浙江专用版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件Word文档下载推荐.docx
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y，则x2<
y2
答案 A
2．下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若x>
y，则x>
|y|”的逆命题
B．命题“若x>
1，则x2>
1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>
0，则x>
1”的逆否命题
解析 对于A，其逆命题是若x>
|y|，则x>
y，是真命题，这是因为x>
|y|≥y，必有x>
y.
3．（2016·
慈溪中学高三适应性考试）设a，b为实数，则“log2a>
log2b”是“
>
”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析 由log2a>
log2b，得a>
b>
0，
而
⇔a>
b≥0，
故log2a>
log2b是
的充分不必要条件．
4．在下列三个结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
①若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；
②“
”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．
答案 ①②
解析 易知①②正确．对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误.
题型一 命题及其关系
例1 （2016·
湖州一模）有下列四个命题：
①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为（ ）
A．①②B．②③
C．①④D．①②③
答案 D
解析 ①的逆命题：
“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；
②的否命题：
“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；
③的逆否命题：
“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>
1”是真命题；
命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．故选D.
思维升华
（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；
判断一个命题是假命题，只需举出反例．
（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
（1）命题“若x>
0，则x2>
0”的否命题是（ ）
A．若x>
0，则x2≤0
B．若x2>
C．若x≤0，则x2≤0
D．若x2≤0，则x≤0
（2）某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是（ ）
A．不拥有的人们会幸福
B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福
D．不拥有的人们不幸福
答案
（1）C
（2）D
题型二 充分必要条件的判定
例2
（1）（2016·
北京）设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
（2）已知条件p：
x>
1或x<
－3，条件q：
5x－6>
x2，则綈p是綈q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案
（1）D
（2）A
解析
（1）若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；
反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
（2）由5x－6>
x2，得2<
x<
3，
即q：
2<
3.
所以q⇒p，p
q，所以綈p⇒綈q，綈q
綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法
（1）定义法：
根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
（2）集合法：
根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．
（3）等价转化法：
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
（1）（2016·
四川）设p：
实数x，y满足x>
1且y>
1，q：
实数x，y满足x＋y>
2，则p是q的（ ）
（2）已知p：
x＋y≠－2，q：
x，y不都是－1，则p是q的（ ）
答案
（1）A
（2）A
解析
（1）当x>
1，y>
1时，x＋y>
2一定成立，即p⇒q，
当x＋y>
2时，可以x＝－1，y＝4，即q
p，
故p是q的充分不必要条件．
（2）（等价法）因为p：
x≠－1或y≠－1，
所以綈p：
x＋y＝－2，綈q：
x＝－1且y＝－1，
因为綈q⇒綈p但綈p
綈q，
所以綈q是綈p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件，故选A.
题型三 充分必要条件的应用
例3 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
引申探究
1．若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴
方程组无解，
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
2．本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P⇒S且S
P.
∴[－2,10][1－m,1＋m]．
或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．
（2）要注意区间端点值的检验．
（1）已知命题p：
a≤x≤a＋1，命题q：
x2－4x<
0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________________．
2x2－3x＋1≤0，条件q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案
（1）（0,3）
（2）[0，
]
解析
（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<
0}＝{x|0<
4}．
∵p是q的充分不必要条件，∴MN，
解得0<
a<
（2）命题p为{x|
≤x≤1}，
命题q为{x|a≤x≤a＋1}．
綈p对应的集合A＝{x|x>
}，
綈q对应的集合B＝{x|x>
a＋1或x<
a}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴0≤a≤
.
1．等价转化思想在充要条件中的应用
典例
（1）（2016·
绍兴柯桥区二模）已知x，y∈R，则“（x－1）2＋（y－2）2＝0”是“（x－1）（y－2）＝0”的（ ）
x2＋2x－3>
0；
条件q：
a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．（－∞，1]
C．[－1，＋∞）D．（－∞，－3]
思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到．本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化．
解析
（1）∵{（x，y）|（x－1）2＋（y－2）2＝0}
＝{（x，y）|x＝1且y＝2}，
{（x，y）|（x－1）（y－2）＝0}＝{（x，y）|x＝1或y＝2}．
∴{（x，y）|（x－1）2＋（y－2）2＝0}{（x，y）|（x－1）（y－2）＝0}，
故“（x－1）2＋（y－2）2＝0”是“（x－1）（y－2）＝0”的充分不必要条件．
（2）由x2＋2x－3>
0，得x<
－3或x>
1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．
∴{x|x>
a}{x|x<
1}，∴a≥1.
答案
（1）A
（2）A
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
答案 B
解析 依题意，得原命题的逆命题：
若一个数的平方是正数，则它是负数．
2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（ ）
A．如果x<
a2＋b2，那么x<
2ab
B．如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2
C．如果x<
2ab，那么x<
a2＋b2
D．如果x≥a2＋b2，那么x＜2ab
答案 C
解析 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“≥”的否定是“<
”．故答案C正确．
浙江重点中学模拟）已知命题p：
“正数a的平方不等于0”，命题q：
“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的（ ）
A．逆命题B．否命题
C．逆否命题D．否定
解析 命题p：
“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
4．（2017·
宁波十校联考）设a∈R，则“a<
1”是“
1”的（ ）
解析 由1－
<
0，得0<
1，
所以“a<
1”是“0<
1”的必要不充分条件，故选B.
5．（2016·
山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.
6．已知集合A＝{x∈R|
2x<
8}，B＝{x∈R|－1<
m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是（ ）
A．{m|m≥2}B．{m|m≤2}
C．{m|m>
2}D．{m|－2<
m<
2}
解析 A＝{x∈R|
8}＝{x|－1<
3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>
即m>
2，故选C.
7．设x>
0，则“a＝1”是“x＋
≥2恒成立”的（ ）
解析 因为x＋
≥2，x>
0恒成立⇔a≥（2x－x2）max＝1，x>
所以“a＝1”是“x＋
≥2恒成立”的充分不必要条件，故选A.
8．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（ ）
解析 由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，由Venn图（如图）可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.
故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．
9．函数f（x）＝
有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）
A．a<
0B．0<
C.
1D．a≤0或a>
1
解析 因为函数f（x）过点（1,0），所以函数f（x）有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a（x≤0）没有零点⇔函数y＝2x（x≤0）与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>
1.
观察选项，根据集合间关系得{a|a<
0}{a|a≤0或a>
1}，故选A.
*10.（2016·
杭州二模）设函数f（x）＝asin（x＋α）＋bsin（x＋β）＋csin（x＋γ），则“p：
f（
）＝0”是“q：
f（x）为偶函数”的（ ）
解析 f（x）可化为f（x）＝Asin（x＋φ）的形式，
由f（
）＝0可得sin（
＋φ）＝0，即cosφ＝0.
易知cosφ＝0⇔f（x）为偶函数，
所以p是q成立的充要条件．
11．有三个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>
b，则a2>
b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6>
0”的否命题．
其中真命题的序号为____________．
答案 ①
解析 命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；
因为命题“若a>
b2”是假命题，故命题②是假命题；
命题③为“若x>
－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．
12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
答案 充要
解析 若当x∈[0,1]时，f（x）是增函数，
又∵y＝f（x）是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f（x）是减函数．
当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，
∵T＝2，∴f（x）＝f（x－4）．
故x∈[3,4]时，f（x）是减函数，充分性成立．
反之，若x∈[3,4]时，f（x）是减函数，
此时x－4∈[－1,0]，
∵T＝2，∴f（x）＝f（x－4），
则当x∈[－1,0]时，f（x）是减函数．
∵y＝f（x）是偶函数，
∴当x∈[0,1]时，f（x）是增函数，必要性也成立．
故“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的充要条件．
13．若x<
m－1或x>
m＋1是x2－2x－3>
0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 由已知易得{x|x2－2x－3>
0}{x|x<
m＋1}，又{x|x2－2x－3>
0}＝{x|x<
－1或x>
∴0≤m≤2.
14．若“数列an＝n2－2λn（n∈N*）是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________．
答案 [
，＋∞）
解析 若数列an＝n2－2λn（n∈N*）为递增数列，则有an＋1－an>
0，即2n＋1>
2λ对任意的n∈N*都成立，于是可得3>
2λ，即λ<
故所求λ的取值范围是[
，＋∞）．
*15.下列四个结论中：
①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．
正确的是________．（填序号）
答案 ①④
解析 由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；
由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；
由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，
反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，
所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．
*16.已知集合A＝{y|y＝x2－
x＋1，x∈[
，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解 y＝x2－
x＋1
＝（x－
）2＋
，
∵x∈[
，2]，∴
≤y≤2.
∴A＝{y|
≤y≤2}．
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴1－m2≤
解得m≥
或m≤－
故实数m的取值范围是（－∞，－
]∪[
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