十二平均律研究二Word下载.docx
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一个音的频率是原来的3倍（因为弦长变成了原来的1/3），另一个音是原来的3/2倍（因为弦长变成了原来的2/3）。
这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:
1）。
这样，在我们要寻找的F～2F的范围内，出现了第一个重要的频率，即3/2F。
（那个3F的频率正好处于下一个八度，即2F～4F中的同样位置。
）接着再试，数学上简单性仅次于3:
1的是4:
1，我们试试按弦的1/4点会怎样？
又出现了两个音。
一个音的频率是原来的4倍（因为弦长变成了原来的1/4），这和原来的音（术语叫"
主音"
）是两个八度音程的关系，可以不去管它。
另一个音的频率是主音的4/3倍（因为弦长是原来的3/4）。
现在我们又得到了一个重要的频率，4/3F。
同一根弦，在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音。
在听觉上，与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F（除了主音的各个八度之外）。
这个现象也被很多民族分别发现了。
5、2/3的循环：
得到这两个频率之后，是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢？
不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。
实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了。
古人于是换了一种方法。
与主音F最和谐的3/2F已经找到了，他们转而找3/2F的3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（3/2）2F即9/4F。
可是这已经超出了2F的范围，进入了下一个八度。
没关系，不是有"
等差音高序列"
吗？
在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把9/4F的频率减半，便得到了9/8F。
接着把这个过程循环一遍，找3/2的3次方，于是就有了27/8F，这也在下一个八度中，再次频率减半，得到了27/16F。
就这样一直循环找下去吗？
不行，因为这样循环下去会没完没了的。
我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是"
回到"
了主音上，不用继续找下去了。
可是（3/2）n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。
律学所有的麻烦就此开始。
数学上不可能的事，只能从数学上想办法。
古人的对策就是"
取近似值"
。
他们注意到（3/2）5≈7.59，和23＝8很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。
这样，从主音F开始，我们只需把"
按3/2比例寻找最和谐音"
这个过程循环5次，得到了5个音，加上主音和4/3F，一共是7个音。
这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。
6、一个八度内和主音关系最密切的是第5个"
属音"
so和第4个"
下属音"
fa，它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。
由于这个音律主要是从"
so即3/2F推导出来的，而3/2这个比例在西方音乐术语中叫"
纯五度"
，所以这种音律叫做"
五度相生律"
西方最早提出"
的是古希腊的毕达哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean
tuning），东方是《管子》一书的作者（不一定是管仲本人）。
我国历代的各种音律，大部分也都是从"
三分损益律"
发展出来的，也可以认为它们都是"
7、半音的发现：
仔细看上面"
7声音阶的频率，可以发现它们彼此的关系很简单：
do～re、re～mi、fa～so、so～la、la～si
之间的频率比都是9:
8（3/2的三次方），这个比例被称为全音（tone）；
mi～fa、si～do
之间的频率比都是256:
243（28:
35），这个比例被称为半音（semitone）。
8、纯音：
为了让比例更简单，古希腊学者塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（Aristoxenus
of
Tarentum）
，亚理士多德的学生，约生活在公元前3世纪
，最先提出了所谓"
自然音阶"
，他的学说的重点就是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。
，自然音阶也有7个音，但和"
的7声音阶有不小差别。
7个自然音阶的频率分别是：
F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。
确实简单多了吧？
也确实好听多了。
这么简单的比例，就是"
纯律"
可以看出"
不光用到了3/2的比例，还用到了5/4的比例。
新的7个频率中和原来不同的就是5/4F、5/3（＝5/4×
4/3）F、15/8（＝5/4×
3/2）F。
虽然各个音和主音的比例变简单了，但各音之间的关系变复杂了。
原来"
7声音阶之间只有"
全音"
和"
半音"
2种比例关系，现在则出现了3种：
9:
8（被叫做"
大全音"
，major
tone，就是原来的"
）、10:
9（被叫做"
小全音"
，minor
tone）、16:
15（新的"
）。
如果比较自然音阶中的re和fa，其频率比是27/32，这也不怎么简单，也不怎么好听呢！
所以说"
对"
的修正是不彻底的。
事实上，"
远没有"
流行。
9、十二个音的发现：
对于"
的另一种修正是从另一个方向展开的。
还记得为什么要取7个音符吗？
是因为（3/2）5≈7.59，和23＝8很接近。
可这毕竟是近似值，而不是完全相等。
在一个八度之内，这么小的差距也许没什么，但是如果乐器的音域跨越了好几个八度，那么这种近似就显得不怎么好了。
于是人们开始寻找更好的近似值。
通过计算，古人发现（3/2）12≈129.7，和27＝128很接近，于是他们把"
中"
的循环过程重复12次，便认为已经到达了主音的第7个八度。
再加上原来的主音和4/3F，现在就有了12个音符。
从7声音阶发展到12声音阶的做法，在西方和东方都出现得很早。
《管子》中实际上已经提出了12声音阶，后来的中国音律也大多是以"
的12声音阶为主。
毕达哥拉斯学派也有提出这12声音阶的。
不过西方要到中世纪晚期才重新发现它们。
这种12声音阶在音乐界的地位，我只用举一个例子就能说明了。
钢琴上的所有白键对应的就是原来7声音阶中的C、D……B，所有的黑键对应的就是12声音阶中新加入的C#、Eb、Gb、Ab、Bb
10、音名：
现在的"
规范"
音阶不是do、re、mi……等7个音符了，而是12个音符。
这种经过修改的"
推出的12声音阶，其频率分别是：
F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。
和前面的"
的7声音阶对比一下，可以发现原来的7个音都还在，只是多了5个，分别插在它们之间。
用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是C、D、E、F、G、A、B。
新多出来的5个音符于是被叫做C#（读做"
升C"
）、D#、F#、G#、A#。
12音阶现在不能用do、re、mi的叫法了，应该被叫做：
C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。
把相邻两个音符的频率互相除一下，就会发现它们之间的比例只有两种：
256:
243（就是原来的"
，也叫做"
自然半音"
），2187:
2048（这被叫做"
变化半音"
11、十二个音的问题：
"
的12声音阶中的主要问题是，相邻音符的频率比例有两种（自然半音和变化半音），而不是一种。
而且两种半音彼此差距还不小。
（2187:
2048）/（256:
243）≈1.014。
好像差不多哦？
但其实自然半音本身就是256:
243≈1.053了。
真正的12声音阶可以把一个八度"
等分"
成12份。
为什么这么强调"
、"
呢？
因为在音乐的发展过程中，人们越来越觉得有"
转调"
的必要了。
12、转调：
其实就是用不同的音高来唱同一个旋律。
比方说，如果某一个人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），乐器为了给他伴奏，得在C～高音C之内弹奏旋律；
如果另一个人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），乐器得在D～高音D之内弹奏旋律。
可是"
的12声音阶根本不是"
，人们会觉得C～高音C之内的旋律和D～高音D之内的旋律不一样。
特别是如果旋律涉及到比较多的半音，这种不和谐就会很明显。
可以说，如果现在的钢琴是按"
来决定各键的音高，那么只要旋律中涉及到许多黑键，弹出来的效果就会一塌糊涂。
这种问题在弦乐器上比较好解决，因为弦乐器的音高是靠手指的按压来决定的。
演奏者可根据不同的音域、旋律的要求，有意地不在规定的指位上按弦，而是偏移一点按弦，就能解决问题。
可是键盘乐器（比如钢琴、管风琴、羽管键琴等）的音高是固定的，无法临时调整。
所以在西方中世纪的音乐理论里，就规定了有些调、有些音是不能用的，有些旋律是不能写的。
而有些教堂的管风琴，为了应付可能出现的各种情况，就预先准备下许多额外的发音管。
以至于有的管风琴s的发音管有几百甚至上万根之多。
这种音律规则上的缺陷，导致一方面作曲家觉得受到了限制，一方面演奏家也觉得演奏起来太麻烦。
13、京房的解决办法：
能不能把"
的12声音阶再往前发展一下呢？
可以的。
12声音阶的依据就是（3/2）12≈129.7，和27＝128很接近，按照这个思路，继续找接近的值就可以了嘛。
还有人真地找到了，此人就是我国西汉的著名学者京房（77
BC－47
BC）。
他发现（3/2）53≈2.151×
109，和231≈2.147×
109也很接近，于是提出了一个53音阶的新音律。
要知道古人并没有我们现在的计算器，计算这样的高次幂问题对他们来说是相当麻烦的。
当然，京房的新律并没有流行开，原因就是53个音阶也太麻烦了吧！
开始学音乐的时候要记住这么多音符，谁还会有兴趣哦！
但是这种努力是值得肯定的，也说明12声音阶也不完美，也确实需要改进。
14、对"
12声音阶的进一步修改，东、西方也大致遵循了相似的路线。
比如东晋的何承天（370
AD－447
AD），他的做法是把（3/2）12和27之间的差距分成12份，累加地分散到12个音阶上，造成一个等差数列。
可惜这只是一种修补工作，并没有从根本上解决问题。
西方的做法也是把（3/2）12和27之间的差距分散到其它音符上。
但是为了保证主音C和属音G的3/2的比例关系（这个"
是一个音阶中最重要的和谐，即使是在12声音阶中也是如此），这种分散注定不是平均的，最好的结果也是12音中至少有一个"
不在调上"
如果把差距全部分散到12个音阶上的话，就必须破坏C和G之间的"
，以及C和F之间的4/3比例（术语是"
纯四度"
这样一来，虽然方便了转调，但代价就是音阶再也没有以前好听了。
因为一个八度之内最和谐的两个关系――纯五度和纯四度――都被破坏了。
一直到文艺复兴之前，西方音乐界通行的律法叫"
平均音调律"
（Meantone
temperament），就是在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下，把（3/2）12和27之间的差距尽量分配到12个音上去。
这种折衷只是一种无可奈何的妥协，大家其实都在等待新的音律出现。
15、十二均分律：
如果12声音阶是真正的"
的话，每个半音就应该是相等的，各个音阶就应该是"
的。
终于还是有人想到了彻底的解决办法。
不就是在一个八度内均分12份吗？
直接就把2:
1这个比例关系开12次方不就行了？
也就是说，真正的半音比例应该是21/12。
s这是"
问题的完全解决。
有了这个新的音律，从任何一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上，而对旋律不产生影响。
西方巴洛克音乐中，复调音乐对于多重声部的偏爱，有了这个新音律之后，可以说不再有任何障碍了。
后来的古典主义音乐，也间接地受益匪浅。
可以说没有这个新的音律的话，后来古典主义者、浪漫主义者对于各种音乐调性的探索都是不可能的。
16、发明人：
这种新的音律就叫"
十二平均律"
首先发明它的是一位中国人，叫朱载堉（yù
他是明朝的一位皇室后代，生于1536年，逝世于1611年。
他用珠算开方的办法（珠算开12次方，难度可想而知），首次计算出了十二平均律的正确半音比例，其成就见于所著的《律学新书》一书。
很可惜，他的发明，和中国古代其它一些伟大的发明一样，被淹没在历史的尘埃之中了，很少被后人所知。
西方人提出"
，大约比朱载堉晚50年左右。
不过很快就传播、流行开来了。
主要原因是当时西方音乐界对于解决转调问题的迫切要求。
当然，反对"
的声音也不少。
主要的反对依据就是"
破坏了纯五度和纯四度。
不过这种破坏程度并不十分明显。
17、半音：
现在所有的半音都一样了，都是21/12，即1.059。
以前的自然半音和变化半音的区别没有了。
18、现在钢琴的音高标准:
是按"
中央C"
（即通常的do）右边的第五个白键（按术语说是A4）的频率来定的。
这个A键的频率被确定为440HZ。
确定了它，钢琴上其它键的频率都可以按"
类推得到。
不过在某些国家（比如东欧），也有把这个键的频率定为444HZ的。
历史上，这个A键的标准曾经有过很多次变化。
比如在1759年，英国剑桥的"
三一学院"
（Trinity
College
Cambridge）的管风琴的这个A键，就曾经被定在309HZ。
可以想像在这里听到的旋律和我们现在听到的旋律该有怎样大的差别。
研究古代音乐家的作品的时候，对于当时音高标准的研究也是很重要的一部分。
19、"
大调"
小调"
的问题。
自从"
提出12音阶以来，12音阶和原来的7音阶之间的关系一直就被人们所研究。
也就是说，在原来的7音阶之外，现在人们可以在12音阶中选取其它的7个音来作为音乐的"
标尺"
了。
这可以给作曲家们以更大的创作自由。
以C～高音C的八度为例，如果我们选择原来的7音阶，即C、D、E、F、G、A、B，这就被称为"
（major
scale），又因为这个大调的主音是C，所以被称为"
C大调"
而如果我们选择C、D、D#（Eb）、F、G、G#（Ab）、A#（Bb），这就被称为"
c小调"
（C
minor
scale）。
用小写c的原因是表示这是小调。
大调和小调的区别就在于，大调和小调里各音之间的"
距离感"
不同，以它们为基础来作曲，给听众的感觉也不相同。
这就让作曲家有了用音乐表现不同情绪的机会。
西方中世纪的音乐理论里，曾经提出了8种不同的方法在12音中选7个音作为基准，其中就包含了我们现在谈的大调和小调。
当时的音乐理论给予这8种调性（mode）以不同的感情色彩，比如有的被认为是"
悲伤的"
，有的被认为是"
快乐的"
朝气蓬勃的"
等等。
这8种调性中有一些现在已经很少用了，现在最流行的是大调和小调这两种。
20、巴赫的《十二平均律曲集》:
是第一次为"
系统作曲的尝试。
虽然在他之前大约20年，已经有人针对当时刚刚兴起的"
，尝试写了一些针对新音律的曲子。
比如1702年，J.C.F.
Fischer就曾经为"
所给出的新12音阶中的9个写了一套曲子。
但是从整体上为全部12个音作曲的第一人，是巴赫。
正是他的这套《十二平均律曲集》，最终向人们证明了"
是可以用来作曲的，而且其效果之美妙，以前的人们从未曾领略过。
在推广"
的过程中，这部作品是有特殊贡献的。
在这里，针对从C、C#、……到B的每一个音，巴赫分别在大调和小调的框架内，各写了一首曲子。
即他为C大调、c小调、C#大调、c#小调，……，一直到b小调，一共写了24首曲子。
这样系统的尝试，可谓前无古人。
所以《十二平均律曲集》在巴赫在世时就很受欢迎。
随着"
的普及，后世的钢琴家们几乎都学习过《十二平均律曲集》，所以现在它被称为"
钢琴演奏的旧约全书"
，一点也不奇怪。
曲集里的每首曲子都是由前奏曲和赋格两部分组成的。
前奏曲（Prelude）原来是指乐手在演奏之前，为了测试自己的乐器是否调好了弦或者定准了音高，而随意演奏的一个小乐段，后来逐渐定型成一种固定的曲式。
前奏曲一般比较明快、有即兴的成份，而且音域跨度比较大。
赋格（Fugue）是复调音乐中最常见的曲式之一。
通常是有一个声部演奏出"
主题"
，然后其它声部依次对这个"
作出回应，最开始的声部再对这些回应作出相应的回应，几个声部之间交相辉映，极其绚丽多彩。
巴洛克音乐的技巧性在这部作品里展露无遗。
巴赫的《十二平均律曲集》分两卷，分别出版于1722年和1744年。
每卷都包含有前面提到的一整套24首前奏曲和赋格，总共48首。
它们的巴赫作品目录编号分别是BWV
846－BWV
893。
一般来说，第一卷的曲子要明亮，欢快一些，第二卷要严肃、灰暗一些。
这可能和巴赫自己的年龄增长有关。
据说巴赫写这部曲集最初只是为了给自己的孩子们作为练习教材，他自己也许认为这只是音乐入门读物吧？
第一卷的副标题就是《为了渴望学习音乐的青年而作，也供那些已经掌握这门技术的人士消遣之用》（第二卷仅仅简单地题为《24首前奏曲与赋格》）。
这部曲集现在也被当作钢琴的入门练习，很多学钢琴的孩子们估计对这部曲集也是印象深刻，主要原因恐怕是因为它太难了，特别是第二卷。
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