运筹学至章习题参考答案Word格式文档下载.docx

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400

问怎样下料使得

（1）用料最少；

（2）余料最少．

【解】第一步：

求下料方案，见下表。

　方案

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

需要量

B1

1

800

B2

1200

A1

600

A2

900

余料（m）

0.5

第二步：

建立线性规划数学模型

设xj（j=1,2,…，10）为第j种方案使用原材料的根数，则

（1）用料最少数学模型为

（2）余料最少数学模型为

1.3某企业需要制定1～6月份产品A的生产与销售计划。

已知产品A每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。

1～6月份产品A的单件成本与售价如表1－25所示。

表1－25

月份

123456

产品成本（元/件）

销售价格（元/件）

300330320360360300

350340350420410340

（1）1～6月份产品A各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；

（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。

【解】设xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为

（1）

（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。

1.4某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：

方案一：

在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；

方案二：

在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；

方案三：

在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过1.5万元；

方案四：

在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．

投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.

【解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数，变量表如下

项目一

项目二

项目三

项目四

第1年

第2年

第3年

x11

x21

x31

x12

x23

x34

数学模型为

最优解X=（30000，0，66000，0，109200，0）；

Z＝84720

1.5炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表1－26。

表1－26

成品油

高级汽油

一般汽油

航空煤油

一般煤油

半成品油

中石脑油

重整汽油

裂化汽油

轻油、裂化油、重油、残油

轻油、裂化油、重油、残油按10:

4:

3:

1调合而成

辛烷值

≥94

≥84

蒸汽压：

公斤／平方厘米

≤1

利润（元/桶）

5

4.2

半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表1－27。

表1－27

1中石脑油

2重整汽油

3裂化汽油

4轻油

5裂化油

6重油

7残油

80

115

105

1.0

0.6

0.05

每天供应数量（桶）

2000

1000

1500

问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。

解设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j（j=1,2,…,7）种半成品油的数量（桶）。

总利润：

高级汽油和一般汽油的辛烷值约束

航空煤油蒸气压约束

一般煤油比例约束

即

半成品油供应量约束

整理后得到

1.6图解下列线性规划并指出解的形式：

（1）

【解】最优解X＝（3，2）；

最优值Z=19

（2）

【解】有多重解。

最优解X

（1）＝（0，5/4）；

X

（2）＝（3，1/2）最优值Z=5

（3）

【解】最优解X＝（4，1）；

最优值Z=－10，有唯一最优解

（4）

【解】最优解X＝（2，3）；

最优值Z=26，有唯一最优解

（5）

【解】无界解。

（6）

【解】无可行解。

1.7将下列线性规划化为标准形式

（1）

【解】

（1）令

为松驰变量，则标准形式为

（2）

（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为

（3）

【解】方法1：

方法2：

令

则标准型为

【解】令

，线性规划模型变为

标准型为

1.8设线性规划

取基

分别指出

对应的基变量和非基变量，求出基本解，并说明

是不是可行基．

【解】B1：

x1、x3为基变量，x2、x4为非基变量,基本解为X=（15，0，10，0）T，B1是可行基。

x2、x4是基变量，x1、x3为非基变量，基本解X=（0，20，0，100）T，B2是可行基。

1.9分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点．

（1）

【解】图解法

单纯形法：

C（j）

b

Ratio

　C（i）

Basis　

X1

X2

X3

X4

-2

[1]

12

C（j）-Z（j）

M

[8]

-3

6

0.75

7

0.25

7/2

-0.375

0.125

3/4

-0.875

45/4

对应的顶点：

基可行解

可行域的顶点

X

（1）=（0，0，2，12）、

X

（2）=（0，2，0，6，）、

X（3）=（

、

（0，0）

（0，2）

最优解

-5

C（i）　

X5

[4]

[0.5]

-0.5

-0.25

-1.75

1.25

-12.5

-1

-1.5

3.5

-16

X

（1）=（0，0，6，10，4）、

X

（2）=（0，2.5，1，0，1.5，）、

X（3）=（2，2，0，0，0）

X（4）=（2，2，0，0，0）

（0，2.5）

（2，2）

最优解：

X=（2，2，0，0，0）；

最优值Z＝－16

该题是退化基本可行解，5个基本可行解对应4个极点。

1.10用单纯形法求解下列线性规划

【解】单纯形表：

R.H.S.

Ratio　

Basis

C（i）

[3]

4/3

3/2

[2/3]

1/3

4/3

-1/3

-2/3

-4/3

－16/3

1/2

-1/2

-3/2

-6

X=（2，0，0，0，1）；

最优值Z＝6

X6

X7

-7

30

20

9/2

-11/2

5/4

7/4

65

5/2

[1/2]

-1/4

1/4

17/2

-7/4

-5/4

32

15

11

120

8

-43

-23

-17

因为λ7＝3>

0并且ai7<

0（i=1,2,3），故原问题具有无界解，即无最优解。

-0.125

10/3

-1/8

11/2

-3/4

1/8

11/8

9

9/8

7/16

27/4

[11/16]

-3/32

0.181818

-9/16

37/4

X3进基、X2出基，得到另一个基本最优解。

-18/11

13/22

-5/11

72/11

8/11

2/11

1/11

34/11

16/11

-3/22

0.1818

原问题具有多重解。

基本最优解

最优解的通解可表示为

（4）

25

24

33/8

-5/8

3/8

-3/8

X=（3，0，0，10，0）；

最优值Z＝9

1.11分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划：

【解】大M法。

-M

-10

*BigM

3/5

1/5

-9

-11

最优解X＝（2,0,0）；

Z=20

两阶段法。

第一阶段：

[5]

第二阶段

X4　

0　

1　

最优解X=（2,0,0）；

S1

S2

A3

-3/5

-1/5

3　

31/5

32/5

-6/5

6/5

38

95/16

4/5

[8/5]

-53/5

-4/5

-8/5

15/4　

-4

5/8

23/2

53/8

第二阶段：

1.8

9/5

-2/5

7/5

18

因为X6>

0,原问题无可行解。

两阶段法