又所以2≤x≤8，②
由①②及x∈N*，得x＝8.
二、排队问题
命题角度1 “相邻”与“不相邻”问题
例2－1 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）男、女各站在一起；
（2）男生必须排在一起；
（3）男生不能排在一起；
（4）男生互不相邻，且女生也互不相邻．
解
（1）（相邻问题捆绑法）男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，
女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288（种）排法．
（2）（捆绑法）把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有A·A＝720（种）不同的排法．
（3）（不相邻问题插空法）先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有A·A＝1440（种）不同的排法．
（4）先排男生有A种排法，让女生插空，有AA＝144（种）不同的排法．
命题角度2 定序问题
例2－2 7人站成一排．
（1）甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？
（2）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方法？
解
（1）甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有＝2520（种）不同的排法．
（2）甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.
故有＝840（种）不同的排法．
命题角度3 元素的“在”与“不在”问题
例2－3 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
（1）甲不在首位的排法有多少种？
（2）甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
（3）甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
（4）甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
解
（1）方法一 把元素作为研究对象．
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法．
第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法．
由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2160（种）排法．
方法二 把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法．
由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2160（种）排法．
方法三 （间接法）先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．
不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2160（种）．
（2）把位置作为研究对象，先考虑特殊位置．
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1800（种）方法．
（3）把位置作为研究对象．
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1200（种）方法．
（4）间接法．
总的可能情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1860（种）排法．
反思感悟 排队问题的解题策略
排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．
（1）对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．
（2）对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中．
（3）对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．
（4）对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决．
跟踪训练2 三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
解
（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A种不同的排法．因此共有A·A＝4320（种）不同的排法．
（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A种排法，因此共有A·A＝14400（种）不同的排法．
（3）方法一 （位置分析法）因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14400（种）不同的排法．
方法二 （间接法）三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14400（种）不同的排法．
方法三 （元素分析法）从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14400（种）不同的排法．
（4）方法一 （位置分析法）因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A·A种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A·A·A种不同的排法，因此共有A·A＋A·A·A＝36000（种）不同的排法．
方法二 （间接法）三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法A·A种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A－A·A＝36000（种）不同的排法．
1．A等于（ ）
A．9×3B．93
C．9×8×7D．9×8×7×6×5×4×3
答案 C
2．89×90×91×92×…×100可表示为（ ）
A．AB．AC．AD．A
答案 C
解析 89×90×91×92×…×100＝＝＝A.
3．3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．144B．72C．36D．12
答案 A
解析 先将老师排好，有A种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有A种排法，故共有AA＝144（种）排法．
4.＝________.
答案 36
解析 ＝＝36.
5．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
答案 210
解析 若1,3,5,7的顺序不定，则4个数字有A＝24（种）排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×A＝210（个）七位数符合条件．
1．知识清单：
（1）排列数、排列数公式．
（2）全排列、阶乘、0！
＝1.
（3）排列数的应用：
排队问题（相邻、不相邻、定序等问题）．
2．方法归纳：
直接法、优先法、捆绑法、插空法、除阶乘法、间接法．
3．常见误区：
忽视A中“n，m∈N*”这个条件．
1．设m∈N*，且m<15，则A等于（ ）
A．（20－m）（21－m）（22－m）（23－m）（24－m）（25－m）
B．（20－m）（19－m）（18－m）（17－m）（16－m）
C．（20－m）（19－m）（18－m）（17－m）（16－m）（15－m）
D．（19－m）（18－m）（17－m）（16－m）（15－m）
答案 C
解析 A是指从20－m开始依次小1的连续的6个数相乘，即（20－m）（19－m）（18－m）（17－m）（16－m）·（15－m）．
2．已知A－A＝10，则n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案 B
解析 由A－A＝10，得（n＋1）n－n（n－1）＝10，解得n＝5.
3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有（ ）
A．A种B．A种
C．AA种D．2A种
答案 C
解析 司机、售票员各有A种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有AA种不同的分配方法．
4．要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1
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