高中数学思想方法之分离变量法培优题库及详解高难度百题Word格式文档下载.docx
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与曲线：
存在公切线，则的取值范围为
25.设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，当时，不等式成立，则的最小值为
26.设函数（为非零实数），若有且仅有一个零点，则的取值范围为
27.若对任意的，均有成立，则称函数为函数到函数在区间上的“任性函数”．已知函数，，，且是到在区间上的“任性函数”，则实数的取值范围是
28.若命题“存在，使得成立”为假命题，则实数的取值范围为
29.已知函数，若对任意的自变量，恒有，则实数的取值范围是
30.已知函数，若对于任意的和任意的正数，使得成立，则实数的取值范围为
31.已知函数，若在区间上恒为单调函数，则实数的取值范围是
32.已知函数在上恒小于零，则实数的取值范围为
33.对于给定的正实数，函数的图象上总存在点，使得以为圆心、为半径的圆上有两个不同的点到原点的距离为，则实数的取值范围是
34.若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围为
35.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是
36.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
37.若对，，总有不等式成立，则实数的取值范围是
38.若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为
39.不等式对任意及任意恒成立，则实数的取值范围是
40.设实数，且满足，则使不等式恒成立的的最大值为
三、解答题（共60小题；
共780分）
41.设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若时，恒成立，求整数的最小值．
42.已知函数，．
（1）当时，求函数的值域；
（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
43.已知二次函数的最小值为，且．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上单调，求实数的取值范围；
（3）当时，图象恒在的图象上方，求的取值范围．
44.利用函数的性质（如单调性与奇偶性）来解不等式是我们常用方法，通过下列题组体会此方法的适用范围及应注意什么问题?
（1）已知函数，则不等式的解集为
（2）已知定义在上的奇函数在时满足，且在恒成立，则实数的最大值是
（3）已知函数，则不等式的解集是
45.已知函数．
（1）若，解关于的不等式；
（2）若对任意的都有，求的取值范围．
46.已知；
：
不等式恒成立．若是的必要条件，求实数的取值范围．
47.设函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
（3）过坐标原点作曲线的切线，证明：
切点的横坐标为．
48.已知等比数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和；
（3）设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．
49.已知等差数列的前项和为，等比数列的各项均为正数，公比为，且满足，，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，若数列是递增数列，求的取值范围．
50.已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
51.已知函数．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．
52.已知函数．
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若时，方程有实根，求实数的取值范围．
53.已知函数的图象与函数的图象关于点对称．
（2）若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围．
54.已知，为常数，且，，．
（1）若函数有唯一零点，求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
55.已知定义在上的函数．
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．
56.已知数列的前项和（），数列满足，．
（1）分别求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，求的取值范围．
57.设，．
（1）令，求的最小值；
（2）若任意且有恒成立，求实数的取值范围．
58.已知关于的不等式．
（1）当时，求该不等式的解集；
（2）当时，该不等式恒成立，求的取值范围．
59.已知函数，．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若至少存在一个使成立，求实数的取值范围；
（3）设且在时恒成立，求整数的最大值．
60.已知函数．
（1）若是增函数，求的取值范围；
（2）若，且恒成立，求最小值．
61.已知函数，．
（1）若曲线在处的切线为：
，求，的值；
（2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若有两个不同的极值点，且，记，求的最大值．
62.函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若，对任意的，总存在某个，使得成立，求实数的取值范围．
63.已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求使不等式恒成立的最大整数的值．
64.已知函数．
（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求函数的极值；
（2）设，若在上单调递减，求实数的取值范围，并分析方程在上实根的个数．
65.已知函数．
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，函数有零点，求实数的最大值．
66.已知函数．
（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（2）试讨论函数在区间内极值点的个数．
67.已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求的单调区间；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．
68.已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，有恒成立，求整数的最小值．
69.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．
（1）求的解析式及单调递减区间；
（2）是否存在常数，使得对于定义域内的任意，恒成立，若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由．
70.已知函数，，且直线和函数的图象相切．
（1）求实数的值；
（2）设，若不等式对任意恒成立（，为的导函数），求的最大值．
71.已知函数．
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）设的导函数的图象为曲线，曲线上的不同两点，所在直线的斜率为，求证：
当时，．
72.已知函数，直线为曲线的切线．
（2）用表示，中的较小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．
73.已知函数，在点处的切线方程为．
（2）求的单调区间；
（3）若函数在定义域内恒有成立，求的取值范围．
74.已知函数．
（1）若曲线在点处的切线斜率为，求函数的最大值；
（2）若不等式与在上均恒成立，求实数的取值范围．
75.已知函数，，且，，为自然对数的底数．
（1）求函数在上极值点的个数；
（2）令函数，若，函数在区间上均为增函数，求证：
76.已知函数．
（1）证明：
当时，；
（2）若函数有两个零点，（，），证明：
77.已知函数，，其中是的导函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
78.已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求的单调性；
（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围．
79.已知函数，，
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若对都有成立，试确定实数的取值范围．
80.已知函数（，且）．
（1）当，取一切非负实数时，若，求的范围；
（2）若函数存在极大值，求的最小值．
81.已知函数．
（1）试确定函数的零点个数；
（2）设，是函数的两个零点，当时，求的取值范围．
82.已知，函数的导数为．
（2）若函数存在极值，求的取值范围；
（3）若时，恒成立，求的最大值．
83.已知函数，．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，讨论函数单调性；
（3）是否存在实数，对任意的，且，有恒成立?
若存在，求出的取值范围；
若不存在，说明理由.
84.已知，函数（是自然对数的底数）．
（1）若函数在区间上是减函数，求的取值范围；
（2）若函数在区间内无零点，求的最大值．
85.已知函数．
（1）若在上是单调递减函数，求实数的取值范围；
（2）记，并设，是函数的两个极值点，若，求的最小值．
86.已知函数，．
（1）求函数在上的最小值；
（2）若存在使得成立，求实数的取值范围．
87.已知，函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，对任意的，不等式恒成立，求的最小值．
88.已知，函数．
89.已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．
（1）当时，求的最大值；
（2）设，，若时，恒成立，求实数的取值范围．
90.已知函数．
（1）若曲线在点处的切线过点，且时，有极值，求实数，的值；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
91.已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求在上的最大值；
（3）当有两个极值点，时，总有，求实数的值（为的导函数）．
92.已知函数．
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
93.已知函数，，．
（1）若函数在上为减函数，求的最小值；
（2）若函数（，为自然对数的底数），，对于任意的，恒有成立，求的范围．
94.已知，．
（1）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；
（2）在（Ⅰ）的条件下，求函数的图象在点处的切线方程；
（3）若不等式的解集为，且，求实数的取值范围．
95.已知函数．
（1）当时，求在的极大值；
（2）设，当有两个极值点时，总有，求此时实数的值（其中是的导函数）．
96.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．
（1）求的取值范围；
（2）记两个极值点为，，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．
97.已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知正实数满足：
存在使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.
98.已知函数．
（1）当时，求函数在上的最小值；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）若，不等式恒成立，求的取值范围．
99.设函数，．
（1）解方程：
；
（2）令，求的值；
（3）若是实数集上的奇函数，所以，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
100.已知函数，，其中．设．
（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；
（2）若时，函数有两个不同的零点，．
①求的取值范围；
②求证：
答案
第一部分
1.B【解析】对于①，若为真，则和可能为一真一假，所以不一定为真，故错误；
对于②，全称命题的否定为特称命题，故正确；
对于③应为既不充分也不必要条件，所以错误；
对于④，原不等式可转化为而最小值，所以若不等式无解，则，所以正确．
2.D【解析】不等式恒成立恒成立，其中，．
令
当且仅当时取等号．
所以，解得．
所以实数的最大值为．
3.C4.C【解析】当时，不等式可转化为.
令，则，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
此时有.
当时，不等式恒成立.
当时，，
令，
则，
故函数在上单调递增，此时有.
综上，.
5.D
【解析】因为
又，
所以，
所以．
所以，即．
6.A【解析】因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
因为在上恒成立，
设，
所以在上单调递减，
所以
7.A【解析】由题意知方程，
即在上有解，
设，则．
易知时，时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，，，
所以方程在上有解等价于，
所以的取值范围为．
8.C【解析】由成立，可得，
设，则存在，使得成立，即成立，即成立．
．又，
所以．当且仅当时取等号．
9.D【解析】，即是说方程组有解．
由得，得出；
因为，
所以当时，的最小值为，
当时，的最大值为．
10.A
【解析】根据题意，若函数（，是自然对数的底）与的图象上存在关于轴对称的点，
则方程在区间上有解，
，即方程在区间上有解，
设函数，其导数，
又由，在有唯一的极值点，
分析可得：
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
故函数有最小值，
又由，；
比较可得：
，
故函数有最大值，
故函数在区间上的值域为；
若方程在区间上有解，必有，则有，
即的取值范围是．
11.A【解析】由已知，得到方程在上有解，
设，求导得：
所以在有唯一的极值点，
因为，且知，
故方程在上有解等价于，
从而的取值范围为．
12.C【解析】因为，所以，，，不等式恒成立等价于恒成立．因为，，所以（当且仅当时等号成立），
则要使恒成立，只需使，故的最大值为．
13.D【解析】由，得，令，，所以．令，得．当时，；
当时，，所以在时有最小值，从而当时，，则在上是增函数，所以无极大值也无极小值．
14.B【解析】函数的导数，
所以函数在上递减，在上递增，，，．
若对任意的，都有成立，即当时，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，
令，则，，
当时，，即在上单调递减，
由于，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
15.A
【解析】由，即
得，
又，分别为偶函数、奇函数，所以
联立解得，，．
，即，也即，
即，
因为存在实数，当时，不等式成立，，
所以的最小值为．
16.A【解析】由，得
消去并整理，得，
即．
由，得，
从而，
解得，则．
由，得．
17.B【解析】因为，所以对任意恒成立，
因为，也就是对任意恒成立．
令，则，
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
因为，故整数的最大值是．
18.C【解析】因为，若，且对任意的恒成立，则对任意的恒成立．
令，则．
所以方程在上存在唯一实数根，且满足．
所以整数的最大值为．
19.A【解析】设，则问题转化为不等式恒成立．
又因为（当且仅当时取等号），
所以，即有在时恒成立，
记，则，
令，即，
因为，，所以，
所以在上单调递增，
又因为，即有的根为，
所以当时递增，当时递减，
所以当时，取得最小值，
所以，，
所以（当，时，取得最大值）．
20.A
【解析】，即，即．
令，则，令得，
所以在为减函数，在为增函数，
所以若存在唯一的整数使得，只需满足
第二部分
21.
【解析】因为对任意正实数，不等式恒成立，
所以等价于，
所以，，，
所以实数的最小值为．
22.
【解析】，由题意知，当时，恒成立，所以．
23.
【解析】因为恒成立，
所以恒成立，
令，，
当时，，递增；
当时，，递减；
故的最小值为，
24.．
【解析】由，得，由，得，曲线：
存在公共切线，
设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
则，
可得，
记，
当
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