传送系统的效率问题Word格式文档下载.docx
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第一部分问题重述……………………………………（3）
第二部分模型假设……………………………………（4）
第三部分分析与建立模型………………………………（5）
第四部分模型求解……………………………………（6）
第五部分模型检验……………………………………（8）
第六部分模型推广……………………………………（9）
第七部分参考文献……………………………………（11）
第八部分附录…………………………………………（12）
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一．问题重述
在机械化生产车间里，排列整齐的工作台旁，工人们紧张的生产同一种产品，工作台上放一条传送带在运转，带上设置若干钩子，工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走。
当生产进入稳定状态后，每个工人生产一件产品所需时间是不变的，而他挂产品的时刻是随机的。
衡量这种传送系统的效率可以看它能否及时地把工人们生产的产品带走，即一定时间内带走产品数的多少。
要求构造衡量传送系统效率的指标。
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二．模型假设
1.有n个工人，其生产是相互独立的，生产周期是常数（即生产一件产品所用时间为定值），n个工作台均匀排列。
2.生产已进入稳态，即每个工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能性的。
且在一个周期内n个工人生产的产品总数为n件
3.在一周期内有m个钩子通过每一工作台上方，钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的。
4.每个工人在任何时刻都能触到一只钩子，且只能触到一只钩子。
在他生产出一件产品时，如果他能触到的钩子是空的，则可以将产品挂上带走；
如果触到的钩子非空，则他只能将产品放下，此产品就退出这个传送系统。
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三．分析与建立模型
（一）模型分析：
工人们的生产周期虽然相同，但是由于各种随机因素的干扰，经过相当长时间后，他们生产完一件产品的时刻就不会一直，可以认为是随机的，并且在一个生产周期内任一时刻的可能性是一样的。
由上分析，传送系统长期运转的效率等价于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品数与一周期内生产的全部产品数之比来描述。
（二）模型建立：
将传送系统效率定义为一周期内带走的产品数与生产的全部产品数之比，记作D.设带走的产品数为s，生产的全部产品数显然为n，于是
.只需要求出n即可。
如果从工人的角度考虑，分析每个工人能将自己的产品挂上钩子的概率，那么这个概率显然与工人所在的位置有关（如第一个工人一定可以挂上），这样就使问题复杂化。
我们从钩子的角度考虑，在稳态下钩子没有次序，处于同等的地位。
若能对一个周期内的m只钩子求出每只钩子非空（即挂上产品）的概率p，则s=mp.
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4．模型求解
得到p的步骤如下：
（均对一周期内而言）
任一只钩子被某一名工人触到的概率为
任一只钩子不被某一名工人触到的概率为
由于每一只钩子间相互独立，故：
任一只钩子不被所有工人触到的概率为
，即为空钩的概率
所以任一只钩子非空的概率为：
p=
（1）
我们根据二项式定理得
展开式中第三项
其中
较小
展开式中第四项及其后项都更小，在此我们合理简化，只去展开式中的前三项
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在实际中n>
>
1，在此我们假定n>
1，则
令
，则
（2）
E越低，D越高。
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5．模型检验
为检验以上模型的合理优化后是否精确，我们取一组比较贴近实际情况的m与n，来对比
（1）式与
（2）式
取n=10，m=40时，
（2）式中，D=87.5%
（1）式中，D=89.4%
对比得知道
（2）式非常精准且简易计算
我们最终的结论为
，
提高传送系统效率，即增大D减小E，在工人数n一定的情况下，E与钩子数m成反比，即m增大一倍，E降低一倍
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六．模型推广
我们考虑一种提高传送系统效率的改进方案：
在原有的每一个钩子的位置，放置两个钩子构成双钩组，即有2m个钩子，那么传送系统的效率如何呢？
与只是增加钩子数目至2m相比，哪个效率更高呢？
易知，在双钩组的情况下，每组钩组在传送系统结束后有三种情况：
1.空钩组
2.满钩组
3.不满钩组
任一组钩子被某一名工人触到的概率为
任一组钩子不被某一名工人触到的概率为
任一组钩子不被所有工人触到的概率为
，即为空钩组的概率
任一组钩子只被一名工人触到的概率为
，即为不满钩组的概率
满钩组的概率为
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在此我们同样只取前三项，则
在实际中，n>
2，m>
则
当n=10，m=40时，D=96.8751%
而如果只是增加钩子数目至2m，则D=93.75%
所以这种双钩组改进方案更加优越
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7．参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版），北京：
高等教育出版社，2011。
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8．附录
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