基于LQR的一级倒立摆设计Word文档下载推荐.docx
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课程设计要求：
熟悉倒立摆实际控制系统；
对倒立摆系统建模；
进行控制算法设计；
进行系统调试和分析；
利用MATLAB高级语言编程，实现倒立摆稳定控制；
实时输出波形，得出结论。
一.线性二次最优控制LQR基本理论
LQR控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。
它的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。
线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。
线性二次最优控制LQR基本原理为，由系统方程：
确定下列最佳控制向量的矩阵K：
使得性能指标达到最小值：
式中：
Q为正定（或正半定）厄米特或实对称阵
R为正定厄米特或实对称阵
下面是最优控制LQR控制原理图：
图1LQR控制原理图
方程右端第二项是是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。
并且假设控制向量u（t）是无约束的。
对线性系统：
根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反馈矩阵K的值。
改变矩阵Q的值，可以得到不同的响应效果，Q值越大（在一定范围之内），系统抵抗干扰的的能力越强，调整时间越短。
但是Q不能过大。
二.建立模型及分析
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：
图2直线一级倒立摆建模
其中：
M小车质量
m摆杆质量
b小车摩擦系数
l摆杆转动轴心到杆质心的长度
I摆杆惯量
F加在小车上的力
x小车位置
φ摆杆与垂直向上方向的夹角
θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：
倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设
，
为足够小的角度，即可近似处理得：
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个方程如下：
取状态变量：
即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。
则系统的状态方程为：
将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程：
这里设：
将参数带入有：
四个状态量
分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出
包括小车位置和摆杆角度。
设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。
假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K,用MATLAB中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。
lqr函数允许选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。
2.稳定性分析
对建模后的一级倒立摆系统进行阶跃响应分析，小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线如下图所示：
图3小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线
由图可以看出，小车位移和摆杆角度都是发散的，所以倒立摆系统不稳定。
2．倒立摆能控性能分析
系统能控性是控制器设计的前提，由能控性矩阵M，利用MATLAB可得出Rank（M）=4,所以系统完全可控。
三．软件编程
程序如下：
clear;
A=[0100;
0000;
0001;
0029.40];
B=[0103]'
;
C=[1000;
0010];
D=[00]'
Q11=5000;
Q33=100;
Q=[Q11000;
00Q330;
0000];
R=1;
K=lqr（A,B,Q,R）%算K
Ac=[（A-B*K）];
Bc=[B];
Cc=[C];
Dc=[D];
T=0:
0.005:
5;
U=ones（size（T））;
%输入单位矩阵
[Y,X]=lsim（Ac,Bc,Cc,Dc,U,T）;
%输出响应
plot（T,X（:
1）,'
:
'
）;
holdon;
2）,'
-.'
3）,'
.'
4）,'
-'
）
legend（'
小车位移'
'
小车速度'
摆杆角度'
摆杆角速度'
运行程序可得K的值。
四.系统调试和结果分析
根据方案设计结果，取Q11=1，Q33=1时，可得K=[-1-1.785525.4224.6849]。
此时系统的响应曲线如下图：
图3系统的响应曲线
从图中可以看出，响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，小车的位置没有跟踪输入，而是反方向移动。
当缩短稳定时间和上升时间，可以发现：
在Q矩阵中，增加Q11使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。
这里取Q11=5000，Q33=100，可得K=[-70.7107-38.1782110.804920.3521],系统响应曲线如下：
图4系统的响应曲线
综上,通过增大Q矩阵中的Q11和Q33，系统的稳定时间和上升时间变短，超调量和摆杆的角度变化也同时减小。
五.系统仿真
在SIMULINK中建立直线一级倒立摆的模型如下图所示：
图5simulink模拟结构图
输入Q11=1，Q33=1时，得到的K=[-1-1.785525.4224.6849]，执行仿真得到如下仿真结果：
图6小车位移仿真曲线
图7摆杆角度仿真曲线
输入Q11=5000，Q33=100时，得到的K=[-70.7107-38.1782110.804920.3521],执行仿真得到如下仿真结果：
图8小车位移仿真曲线
图9摆杆角度仿真曲线
从图中可以发现，Q矩阵中，增加Q11使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小,增大Q11和Q33系统响应明显加快，但是对于实际离散控制系统，过大的控制量会引起系统震荡。
六.结论及进一步设想
建立了一级倒立摆的数学模型，并设计了LQR控制器，用MATLAB实现了控制系统的仿真，得到了一级倒立摆各状态量及控制量的响应曲线。
由实验结果可以看到，本次课设完成了要求，达到了目的。
当然由于知识有限设计还有一些缺陷。
参考文献
[1]邹伯敏.自动控制理论[M].北京:
机械工业出版社，2003年
[2]刘豹.现代控制理论[M].北京:
机械工业出版社，2007年
[3]王仲民,孙建军,岳宏.基于LQR的倒立摆最优控制系统研究[J].工业仪表与自动化装置.2005年,3（6）:
28～32。
[4]吴晓燕,张双选.MATLAB在自动控制中的应用[M].西安：
西安电子科技大学出版社,2006年。
[5]王士莹,张峰,陈志勇,赵协广.直线一级倒立摆的LQR控制器设计[J].信息技术.2006年,35（6）:
98～99。
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