半群与群Word格式文档下载.docx

半群与群Word格式文档下载.docx

《半群与群Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《半群与群Word格式文档下载.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

是半群（含幺半群），若S中存在一个元素g，可将S中任意元素a表示成a=gnnI+,（nN），则称<

是循环半群（循环含幺半群）,g就称为是它的生成元。

此时，常将<

记作<

g>

注意在含幺半群中，我们规定任意元素的零次幂为幺元。

例2－1.6<

=<

2>

是循环半群。

例2－1.7<

{i,-1,-i,1},×

i>

-i>

N4,+4>

I>

{1,2,3,4},×

5>

3>

都是循环含幺半群。

可见循环半群（循环含幺半群）的生成元不一定是唯一的，但它们一定是可交换的。

定理2－1.1两个半群（含幺半群）的积代数是半群（含幺半群）。

证明设<

T,>

是两个半群，其积代数为<

S×

对S×

T中任意三个元素<

s1,t1>

<

s2,t2>

s3,t3>

，因为（<

<

）<

（s1*s2）*s3,（t1t2）t3>

s1*（s2*s3）,t1（t2t3）>

s1*t1>

（<

）故<

是半群。

设<

是两个含幺半群，共中幺元分别为es和eT，则显然<

es,eT>

是半群<

的幺元,故<

T,*>

★

很明显，可交换半群（含幺半群）的积代数也是可交换的。

2－2子半群与子含幺半群

子含幺半群的概念是子代数系统概念在（含幺）半群这种代数系统中的具体体现。

定义2－2.1设<

是半群，T是S的非空子集，若T对*封闭，则称<

的子半群。

定义2－2.2设<

是含幺半群，T是S的非空子集，若T对*封闭，且eT，则称<

T,*.e>

是含幺半群<

的子含幺半群。

易知子半群必是半群；

子含幺半群必是含幺半群。

例2－2.1对任意正整数m，<

mN,>

N,>

例2－2.2设集合S={e,0,1}，若在S中规定二元运算*（见表2－2.1），

*e01

ee01

1000

2101

表2－2.1

则<

是含幺半群，从运算表可看出<

{0,1},*>

不是<

定理2－2.1设T是可交换含幺半群<

的等幂元构成的集合，则<

是<

证明因e2=e，故eT，即T非空。

又对T中任意元素a和b，因

（a*b）2=（a*b）*（a*b）=a*（b*a）*b=a*（a*b）*b=（a*a）*（b*b）=a2*b2=a*b

故a*bT。

这就证明了<

2－3半群与含幺半群的同态和同构

本节中，将把代数系统运用的同态与同构的概念应用于半群（含幺半群），有关定义与性质，几乎是代数系统部分的平行照搬。

定义2-3.1设U=<

和V=<

是两个半群。

若存在映射（满射，单射，双射）f:

S→T，对S中任意元素a和b，有

f（a*b）=f（a）f（b）

则称f是U到V的一个半群同态（满同态，单同态，同构）映射或简称同态（满同态，单同态，同构）。

特别U到U（上）的同态（同构）f称为U的自同态（自同构）。

定义2－3.2若半群U=<

到V=<

存在一个满同态（同构），则称U同态（同构）于V,记作U～V（UV）。

定义2－3.3设U=<

T,,eT>

是两个含幺半群。

ST，对S中任意元素a和b，有

f（a*b）=f（a）f（b）

f（es）=eT

则称f是U到V的一个含幺半群同态（满同态，单同态，同构）映射或简称同态（满同态，单同态，同构）。

定义2－3.4若含幺半群U=<

S,*,es>

存在一个满同态（同构），则称U同态（同构）于V，记作U～V（UV）。

例2－3.1我们已知例2－1.1中的U=<

是半群（也是含幺半群）。

易知N到S的映射

是半群U到V的同态。

但不是含幺半群U到V的同态。

例2－3.2对半群（含幺半群）U＝<

和V＝<

M4,+4>

N到M4的映射

f:

a〔a（mod4）〕

即是半群U到V的同态，也是含幺半群U到V的同态。

2－4群

对子群再附加一些性质就可成为群。

群是代数“系统中研究得比较完美的一类，目前已有许多群的专著。

在计算机科学中，群在快速加法器设计和纠错码理论等方面有广泛应用。

定义2－4.1每个元素都有逆元的含幺半群U＝<

G,*>

称为群。

若群还满足交换律，则称为交换群或阿贝尔群。

也就是说，设U=<

是代数系统，若满足：

1）对G中任意元素a,b和c，有

（a*b）*c=a*（b*c）

2）在G中存在元素e，对G中任意元素a，使

c*a=a*e=a

3）对G中任意元素a，在G中存在元素a-1，使

a-1*a=a*a-1=e

则称U=（G,*）为群。

若还满足

4）对G中任意元素a和b，有

a*b=b*a

则称U=<

为交换群或阿贝尔群。

由定义2－4.1，定理1－1.1和定理1－1.4知群中的幺元和每个元素的逆元都是唯一的。

且对群中任意元素a1,a2,…,am必有

由定理1－1.3知除单个元素构成的群外，群无零元。

还应注意，含幺半群中的等幂元不一定是唯一的，但群中的等幂元却一定是唯一的，即只有幺元一个。

例2－4.1<

I,+>

Q,+>

R,+>

C,+>

Q*,×

R*,×

C*,×

都是交换群。

例2－4.2<

R[x],+>

都是交换群，其中R[x]表示所有实系数多项式的集合。

显然，由定义2－4.1知，给空集合G，和其上的二元运算A，<

能构成群的判定过程如下：

（1）验证*运算的封闭性

（2）验证*运算的可结合性

（3）验证题eG,xG有e*x=x*e=x

（4）验证xG,x-1G使x*x-1=x-1*x=e

上述四个步骤中至少一个步骤的验证不成立,<

都不是群。

定理2－4.1半群<

是群的充要条件为存在左（右）幺元e1（er），且每个元素对此左（右）幺元具有左（右）逆元。

证明必要性是很明显的。

充分性，只证“左”的情况（“右”的情况完全类似），对G中任意元素a，设其左逆元为则因在此式两边左“乘”的左逆元，可得即也是a的右逆元。

又因

即e1也是右幺元。

故由定理1-1.1和定理1-1.4知e1=e，

可见<

是群。

这个定理说明群定义中的条件可以削弱。

定理2－4.2代数系统<

是群的充要条件为

1）对G中任意元素a,b和c，有

（a*b）*c=a*（b*c）

2）对G中任意元素a和b，方程a*x=b和y*a=b都有解。

证明必要怀是很明显的。

实际上，x=a-1*b和y=b*a-1就是2）中方

程的（唯一）解。

充分性：

对G中任意元素a和b，设方程b*x=a的解为d，方程y*b=b

的解为e，则有e*a=e*（b*d）=（e*b）*d=b*d=a，即e是左幺元。

又方程y*a=e的解是a的左逆元。

故由定理2－4.1知<

定理2－4.3若<

是群，则对*满足消去律。

证明设a*b=a*c或b*a=c*a，则在等式两边左“乘”或右“乘”a-

1即得b=c。

定理2－4.4有限半群<

是群的充要条件为对*满足消去律。

证明必要性由定理2－4.3即得。

由于有限半群<

满足消去律，可见其运算表中的每行（列）

都是G中元素的不同排列，故对G中任意元素a和b，方程a*x=b和y*a=b都有解。

由定理2-4.2即知<

我们知道，在半群（含幺半群）中可定义元素的正整数（非负整数）

次幂的概念，且相应的指数律成立。

而在群中则可定义元素的整数次幂的概念。

定义2－4.2设<

是幺元为e的群，则对G中任意元素a和任意

正整数m，可规定

a0=e

利用数学归纳法，易证对群中任意元素的整数次幂，其指数律也成立。

定义2－4.3设<

是群，其幺元为e，则称

为群<

的阶。

而称

为群<

中元素a的阶。

定义2－4.4n阶有限集合S={a1,a2,…,an}到S的双射P称为S的n次置换，常记作

其中P（ak）=aik,k=1,2,…，n。

置换中列的次序显然无关紧要。

置换中两行逆序的和若是偶（奇）数，则称这种置换为偶（奇）置换。

对n次置换Pi和Pj，规定Pi◇Pj=Pj○Pi，其中○是映射的合成。

如设

则

Pi◇Pj=

可以证明

偶置换◇偶置换=偶置换

偶置换◇奇置换=奇置换

奇置换◇偶置换=奇置换

奇置换◇奇置换=偶置换

对二元运算◇，我们将某些n次置换的集合构成的群称为n次置换群。

特别，将所有n次置换的集合（其元素共n!

个）构成的群称为n次对称群，记作<

Sn,◇>

;

将所有n次偶置换的集合（其元素共个）构成的群称为n次交代群，记作<

An,◇>

，这两个结论请读者自行证之。

例2－4.3设S={1,2,3}，则所有3次置换为

运算表为

◇P1P2P3P4P5P6

P1P1P2P3P4P5P6

P2P2P1P5P6P3P4

P3P3P6P1P5P4P2

P4P4P5P6P1P2P3

P5P5P4P2P3P6P1

P6P6P3P4P2P1P5

表2－4.1

{P1,P2},◇>

{P1,P3},◇>

{P1,P4},◇>

等都是3次置换群。

S3,◇>

是3次对称群，其中S3={P1,P2,P3,P4,P5,P6}。

A3,◇>

是3次交代群，其中A3={P1,P5,P6}。

定义2－4.5设<

是群，若G中存在一个元素g，可将G中任意元素a表示成a=gn，nI，则称<

是循环群，g就称为是它的生成元，此时，常将<

定理2－4.5设<

是循环群。

1）若G=n，则G={g0,g1,g2,…,gn-1}。

2）若G=∞，则G={…,g-2,g-1,g0,g1,g2,…}。

证明对于1），有

a）g1,g2,…,gn-1都不等幺元e：

用反证法。

若gm=e,0﹤m﹤n,则对于G中

任意元素gk。

可设k=qm+r0﹤r﹤m，故必有

gk=gqm+r=（gm）q*gr=eq*gr=gr

可见G中至多有m个元素，这与|G|=n矛盾。

b）g1,g2,…,gn-1,gn都互不相等；

用反证法。

若gi=gj1﹤i﹤j﹤n，则有gj-i=e0﹤j-i﹤n，这与a）的结论矛盾。

故由a）,b）的结论和|G|=n，得gn=g0=e，即1）的结论成立。

对于2），显然…g-2,g-1,g0,g1,g2,…也都互不相等，因而2）的结论成立。

可见n阶有限循环群生成元的阶为n，而无限循环群生成元的阶为∞。

定理2－4.6两个群的积代数是群。

H,>

是两个群，其幺元分别为eG和eH，其积代数为<

G×

，由定理2－1.1知<

是含幺半群，其幺元为<

eG,eH>

又G×

H中任意元素<

g,h>

有逆元<

g-1,h-1>

，故<

实际上，可以定义两个以上群的积代数，产生更高阶的群的积代数，本文从略。

2－5子群与陪集

子群在群论中的地位，与子半群机子含幺半群在半群中的地位相似。

定义2－5.1设<

是群，e是其幺元，S是G的非空子集，若对S中任意元素a和b，有

1）a*bS

2）a-1S

3）eS

则称<

是群<

的子群。

可见子群必是群，且其幺元与原群幺元一致。

{e},*>

都是群<

的子群，这种子群常称为平凡子群。

非平凡子群称为真子群。

设a是群<

中的任意元素，H={ai|iI}，则<

H,*>

也是群<

的一个子群，称为由元素a生成的子群。

还应注意，定义2－5.1中的条件3）实际上是多余的。

这是因为S是非空集合，故必存在元素d，从而由条件1）和2）可得出e=d*d-1S。

例2－5.1<

Q+,×

不是群<

的子群，因为它们的二元运算不同。

例2－5.2<

I*,×

例2－5.3<

2I,+>

例2－5.4在例2－4.4中，<

A3,◇>

都是3次对称群<

定理2－5.1设<

是群，S是G的非空子集，则<

是子群的充要条件为对S中任意元素a和b，有a*b-1S。

证明必要性是很明显的。

充分性：

设群<

中的幺元为e，因为S是非空集合，故必存在元素d，从而e=d*d-1S，由此对S中任意元素a和b有a-1=e*a-1S，由此又有a*b=a*（b-1）-1S。

根据定义2-5.1即知<

这个定理是判断群的非空子集是否构成子群的一个方法。

定理2－5.2循环群的子群必为循环群。

是循环群，<

是其子群，则必存在最小正整数m使gmH。

对H中任意元素gk，令k=gm+r0﹤r﹤m，就有gr=gk-qm=gk*（gm）-qH，从而r=0，故gk=（gm）q，即<

gm>

定义2－5.2设<

对G中任意元素a和b，在G中定义二元关系：

L

a≡b（modH）b-1*a∈H

R

（a≡b（modH）a*b-1∈H）

称为群<

对子群<

的左（右）陪集关系或简称模H的左（右）陪集关系。

我们证明模H的左（右）陪集关系是G中的等价关系。

1）对G中任意元素a，因a-1*a=e，故a≡a（modH）；

2）对G中任意元素a和b，若a≡b（modH），则b-1*a∈H，从而a-1*b=（b-1*a）-1

∈H，故b≡a（modH）；

3）对G中任意元素a,b和c，若a≡b（modH），b≡c（modH）,则b-1*a∈

H，c-1*b∈H，从而c-1*a=（c-1*b）*（b-1*a）∈H，故。

a≡c（modH）

由1），2）和3）知模H的左陪集关系是G中的等价关系。

同理可证模H的右陪集关系也是G中的等价关系。

这样一来，模H的左（右）陪集关系将G划分成一些等价类：

〔a〕={x|x∈G,x≡a（modH）}={x|x∈G,a-1*x∈H}

={a*h|h∈H}=aH

等价类aH（Ha）称为代表元素为a的群<

关于子群<

的左（右）陪集或简称子群<

的左（右）陪集。

由集合中等价类的性质知任意两个左（右）陪集或相等或者其交为空集。

当然，一般来说aH≠Ha。

但对任意两个左陪集aH和bH，均有|aH|=|bH|=|H|，对任意两个右陪集也一样。

设所有左（右）陪集构成的集为S1（Sr），则也有|Sl|=|Sr|。

例2－5.5设集合H={〔0〕,〔2〕}，则<

H,+4>

是交换群<

的子群，<

的左、右陪集为

[1]H=[2]H=H[0]=H[2]={[0],[2]}

[2]H=[3]H=H[1]=H[3]={[1],[3]}

例2－5.6设集合H={P1,P2}，则<

H,◇>

是3次对称群<

S3,◇>

的子群,<

H,◇>

的左陪集为

P1H=P2H={P1,P2}

P3H=P6H={P3,P6}

P4H=P5H={P4,P5}

而右陪集为

HP1=HP2={P1,P2}

HP3=HP5={P3,P5}

HP4=HP6={P4,P6}

可见P3H≠HP3,P4H≠HP4,即H的左陪集不同于它的右陪集。

定理2－5.3（拉格朗日Lagrange）有限群的子群的阶必能整除该群的阶。

证明设<

是n阶有限群<

的m阶子群,<

的左陪集个数为K。

因n=km,故m|n。

推论1素数阶的群只有平凡子群。

推论2对n阶有限群<

中的任意元素a，必有an=e,e是群<

中的幺元。

是由a生成的m阶循环子群，则am=e，再由定理2－5.3知m|n，即n=km，故an=（am）k=ek=e。

定义2－5.3设<

的子群，若对G中任意元素a，有aH=Ha，则称<

为正规子群或不变子群。

当<

的正规子群时，其左陪集或右陪集可称为陪集。

模H的左陪集关系≡或右陪集关系≡可称为模H的陪集关系，记作≡。

交换群的每个子群当然都是正规子群。

但应注意，aH=Ha并不意味着对H中任意元素h均有a*h=h*a，而是对h，在H中必存在元素h1和h2，使a*h=h1*a和a*h2=h*a成立。

定理2－5.4设<

的子群，则<

是正规子群的充要条件为对G中的任意元素a和H中任意元素h，有a-1*h*a∈H。

证明必要性：

因h*a∈Ha=aH，故H中存在元素hˊ，使h*a=a*hˊ，从而a-1*h*a=hˊ∈H。

充分性：

设h1*a是Ha中的任意元素，由所给条件知a-1*h1*a=h2∈H，故h1*a=a*h2∈aH，即HaaH。

同理可证aHHa。

从而aH=Ha，即<

是正规子群。

由定理2－5.1和定理2－5.4可得下面定理。

定理2－5.5设<

是群，H是G中的非空子集，则<

是正规子群的充要条件为对H是任意元素h,h1和G中任意元素a，有且a-1*h*a∈H。

这个定理是判断群的非空子集是否构成正规子群的一个方法。

如例2－5.4中的子群，只有3次交代群<

的正规子群。

例2－5.7对任意正整数m，<

mI,+>

的正规子群，且其所有陪集恰好就是集合Mm={〔0〕,〔1〕,…,〔m-1〕}的所有元素。

我们证明，若<

的正规子群，则模H的陪集关系≡是同余关系。

前面已经知道≡是等价关系。

又若a≡p（modH），b≡q（modH），即p-1*a=h1∈H，q-1*b=h2∈H,则由<

是正规子群，在H中必存在元素h3，使h1*b=b*h3，从而（p*q）-1*（a*b）=（q-1*p-1）*（a*b）=q-1*（p-1*a）*b=q-1*h1*b=q-1*b*h3=h2*h3∈H，故a*b≡p*q（modH）。

这就证明了≡是同余关系。

定义2－5.4设<

的正规子群，因为模H的陪集关系≡是同余关系，故可在商集G/≡（常记作G/H）中规定相应的运算*ˊ。

（aH）*ˊ（bH）=（a*b）H

从而<

G/H,*ˊ>

是群，称为群<

关于正规子群<

的商群。

例2－5.83次对称群<

关于3次交代群<

的商群为<

S3/A3,◇ˊ>

，其中

S3/A3={A3,B3}

A3={P1,P5,P6}

B3={P2,P3,P4}

◇ˊA3B3

A3A3B3

B3B3A3

表2－5.1

2－6群的同态与同构

将代数系统同态与同构的概念应用到群，便可得出群的同态与同构的定义。

定义2－6.1设U=<

是两个群。

G→H，对G中任意元素a和b，有

则称f是U到V的一个群同态（满同态，单同态，同构）映射或简称同态（满同态，单同态，同构）。

设eG和eH分别是群U=<

的幺元，f是U到V的同态，因群中唯一的等幂元是幺元，故由f（eG）f（eG）=f（eG*eG）=f（eG），可得f（eG）=eH。

因f（a-1）f（a）=f（a-1*a）=f（eG）=eH，同理f（a）（a-1）=eH，可得f（a-1）=（f（a））-1。

定义2－6.2若群U=<

到<

例2－6.1f（a）=2不是群<

的同态。

例2－6.2f（<

a,b>

）=a+2b是群到<

的满同态，故

例2－6.3群<

G,>

，其中G={1,-1,i,-i}且i2=-1,<

的运算表如下：

1-1i-i

11-1i-i

-1-11-ii

ii-i-11

-i-ii1-1

表2－6.1

定义双射

f:

[0]→1

[1]→i

[2]→-1

[3]→-i

例2－6.4f（a）=|a|不是群<

的自同态，但却是群<

R*