点E是直线AC上的一个动点（不与A、C重合）||，以CE为一边作Rt△DCE||，使∠DCE＝90°

||，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE||，使点C移动到点A||，得到△ABF.过点F作FG⊥BC||，交线段BC于点G||，连接DG、EG.

深入探究

（1）如图①||，当点E在线段AC上时||，小文猜想GC＝GF||，请你帮他证明这一结论||；

（2）如图②||，当点E在线段AC的延长线上||，且CE＜CA时||，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系||，并证明你的猜想||；

拓展应用

（3）如图③||，将

（2）中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”||，若设∠CDE＝α||，请用含α的式子表示∠CGE的度数（直接回答即可||，不必证明）．

第5题图

5.

（1）证明：

∵在Rt△BAC中||，

∠BAC＝90°

||，AB＝AC||，

∴∠BCA＝∠ABC＝45°

∵FG⊥BC||，

∴∠FGC＝90°

∴∠GFC＝90°

－∠GCF＝45°

∴∠GFC＝∠GCF||，

∴GC＝GF||；

DG＝EG||，DG⊥EG||；

同

（1）可证GC＝GF||，

∵∠DCF＝90°

||，∠BCA＝45°

∴∠DCG＝45°

∵∠GFC＝45°

∴∠DCG＝∠EFG||，

∵△CDE平移得到△ABF||，

∴CE＝AF||，

∴CE＋CF＝AF＋CF||，即EF＝AC||，

∵AC＝CD||，

∴EF＝CD||，

∴△DCG≌△EFG（SAS）||，

∴DG＝EG||，∠DGC＝∠EGF||，

∴∠DGC－∠EGC＝∠EGF－∠EGC||，

即∠DGE＝∠CGF＝90°

∴DG⊥EG||；

（3）∠CGE＝180°

－α.

【解法提示】同

（1）可证GC＝GF||，同

（2）可证DG＝EG||，DG⊥EG||，∴∠DGE＝90°

||，∠DEG＝∠EDG＝45°

||，∵∠CDE＝α||，∴∠GDC＝α－45°

||，∵∠GCF＝∠ACB＝45°

||，∠DCF＝90°

||，∴∠DCG＝90°

＋45°

＝135°

||，∴∠DGC＝180°

－135°

－（α－45°

）＝90°

－α||，∴∠CGE＝90°

＋∠DGC＝180°

6.问题情境

在矩形ABCD中||，AD＝12||，AB＝4||，在BC上分别取点P、Q||，使BP＝CQ||，连接AP、DQ||，将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得到△AMP、△DNQ||，连接MN.

独立思考

如图①||，过点M作ME⊥BC于点E||，过点N作NF⊥BC于点F.

（1）求证：

ME＝NF||；

（2）试探究线段MN与BC满足的位置关系||，并说明理由||；

（3）若BP＝3||，求MN的长||；

拓展延伸

（4）如图②||，当点P与点Q重合时||，直接写出MN的长．

第6题图

6.

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形||，

∴∠B＝∠C＝90°

||，AB＝CD||，

∵在△ABP和△DCQ中||，

∴△ABP≌△DCQ||，∴∠APB＝∠DQC||，

由折叠的性质得∠MPE＝180°

－2∠APB||，∠NQF＝180°

－2∠DQC||，MP＝BP||，NQ＝CQ||，

∴∠MPE＝∠NQF||，MP＝NQ||，

∴在△MEP和△NFQ中||，

∴△MEP≌△NFQ||，

∴ME＝NF||；

MN∥BC.

∵ME⊥BC||，NF⊥BC||，

∴ME∥NF||，

∵由

（1）知ME＝NF||，

∴四边形EFNM是矩形||，

∴MN∥BC||；

（3）解：

如解图①||，延长EM、FN交AD于点G、H||，

第6题解图①

∵AB＝4||，BP＝3||，

∴AM＝4||，PM＝3||，

∵AD∥BC||，∴EM⊥AD||，

∵∠AMP＝∠MEP＝∠MGA||，

∴∠EMP＝∠GAM||，

∴△EMP∽△GAM||，

设AG＝4a||，MG＝4b||，则EM＝3a||，EP＝3b||，

∵∠BAG＝∠B＝∠BEG＝90°

∴四边形ABEG是矩形||，

||，解得

∴AG＝

∵由

（1）△MEP≌△NFQ||，∴PE＝FQ||，

∵BP＝CQ||，∴BE＝CF||，

∴DH＝AG＝

∴MN＝AD－2DH＝

||；

（4）

【解法提示】如解图②||，设PM、PN分别交AD于点E、F.由折叠的性质得∠EPA＝∠APB||，∵四边形ABCD是矩形||，∴∠EPA＝∠APB＝∠PAE||，∴EA＝EP.设EA＝EP＝x||，在Rt△AME中||，42＋（6－x）2＝x2||，解得x＝

||，∴EF＝12－2×

||，∵EF∥MN||，∴△PEF∽△PMN||，∴

||，解得MN＝

第6题解图②