高考数学复习解决方案 真题与单元卷重组 十三解析几何试题文 含答案.docx

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高考数学复习解决方案真题与单元卷重组十三解析几何试题文含答案

重组十三　解析几何

　　测试时间：

120分钟　　　满分：

150分

第Ⅰ卷　（选择题，共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）

1．[2016·太原模拟]已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C．x2－＝1D.－y2＝1

答案　C

解析　∵双曲线－＝1（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（2,0），

∴c＝2，焦点在x轴上，∵渐近线方程是y＝x，

∴＝.

令b＝m（m>0），则a＝m，

∴c＝＝2m＝2，∴m＝1.

∴a＝1，b＝，∴双曲线方程为x2－＝1，故选C.

2．[2016·唐山一模]A（，1）为抛物线x2＝2py（p>0）上一点，则A到其焦点F的距离为（　　）

A.B.＋

C．2D.＋1

答案　A

解析　把A（，1）代入抛物线中，解得p＝1，则抛物线的准线方程为y＝－，所以由抛物线的定义得|AF|＝1－＝，故选A.

3．[2016·北京东城期末]已知三点P（5,2），F1（－6,0），F2（6,0），那么以F1，F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（　　）

A．3B．6

C．9D．12

答案　B

解析　因为点P（5,2）在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a且|PF2|＝，|PF1|＝5，所以2a＝6，a＝3，c＝6，b2＝9，b＝3,2b＝6，故选B.

4．[2016·天津高考]已知双曲线－＝1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

答案　D

解析　根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4，得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，选D.

5．[2016·安徽十校联考]已知l是双曲线C：

－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＝0，则P到x轴的距离为（　　）

A.B.

C．2D.

答案　C

解析　F1（－，0），F2（，0），不妨设l的方程为y＝x，设P（x0，x0），由·＝（－－x0，－x0）·（－x0，－x0）＝3x－6＝0，得x0＝±，故P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.

6．[2017·湖南长沙模拟]平面直角坐标系xOy中，动点P到圆（x－2）2＋y2＝1上的点的最小距离与其到直线x＝－1的距离相等，则P点的轨迹方程是（　　）

A．y2＝8xB．x2＝8y

C．y2＝4xD．x2＝4y

答案　A

解析　设圆心为C，动点P到直线的距离为d，根据题意得|PC|－1＝d，可得|PC|＝d＋1，即动点P到圆（x－2）2＋y2＝1上的点的最小距离与其到直线x＝－2的距离相等，根据抛物线的定义，动点P的轨迹为以（2,0）为焦点，以x＝－2为准线的抛物线，设方程为y2＝2px，则＝2，p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，选A.

7．[2016·广州综合测试]如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：

y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝（　　）

A．n＋10B．n＋20

C．2n＋10D．2n＋20

答案　A

解析　由题可知抛物线的焦点为（1,0），准线为x＝－1，由抛物线的定义，可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，故|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝n＋10，故选A.

8．[2016·浙江高考]已知椭圆C1：

＋y2＝1（m>1）与双曲线C2：

－y2＝1（n>0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（　　）

A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1

C．m1D．m

答案　A

解析　由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，则m2－n2＝2，故m>n，又（e1e2）2＝·＝·＝＝1＋>1，所以e1e2>1.故选A.

9．[2017·河省开封月考]双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1（－c,0），F2（c,0），M，N两点分别在双曲线C的左右两支上，且MN∥F1F2，|F1F2|＝4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|＝|QN|，则双曲线C的离心率为（　　）

A．2B.

C.D.

答案　D

解析　由于MN∥F1F2，|F1F2|＝4|MN|，则|MN|＝，设N，又F1（－c,0），且|F1Q|＝|QN|，则Q，点N，Q在双曲线上满足方程，有－＝1，－＝1，消去y得e2＝6，则e＝，选D.

10．[2017·重庆模拟]已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0），点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN＝∠NMF＋90°，则椭圆C的离心率是（　　）

A.B.

C.D.

答案　A

解析　依题意有MN＝，MF＝a－c，NF＝a，由于∠MFN＝∠NMF＋90°，所以sin∠MFN＝sin（∠NMF＋90°）＝cos∠NMF，即＝，解得＝，所以离心率e＝＝.

11．[2016·甘肃诊断]已知抛物线C：

y2＝16x，焦点为F，直线l：

x＝－1，点A∈l，线段AF与抛物线C的一个交点为B，若＝5，则||＝（　　）

A．6B．35

C．4D．40

答案　B

解析　过B作BE⊥l于E，设l与x轴的交点为D，则＝，∵＝5，∴＝＝＝，∴||＝4，又||＝||＋3＝7，所以||＝5||＝35.故选B.

12．[2017·重庆南开中学测试]已知抛物线C1：

y＝x2（p>0）的焦点与双曲线C2：

－y2＝1的右焦点的连线交C1于点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　由题意知，抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为（2,0），所以上述两点连线的方程为＋＝1.易知双曲线的渐近线方程为y＝±x.对于函数y＝x2求导，得y′＝x.设M（x0，y0），则x0＝，即x0＝p，代入抛物线方程得y0＝p，即M.

由于点M在直线＋＝1上，所以p＋×＝1，解得p＝＝.故选C.

第Ⅱ卷　（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．[2016·邯郸高三测试]已知F1，F2为＋＝1的左、右焦点，M为椭圆上一点，则△MF1F2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M恰好有两个，则a2＝________.

答案　25

解析　由题意得内切圆的半径等于，因此△MF1F2的面积为××（2a＋2c）＝，即＝×|yM|×2c，因为满足条件的点M恰好有两个，所以M为椭圆短轴端点，即|yM|＝4，所以3a＝5c，而a2－c2＝16，所以a2＝25.

14．[2016·沈阳教学质检]已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°（O为坐标原点）时，|PF|＝________.

答案　

解析　解法一：

令l与y轴交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，BF＝2，所以AB＝，若P（x0，y0）（x0>0），则x0＝，代入x2＝4y中，则y0＝，而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝，故答案为.

解法二：

（几何法）如图所示，∠AFO＝30°，∴∠PAF＝30°，

又∵|PA|＝|PF|，∴△APF为顶角∠APF＝120°的等腰三角形，

而|AF|＝＝，

∴|PF|＝＝，故答案为.

15．[2016·贵阳市监测]在平面直角坐标系中，已知点P（3,0）在圆C：

（x－m）2＋（y－2）2＝40内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是________．

答案　－3

解析　由圆的方程知，圆心C（m,2），半径r＝2，所以S△ABC＝r2sin∠ACB＝20sin∠ACB，所以当∠ACB＝时，S△ABC取得最大值20，此时△ABC为等腰直角三角形，|AB|＝r＝4，则点C到AB的距离为2，所以2≤|PC|<2，即2≤<2，解得－3

16．[2017·海南海口模拟]已知F是双曲线C：

x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A（0,6），当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．

答案　12

解析　设双曲线的左焦点为F1，由双曲线定义知，|PF|＝2a＋|PF1|，

∴△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2a＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋2a，

由于2a＋|AF|是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|＋|PF1|最小，即P、A、F1共线，

∵A（0,6），F1（－3,0），

∴直线AF1的方程为＋＝1，即x＝－3，代入x2－＝1整理得

y2＋6y－96＝0，解得y＝2或y＝－8（舍），所以P点的纵坐标为2，

∴S△APF＝S△AFF1－S△PFF1＝×6×6－×6×2＝12.

三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．[2017·山西怀仁质检]（本小题满分10分）已知椭圆C：

x2＋2y2＝4.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

解　

（1）由题意可得，椭圆C的标准方程为＋＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝4－2＝2，故a＝2，c＝，故椭圆C的离心率为.（4分）

（2）设点A，B的坐标分别为（t,2），（x0，y0），其中x0≠0.

因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，所以

|AB|2＝（x0－t）2＋（y0－2）2＝2＋（y0－2）2

＝x＋y＋＋4

＝x＋＋＋4

＝＋＋4（0

因为＋≥4（0

当x＝4时等号成立，

所以|AB|2≥8.

故线段AB长度的最小值为2.（10分）

18．[2016·全国卷Ⅰ]（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，直线l：

y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：

y2＝2px（p>0）于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.

（1）求；

（2）除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？

说明理由．

解　

（1）由已知得M（0，t），P.

又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝，因此H，

所以N为OH的中点，即＝2.（6分）

（2）直线MH与C除H以外没有其他公共点．

理由如下：

直线MH的方程为y－t＝x，

即x＝（y－t），代入y2＝2px，得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．（12分）

19．[2017·广东惠州模拟]（本小题满分12分）已知点A（1,0），点P是圆C：

（x＋1）2＋y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E.

（1）求点E的轨迹方程；

（2）若直线y＝kx＋m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

解　

（1）由题意知：

|EP|＝|EA|