∴当x＝4时||，y有最大值为4||；
（3）点P的坐标为（4||，0）或（
||，0）．
【解法提示】如解图||，过P作PN⊥CB于N||，
第1题解图
∴∠ECF＝∠FNP＝90°||，
∴∠CEF＋∠EFC＝90°||，
∵∠EFC＋∠PFN＝90°||，
∴∠CEF＝∠NFP||，
∴△CEF∽△NFP||，
∴
＝
||，
∵CF＝
＝
＝2
||，
∴
＝
||，由
（2）得
＝
||，
即2y－4＝
||，
将y＝－
x2＋2x代入得：
8（－
x2＋2x）－16＝x2－16x＋64||，
整理得3x2－32x＋80＝0||，
解得x1＝4||，x2＝
||，
∴点P的坐标为（4||，0）或（
||，0）．
2.如图||，在△ABC中||，AB＝AC||，过点C作CG⊥BA||，交BA的延长线于点G||，一等腰直角三角尺的一条直角边与AC在同一直线上||，该三角尺的直角顶点为F.
（1）如图①||，当另一条直角边恰好经过点B时||，求证BF＝CG||；
（2）将三角尺沿AC方向平移到图②位置时||，另一条直角边交BC于点D||，过点D作DE⊥BA于点E||，试探究线段DE、DF与CG之间满足的等量关系||，并说明理由||；
（3）如图③||，将三角尺继续沿AC方向平移（点F不与点C重合）时||，若AG∶AB＝5∶13||，BC＝4
||，请直接写出DE＋DF的值．
第2题图
2.
（1）证明：
如解图①||，
第2题解图①
∵BF⊥AC||，CG⊥AB||，
∴S△ABC＝
AC·BF＝
AB·CG||，
∵AB＝AC||，
∴BF＝CG||；
（2）解：
DE＋DF＝CG||；
理由：
如解图②||，连接AD||，
第2题解图②
∵DF⊥AC||，DE⊥AB||，CG⊥AB||，
∴S△ACD＝
AC·DF||，S△ABD＝
AB·DE||，
S△ABC＝
AB·CG||，
∵S△ACD＋S△ABD＝S△ABC||，
∴
AC·DF＋
AB·DE＝
AB·CG||，
∵AB＝AC||，
∴DE＋DF＝CG||；
（3）DE＋DF的值为8.
【解法提示】如解图③||，连接AD||，
第2题解图③
同
（2）可得：
DE＋DF＝CG||，
设AG＝5x||，
∵AG∶AB＝5∶13||，AB＝AC||，
∴AC＝AB＝13x||，
∵∠G＝90°||，
∴GC＝
＝12x||，
在Rt△BGC中||，
∵BG＝AB＋AG＝13x＋5x＝18x||，GC＝12x||，BC＝4
||，
∴（18x）2＋（12x）2＝（4
）2||，
解得x＝
（负值舍去）||，
∴DE＋DF＝CG＝12x＝8.
3.如图||，在等边△ABC中||，AD是BC边上的中线||，点P是直线AD上的动点（不与点A、D重合）||，连接BP||，将线段BP绕点P逆时针旋转60°||，得到线段PM||，连接CM.
（1）如图①||，当点P在线段AD上时||，直接写出线段AP与CM的数量关系||；
（2）如图②||，当点P在AD的延长线上时||，
（1）中结论是否成立？
若成立||，请加以证明||；若不成立||，请说明理由||；
（3）如图③||，当点P在AD的延长线上||，∠AMC＝45°时||，若AB＝2||，请直接写出线段AP的长．
第3题图
3.解：
（1）AP＝CM||；
【解法提示】如解图①||，连接BM||，由旋转的性质可得BP＝MP||，∠BPM＝60°||，
第3题解图①
∴△BPM是等边三角形||，
∴BP＝BM||，
∵△ABC是等边三角形||，
∴AB＝BC||，
∵∠ABP＋∠CBP＝∠CBP＋∠CBM||，
∴∠ABP＝∠CBM||，
∴△ABP≌△CBM（SAS）||，
∴AP＝CM||；
（2）
（1）中结论仍成立．
证明：
如解图②||，连接BM||，
第3题解图②
由旋转性质得BP＝MP||，∠BPM＝60°||，
∴△BPM是等边三角形||，
∴BP＝BM||，
∵∠ABC＝∠MBP＝60°||，
∴∠ABP＝∠CBM||，
∵AB＝CB||，
∴△ABP≌△CBM||，
∴AP＝CM||；
（3）AP＝2.
【解法提示】
如解图③||，连接BM.
第3题解图③
由
（2）得△ABP≌△CBM||，
∵AD为BC边上的中线||，
∴∠BCM＝∠BAP＝30°||，
∵∠ACB＝60°||，∴∠ACM＝90°||，
∵∠AMC＝45°||，AC＝AB＝2||，
∴CM＝2||，
∴AP＝CM＝2.
4.如图①||，在菱形ABCD和等边三角形BGF中||，∠ABC＝60°||，点G在BC边上||，点P是DF的中点||，连接PG、PC.
（1）判断PG与PC的关系||，并证明||；
（2）将△BGF绕点B顺时针旋转60°||，如图②||，线段PC、PG还满足
（1）中的结论吗？
写出你的猜想||，并给出证明||；
（3）若将△BGF绕点B顺时针旋转120°||，如图③||，连接CG||，PC＝
||，请直接写出CG的长．
第4题图
4.解：
（1）PC⊥PG||，PG＝
PC||；
证明：
如解图①||，延长GP交DC于点E||，
第4题解图①
∵点P是DF的中点||，
∴DP＝FP||，
∵△BGF是等边三角形||，
∴∠FGB＝60°||，
∴∠CGF＝180°－60°＝120°||，
又∵在菱形ABCD中||，∠ABC＝60°||，
∴∠DCG＝120°||，
∴DC∥GF||，
∴∠PDE＝∠PFG||，
在△PED和△PGF中||，
||，
∴△PED≌△PGF（ASA）||，
∴PE＝PG||，DE＝FG||，
∵DC＝BC||，
∴DC－DE＝BC－FG＝BC－BG||，
即CE＝CG||，
∴CP是EG的中垂线||，
即PC⊥PG||，
在Rt△CPG中||，∠PCG＝60°||，
∴PG＝
PC||；
（2）猜想仍满足
（1）中结论．
证明：
如解图②||，延长GP交DA于点M||，连接MC||，GC||，
第4题解图②
∵点P是线段DF的中点||，
∴DP＝FP.
∵∠ABC＝60°||，∠CBG＝60°||，△BGF是等边三角形||，
∴点F在AB的延长线上||，∠BFG＝60°||，
∴GF∥BC∥AD||，
∴∠MDP＝∠GFP||，
在△DPM和△FPG中||，
||，
∴△DPM≌△FPG（ASA）||，
∴PM＝PG||，DM＝FG＝BG||，
在△CDM和△CBG中||，
||，∴△CDM≌△CBG（SAS）||，
∴CM＝CG||，∠DCM＝∠BCG||，
∴∠MCG＝∠DCB＝120°||，
∵PM＝PG||，
∴PC⊥PG||，∠PCG＝
∠MCG＝60°||，
∴PG＝
PC||；
（3）CG的长为2
.
【解法提示】如解图③||，延长GP到点H||，使PH＝PG||，连接CH||，DH||，过点F作FN∥DC||，
第4题解图③
∵∠ABC＝60°||，∠CBG＝120°||，△BFG是等边三角形||，
∴点G在AB的延长线上||，点F在CB的延长线上||，
∵点P是线段DF的中点||，∴FP＝DP||，
在△GFP和△HDP中||，
||，
∴△GFP≌△HDP（SAS）||，
∴GF＝HD||，∠GFP＝∠HDP||，
∴GF∥HD.
∵FN∥AG∥DC||，
∴∠GFN＝∠GFP＋∠PFN＝120°||，
∴∠CDH＝∠HDP＋∠PDC＝∠GFP＋∠PFN＝120°||，
∵△BFG是等边三角形||，
∴GF＝GB||，∴HD＝GB||，
在△HDC和△GBC中||，
＝120°||，
∴△HDC≌△GBC（SAS）||，
∴CH＝CG||，∠DCH＝∠BCG||，
∴∠DCH＋∠HCB＝∠BCG＋∠HCB＝120°||，
即∠HCG＝120°||，
∵CH＝CG||，PH＝PG||，
∴PG⊥PC||，∠GCP＝60°||，
∵PC＝
||，∴CG＝2
.
5.问题情境
在Rt△ABC中||，∠BAC＝90°||，AB＝AC||，点E是直线AC上的一个动点（不与A、C重合）||，以CE为一边作Rt△DCE||，使∠DCE＝90°||，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE||，使点C移动到点A||，得到△ABF.过点F作FG⊥BC||，交线段BC于点G||，连接DG、EG.
深入探究
（1）如图①||，当点E在线段AC上时||，小文猜想GC＝GF||，请你帮他证明这一结论||；
（2）如图②||，当点E在线段AC的延长线上||，且CE＜CA时||，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系||，并证明你的猜想||；
拓展应用
（3）如图③||，将
（2）中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”||，若设∠CDE＝α||，请用含α的式子表示∠CGE的度数（直接回答即可||，不必证明）．
第5题图
5.
（1）证明：
∵在Rt△BAC中||，
∠BAC＝90°||，AB＝AC||，
∴∠BCA＝∠ABC＝45°||，
∵FG⊥BC||，
∴∠FGC＝90°||，
∴∠GFC＝90°－∠GCF＝45°||，
∴∠GFC＝∠GCF||，
∴GC＝GF||；
（2）解：
DG＝EG||，DG⊥EG||；
证明：
同
（1）可证GC＝GF||，
∵∠DCF＝90°||，∠BCA＝45°||，
∴∠DCG＝45°||，
∵∠GFC＝45°||，
∴∠DCG＝∠EFG||，
∵△CDE平移得到△ABF||，
∴CE＝AF||，
∴CE＋CF＝AF＋CF||，即EF＝AC||，
∵AC＝CD||，
∴EF＝CD||，
∴△DCG≌△EFG（SAS）||，
∴DG＝EG||，∠DGC＝∠EGF||，
∴∠DGC－∠EGC＝∠EGF－∠EGC||，
即∠DGE＝∠CGF＝90°||，
∴DG⊥EG||；
（3）∠CGE＝180°－α.
【解法提示】同
（1）可证GC＝GF||，同
（2）可证DG＝EG||，DG⊥EG||，∴∠DGE＝90°||，∠DEG＝∠EDG＝45°||，∵∠CDE＝α||，∴∠GDC＝α－45°||，∵∠GCF＝∠ACB＝45°||，∠DCF＝90°||，∴∠DCG＝90°＋45°＝135°||，∴∠DGC＝180°－135°－（α－45°）＝90°－α||，∴∠CGE＝90°＋∠DGC＝180°－α.
6.问题情境
在矩形ABCD中||，AD＝12||，AB＝4||，在BC上分别取点P、Q||，使BP＝CQ||，连接AP、DQ||，将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得到△AMP、△DNQ||，连接MN.
独立思考
如图①||，过点M作ME⊥BC于点E||，过点N作NF⊥BC于点F.
（1）求证：
ME＝NF||；
（2）试探究线段MN与BC满足的位置关系||，并说明理由||；
（3）若BP＝3||，求MN的长||；
拓展延伸
（4）如图②||，当点P与点Q重合时||，直接写出MN的长．
第6题图
6.
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形||，
∴∠B＝∠C＝90°||，AB＝CD||，
∵在△ABP和△DCQ中||，
∴△ABP≌△DCQ||，∴∠APB＝∠DQC||，
由折叠的性质得∠MPE＝180°－2∠APB||，∠NQF＝180°－2∠DQC||，MP＝BP||，NQ＝CQ||，
∴∠MPE＝∠NQF||，MP＝NQ||，
∴在△MEP和△NFQ中||，
∴△MEP≌△NFQ||，
∴ME＝NF||；
（2）解：
MN∥BC.
理由：
∵ME⊥BC||，NF⊥BC||，
∴ME∥NF||，
∵由
（1）知ME＝NF||，
∴四边形EFNM是矩形||，
∴MN∥BC||；
（3）解：
如解图①||，延长EM、FN交AD于点G、H||，
第6题解图①
∵AB＝4||，BP＝3||，
∴AM＝4||，PM＝3||，
∵AD∥BC||，∴EM⊥AD||，
∵∠AMP＝∠MEP＝∠MGA||，
∴∠EMP＝∠GAM||，
∴△EMP∽△GAM||，
∴
＝
＝
＝
.
设AG＝4a||，MG＝4b||，则EM＝3a||，EP＝3b||，
∵∠BAG＝∠B＝∠BEG＝90°||，
∴四边形ABEG是矩形||，
∴
||，解得
||，
∴AG＝
||，
∵由
（1）△MEP≌△NFQ||，∴PE＝FQ||，
∵BP＝CQ||，∴BE＝CF||，
∴DH＝AG＝
||，
∴MN＝AD－2DH＝
||；
（4）
.
【解法提示】如解图②||，设PM、PN分别交AD于点E、F.由折叠的性质得∠EPA＝∠APB||，∵四边形ABCD是矩形||，∴∠EPA＝∠APB＝∠PAE||，∴EA＝EP.设EA＝EP＝x||，在Rt△AME中||，42＋（6－x）2＝x2||，解得x＝
||，∴EF＝12－2×
＝
||，∵EF∥MN||，∴△PEF∽△PMN||，∴
＝
||，即
||，解得MN＝
.
第6题解图②
升级会员 