高考数学212 条件概率及相互独立事件n次独立重复试验模型及二项分布Word格式.docx
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（1）若甲和乙之间进行三场比赛,求甲恰好胜两场的概率;
（2）若四名运动员每两人之间进行一场比赛,求甲恰好胜两场的概率.
解析
（1）甲和乙之间进行三场比赛,甲恰好胜两场的概率P=×
0.62×
0.4=0.432.
（2）记“甲胜乙”“甲胜丙”“甲胜丁”三个事件分别为A,B,C,则P（A）=0.6,P（B）=0.8,P（C）=0.9.
则四名运动员每两人之间进行一场比赛,甲恰好胜两场的概率P（AB+AC+BC）=P（A）P（B）（1-P（C））+P（A）（1-P（B））P（C）+（1-P（A））P（B）P（C）=0.6×
0.8×
0.1+0.6×
0.9+0.4×
0.9=0.444.
考点二 n次独立重复试验模型及二项分布
1.（2018江苏苏州新区一中月考）在一次数学考试中,第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做每一道题的概率均为.
（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率;
（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ,求ξ的概率分布列.
解析
（1）记A表示事件“甲选做第21题”,B表示事件“乙选做第21题”,
则“甲选做第22题”为,“乙选做第22题”为,则甲、乙两名学生选做同一道题为事件AB+ .
∵事件A,B相互独立,∴,相互独立,
∴P（AB+ ）=P（AB）+P（ ）=P（A）P（B）+P（）P（）=×
+×
=.
（2）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ~B,
∴P（ξ=k）=·
=（k=0,1,2,3,4）,
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
2.（2019届江苏常州二中月考）某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.
（1）设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;
（2）若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P（A）.
解析
（1）依题意知X~B,
P（X=0）==,
P（X=1）==,
P（X=2）==,
P（X=3）==,
P（X=4）==.
∴X的分布列为
X
（2）设Ai表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分”i=1,2.
Bi表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.
依题意知P（A1）=P（B1）=0.1,
P（A2）=P（B2）=0.3,
A=A1∪B1∪A1B1∪A2B2,
所求的概率为
P（A）=P（A1）+P（B1）+P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）·
P（）+P（）P（B1）+P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）=0.1×
0.9+0.9×
0.1+0.1×
0.1+0.3×
0.3=0.28.
炼技法
【方法集训】
方法 独立重复试验及二项分布
1.（2019届江苏常州一中周练）某公交公司对某线路客源情况统计显示,公交车从每个停靠点出发后,乘客人数及频率如下表:
人数
0~6
7~12
13~18
19~24
25~30
31人及以上
频率
0.10
0.15
0.25
0.20
（1）从每个停靠点出发后,乘客人数不超过24人的概率约是多少?
（2）全线途经10个停靠点,若有2个以上（含2个）停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9,公交公司就考虑在该线路增加一个班次,请问该线路需要增加班次吗?
解析
（1）由题表知,乘客人数不超过24人的频率是0.10+0.15+0.25+0.20=0.70,
则从每个停靠点出发后,乘客人数不超过24人的概率约是0.70.
（2）由题表知,从每个停靠点出发后,乘客人数超过18人的概率约为,设途经10个停靠站,乘车人数超过18人的个数为X,
则X~B,
∴P（X≥2）=1-P（X=0）-P（X=1）
=1--×
=1--10×
=>
0.9,
故该线路需要增加班次.
2.（2015湖南,18,12分）某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;
若只有1个红球,则获二等奖;
若没有红球,则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率;
（2）若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解析
（1）记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},
A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},
B1={顾客抽奖1次获一等奖},
B2={顾客抽奖1次获二等奖},
C={顾客抽奖1次能获奖}.
由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.
因为P（A1）==,P（A2）==,
所以P（B1）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=×
=,
P（B2）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）
=P（A1）P（）+P（）P（A2）
=P（A1）[1-P（A2）]+[1-P（A1）]P（A2）
=×
故所求概率为P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=+=.
（2）顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,
由
（1）知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B.
于是P（X=0）==,
P（X=3）==.
故X的分布列为
X的数学期望为E（X）=3×
过专题
【五年高考】
统一命题、省（区、市）卷题组
1.（2015课标Ⅰ改编,4,5分）投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 .
答案 0.648
2.（2014山东,18,12分）乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:
回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;
对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:
（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;
（2）两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.
解析
（1）记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（i=0,1,3）,
则P（A3）=,P（A1）=,P（A0）=1--=;
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（i=0,1,3）,
则P（B3）=,P（B1）=,P（B0）=1--=.
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.
由题意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,
由事件的独立性和互斥性,得
P（D）=P（A3B0+A1B0+A0B1+A0B3）
=P（A3B0）+P（A1B0）+P（A0B1）+P（A0B3）
=P（A3）P（B0）+P（A1）P（B0）+P（A0）P（B1）+P（A0）P（B3）
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
（2）随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,
P（ξ=0）=P（A0B0）=×
P（ξ=1）=P（A1B0+A0B1）=P（A1B0）+P（A0B1）=×
P（ξ=2）=P（A1B1）=×
P（ξ=3）=P（A3B0+A0B3）=P（A3B0）+P（A0B3）=×
P（ξ=4）=P（A3B1+A1B3）=P（A3B1）+P（A1B3）=×
P（ξ=6）=P（A3B3）=×
可得随机变量ξ的分布列为
6
所以数学期望Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
+6×
3.（2014大纲全国,20,12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
（2）X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
解析 记Ai表示事件:
同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,
甲需使用设备,
丁需使用设备,
同一工作日至少3人需使用设备.
（1）D=A1·
B·
C+A2·
B+A2·
·
C,
P（B）=0.6,P（C）=0.4,P（Ai）=×
0.52,i=0,1,2,（3分）
所以P（D）=P（A1·
C）
=P（A1·
C）+P（A2·
B）+P（A2·
=P（A1）P（B）P（C）+P（A2）P（B）+P（A2）P（）P（C）
=0.31.（6分）
（2）X的可能取值为0,1,2,3,4,则
P（X=0）=P（·
A0·
）
=P（）P（A0）P（）=（1-0.6）×
0.52×
（1-0.4）=0.06,
P（X=1）=P（B·
+·
C+·
A1·
=P（B）P（A0）P（）+P（）P（A0）P（C）+P（）P（A1）P（）
=0.6×
（1-0.4）+（1-0.6）×
0.4+（1-0.6）×
2×
（1-0.4）=0.25,
P（X=4）=P（A2·
C）=P（A2）P（B）P（C）=0.52×
0.6×
0.4=0.06,
P（X=3）=P（D）-P（X=4）=0.25,
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）
=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,（10分）
数学期望EX=0×
P（X=0）+1×
P（X=1）+2×
P（X=2）+3×
P（X=3）+4×
P（X=4）=0.25+2×
0.38+3×
0.25+4×
0.06=2.（12分）
1.（2018课标全国Ⅲ理改编,8,5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P（X=4）<
P（X=6）,则p= .
答案 0.6
2.（2016四川理,12,5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .
答案
3.（2015广东,13,5分）已知随机变量X服从二项分布B（n,p）.若E（X）=30,D（X）=20,则p= .
4.（2014陕西,19,12分）在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量（kg）
300
500
概 率
0.5
作物市场价格（元/kg）
10
0.4
0.6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
（2）若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
解析
（1）设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P（A）=0.5,P（B）=0.4,
∵利润=产量×
市场价格-成本,
∴X所有可能的取值为
500×
10-1000=4000,500×
6-1000=2000,
300×
10-1000=2000,300×
6-1000=800.
P（X=4000）=P（）P（）=（1-0.5）×
（1-0.4）=0.3,
P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1-0.5）×
0.4+0.5×
（1-0.4）=0.5,
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×
0.4=0.2,
所以X的分布列为
4000
2000
800
0.3
0.2
（2）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1,2,3）,
由题意知C1,C2,C3相互独立,由
（1）知,
P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1,2,3）,
3季的利润均不少于2000元的概率为
P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512;
3季中有2季利润不少于2000元的概率为
P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×
0.82×
0.2=0.384,
所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为
0.512+0.384=0.896.
评析本题考查了离散型随机变量的分布列,相互独立事件,二项分布等知识;
考查应用意识,分类讨论的意识、运算求解的能力.
教师专用题组
1.（2014四川,17,12分）一款击鼓小游戏的规则如下:
每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;
每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;
（2）玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
（3）玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
解析
（1）X可能的取值为10,20,100,-200.
根据题意,有P（X=10）=×
×
P（X=20）=×
P（X=100）=×
P（X=-200）=×
20
100
-200
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i=1,2,3）,
则P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=-200）=.
所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1-P（A1A2A3）=1-=1-=.
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
（3）X的数学期望为EX=10×
+20×
+100×
-200×
=-.
这表明,获得的分数X的均值为负.
因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.
评析本题主要考查随机事件的概率、古典概型、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力,考查运算求解能力、应用意识和创新意识.
2.（2013陕西理,19,12分）在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手（1至5号）登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.
解析
（1）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,
则P（A）==,P（B）==.
∵事件A与B相互独立,
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
P（A）=P（A）·
P（）
=P（A）·
[1-P（B）]
（2）设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,
则P（C）==,
∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为
P（X=0）=P（ ）=×
P（X=1）=P（A）+P（B）+P（C）
P（X=2）=P（AB）+P（AC）+P（BC）
P（X=3）=P（ABC）=×
∴X的数学期望EX=0×
==.
【三年模拟】
一、填空题（每小题5分,共20分）
1.（2018江苏海门中学检测）打靶时甲每打10次,可中靶8次;
乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则他们都中靶的概率是 .
2.（2019届江苏丹阳中学月考）如果生男孩和生女孩的概率相等,则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为 .
3.（2019届江苏太仓中学月考）端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为 .
4.（2019届江苏盱眙中学月考）在四次独立重复试验中,事件A在每次试验中出现的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为 .
二、解答题（共50分）
5.（2018江苏徐州铜山中学期中）某同学在上学路上要经过A,B,C三个有红绿灯的路口,已知他在A,B,C三个路口遇到红灯的概率依次是,,,遇到红灯时停留的时间依次是40秒,20秒,80秒,且在各个路口遇到红灯是相互独立的.
（1）求这名同学在第三个路口C首次遇到红灯的概率;
（2）记这名同学因遇到红灯停留的总时间为X秒,求X的概率分布列与期望E（X）.
解析
（1）设这名同学在第三个路口C首次遇到红灯为事件M,
因为事件M等于事件“这名同学在第一个路口A和第二个路口B都没有遇到红灯,在第三个路口C遇到红灯”,所以P（M）=×
答:
这名同学在第三个路口C首次遇到红灯的概率为.
（2）X的所有可能取值为0,20,40,60,80,100,120,140.
P（X=0）=×
=;
P（X=40）=×
P（X=60）=×
P（X=80）=×
P（X=120）=×
P（X=140）=×
40
60
80
120
140
所以E（X）=0×
+40×
+60×
+80×
+120×
+140×
=.
6.（2018江苏苏中三市、苏北四市三调）将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1,2,3,4的四个抽屉中.
（1）求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率;
（2）设随机变量X表示放在2号抽屉中书的本数,求X的分布列和数学期望E（X）.
解析
（1）将4本不同的书放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中,共有44=256（种）不同放法.
记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A,
则事件A共包含=24（个）基本事件,
所以P（A）==,
所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为.
（2）解法一:
X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
所以X的数学期望为E（X）=0×
=1.
解法二:
每本书放入2号抽屉的概率为P（B）=,则P（）=1-=.
根据题意知X~B,所以P（X=k）=·
k=0,1,2,3,4,
所以X的数学期望为E（X）=4×
7.（2017江苏南京、盐城高三第一次模拟）某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程）,张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.
（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;
（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的分布列与数学期望E（X）.
解析
（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率P=1-=.
（2）X的可能取值为0,1,2,3,4,5,由题意得X~B,
P（X=k）=·
k=0,1,2,3,4,5.
则P（X=0）=·
P（X=1）=·
P（X=2）=·
P（X=3）=·
P（X=4）=·
=,P（X=5）=·
5
所以X的数学期望E（X）=0×
1+×
2+×
3+×
4+×
5=.
或E（X）=5×
=
8.（2019届江苏溧阳中学月考）甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛.双方约定:
①比赛采取五场三胜制（先赢三场的队伍获得胜利,比赛结束）;
②双方各派出三名队员,前三场每位队员各比赛一场.已知甲俱乐部派出队员A1,A2,
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