中考二次函数压轴题共23道题目Word格式文档下载.docx

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④若有三个公共点，则m≠3．

其中描述正确的有（　　）个．

A．一个B．两个C．三个D．四个

二．填空题（共10小题）

11．已知：

如图，过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥MA于点Q．

（1）抛物线解析式为　　．

（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为　　．

12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为　　．

13．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE﹣EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．令m=，则m=　　；

又若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，则抛物线与边AB的交点坐标是　　．

15．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是　　．

16．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列结论中：

①ac＞0；

②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5；

③a+b+c＜0；

④当x＜2时，y随着x的增大而增大．

正确的结论有　　（请写出所有正确结论的序号）．

17．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是　　．

18．如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是　　．

19．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为　　．

20．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则y=a+b+c的取值范围是　　．

三．解答题（共4小题）

21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=﹣x+1交y轴于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：

△BCE∽△BOD；

（3）点P是抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？

22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？

若存在，求出这个最大值；

若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

23．已知：

如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．

①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？

②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

24．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．

①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；

②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？

二次函数压轴题（共24道题目）

参考答案与试题解析

【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：

由抛物线的开口向下知a＜0，

与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，

对称轴为x=＜1，

∵a＜0，

∴2a+b＜0，

而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，

当x=2时，y=4a+2b+c＜0，

当x=1时，a+b+c=2．

∵＞2，

∴4ac﹣b2＜8a，

∴b2+8a＞4ac，

∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，

②4a+2b+c＜0，

③a﹣b+c＜0．

由①，③得到2a+2c＜2，

由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，

上面两个相加得到6a＜﹣6，

∴a＜﹣1．

故选：

D．

【分析】如图是y=ax2+bx+c的图象，根据开口方向向上知道a＞0，又由与y轴的交点为在y轴的负半轴上得到c＜0，由对称轴x==﹣1，可以得到2a﹣b=0，又当x=1时，可以判断a+b+c的值．由此可以判定所有结论正确与否．

（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）（如虚线部分），

∴y=ax2+bx+c的对称轴为：

直线x=﹣1；

∵开口方向向上，

∴a＞0，故①正确；

（2）∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上

∴c＜0，故②正确；

（3）∵对称轴x==﹣1，

∴2a﹣b=0，故③正确；

（4）当x=1时，y=a+b+c＞0，故④正确．

【分析】由抛物线开口向上得到a大于0，再由对称轴在y轴右侧得到a与b异号，即b小于0，由抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc的符合，对于（3）作出判断；

由x=1时对应的函数值小于0，将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c小于0，

（1）错误；

根据对称轴在1和2之间，利用对称轴公式列出不等式，由a大于0，得到﹣2a小于0，在不等式两边同时乘以﹣2a，不等号方向改变，可得出不等式，对

（2）作出判断；

由x=﹣1时对应的函数值大于0，将x=﹣1代入二次函数解析式得到a﹣b+c大于0，又4a大于0，c大于0，可得出a﹣b+c+4a+c大于0，合并后得到（4）正确，综上，即可得到正确的个数．

由图形可知：

抛物线开口向上，与y轴交点在正半轴，

∴a＞0，b＜0，c＞0，即abc＜0，故（3）错误；

又x=1时，对应的函数值小于0，故将x=1代入得：

a+b+c＜0，故

（1）错误；

∵对称轴在1和2之间，

∴1＜﹣＜2，又a＞0，

∴在不等式左右两边都乘以﹣2a得：

﹣2a＞b＞﹣4a，故

（2）正确；

又x=﹣1时，对应的函数值大于0，故将x=﹣1代入得：

a﹣b+c＞0，

又a＞0，即4a＞0，c＞0，

∴5a﹣b+2c=（a﹣b+c）+4a+c＞0，故（4）错误，

综上，正确的有1个，为选项

（2）．

A．

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合已知条件，可知x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4；

根据抛物线，知它与x轴的交点是（0，0）和（﹣b，0），对称轴是x=﹣．因此要满足已知条件，则其对称轴应小于2.5．

∵x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，

∴x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4．

∵抛物线y=x2+bx与x轴的交点是（0，0）和（﹣b，0），对称轴是x=﹣，

∴若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则﹣＜2.5

解，得b＞﹣5．

【分析】因为A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，所以n=2m．根据三角形面积公式即可得出S与m之间的函数关系，根据关系式即可解答．

由题意可列该函数关系式：

S=|m|•2|m|=m2，

因为点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，

所以点A（m，n）在第一或三象限，

又因为S＞0，

所以取第一、二象限内的部分．

【分析】先根据图象经过象限的情况判断出a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理．

∵抛物线经过原点，

∴c=0，

∵抛物线经过第一，二，三象限，

可推测出抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧

∴a＞0，

∵对称轴在y轴左侧，

∴对称轴为x=＜0，

又因为a＞0，

∴b＞0．

【分析】因为抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，所以令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，则f

（2）＜0，解不等式可得m＞，又因为抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，所以f（0）＜﹣，解得m＜，即可得解．

根据题意，

令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，

∵抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，

∴f

（2）＜0，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，解得：

m＞，

又∵抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，

∴f（0）＜﹣，解得：

m＜，

综上可得：

＜m＜，

【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．

由解析式y=﹣kx2+k可得：

抛物线对称轴x=0；

A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；

本图象与k的取值相矛盾，故A错误；

B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；

C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；

D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．

B．

【分析】把点（c，0）代入抛物线中，可得b、c的关系式，再设抛物线与x轴的交点分别为x1、x2，则x1、x2满足x2+bx+c=0，根据根的判别式结合两点间的距离公式可求|x1﹣x2|，那么就可得到以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积．

∵抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），

∴c2+bc+c=0；

∴c（c+b+1）=0；

∵c＜0，

∴c=﹣b﹣1；

设x1，x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两根，

∴x1+x2=﹣b，x1•x2=c=﹣b﹣1，

∴抛物线与x轴的交点间的距离为|x1﹣x2|=====|2+b|，

∴S可表示为|2+b||b+1|．

【分析】令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，得出判别式的表达式，然后根据m的取值进行判断，另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数，不要忘了考虑一次函数的情况．

令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，

△=（3m﹣1）2﹣8（m2﹣1）=（m﹣3）2，

①当m≠3，m=±

1时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；

②当m=3时，△=0，与x轴有一个公共点，与y轴有一个公共点，总共两个，故正确；

③若只有两个公共点，m=3或m=±

1，故错误；

④若有三个公共点，则m≠3且m≠±

综上可得只有②正确，共个．

（1）抛物线解析式为　y=﹣x2﹣4x　．

（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为　（﹣，）、（﹣，）　．

【分析】

（1）设抛物线的解析式为：

y=a（x+2）2+4，因为抛物线过原点，把（0，0）代入，求出a即可．

（2）由于PQ⊥MA，即∠MQP=∠MBA=90°

；

所以只要满足∠PMQ=∠MAB或∠PMQ=∠AMB．

①∠PMQ=∠AMB时，先找出点B关于直线MA的对称点（设为点C），显然有AC=AB=2、MC=MB=4，可根据该条件得到点C的坐标，进而求出直线MC（即直线MP）的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标；

②∠PMQ=∠MAB时，若设直线MP与x轴的交点为D，那么△MAD必为等腰三角形，即MD=AD，根据此条件先求出点D的坐标，进而得出直线MP的解析式，联立抛物线的解析式即可得解．

（1）∵过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），

∴设抛物线的解析式为：

y=a（x+2）2+4，

将x=0，y=0代入可得：

4a+4=0，

解得：

a=﹣1，

∴抛物线解析式为：

y=﹣（x+2）2+4，

即y=﹣x2﹣4x；

（2）∵PQ⊥MA

∴∠MQP=∠MBA=90°

若△MPQ、△MAB相似，那么需满足下面的其中一种情况：

①∠PMQ=∠AMB，此时MA为∠PMB的角平分线，如图①；

取点B关于直线MA的对称点C，则AC=AB=2，MC=MB=4，设点C（x，y），有：

，解得（舍），

∴点C的坐标为（﹣，）；

设直线MP的解析式：

y=kx+b，代入M（﹣2，4）、（﹣，）得：

，解得

∴直线MP：

y=x+

联立抛物线的解析式，有：

，解得，

∴点P的坐标（﹣，）；

②∠PMQ=∠MAB，如右图②，此时△MAD为等腰三角形，且MD=AD，若设点D（x，0），则有：

（x+4）2=（x+2）2+（0﹣4）2，解得：

x=1

∴点D（1，0）；

y=kx+b，代入M（﹣2，4）、D（1，0）后，有：

，解得：

y=﹣x+

联立抛物线的解析式有：

，

∴点P的坐标（﹣，）

综上，符合条件的P点有两个，且坐标为（﹣，）、（﹣，）．

故答案：

（1）y=﹣x2﹣4x；

（2）（﹣，）、（﹣，）．

12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为　y=x2+6x+7　．

【分析】根据二次函数图象的平移规律：

左右平移，x改变：

左加右减，y不变；

上下平移，x不变，y改变，上加下减进行计算即可．

根据平移规律：

将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位得到：

y=（x+3）2﹣2，

y=x2+6x+7．

故答案为：

13．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE﹣EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．令m=，则m=　1　；

又若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，则抛物线与边AB的交点坐标是　（，）　．

【分析】求出CM=OE﹣CE，求出四边形CFGH的面积是CO×

（OE﹣CE），求出四边形CMNO的面积是（OE﹣CE）×

CO，即可求出m值；

求出EF值，得出EF=QF，得出等边三角形EFQ，求出EQ，求出∠CEF、∠OEA，过Q作QD⊥OE于D，求出Q坐标，代入抛物线求出抛物线的解析式，把x=代入抛物线即可求出y，即得出答案．

∵沿AE折叠，O和F重合，

∴OE=EF，

∵在Rt△CEF中，EF＞CE，

即OE＞CE，

∴CM=|CE﹣EO|=OE﹣CE，

∵S四边形CFGH=CF2=EF2﹣EC2=EO2﹣EC2=（EO+EC）（EO﹣EC）=CO×

（EO﹣EC），

S四边形CMNO=CM×

CO=（OE﹣CE）×

OC，

∴m==1；

∵CO=1，CE=，QF=，

∴EF=EO==QF，C（0，1），

∴sin∠EFC==，

∴∠EFC=30°

，∠CEF=60°

∴∠FEA=×

（180°

﹣60°

）=60°

∵EF=QF，

∴△EFQ是等边三角形，

∴EQ=，

过Q作QD⊥OE于D，

ED=EQ=．

∵由勾股定理得：

DQ=，

∴OD=﹣=，

即Q的坐标是（，），

∵抛物线过C、Q，m=1代入得：

b=﹣，c=1，

∴抛物线的解析式是：

y=x2﹣x+1，

AO=EO=，

∵把x=代入抛物线得：

y=，

∴抛物线与AB的交点坐标是（，），

1，．

14．该试题已被管理员删除

15．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是　（，5）　．

【分析】分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式，分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值，再进一步比较．

线段AB的解析式是y=x+1（0≤x≤4），

此时w=x（x+1）=+x，

则x=4时，w最大=8；

线段AC的解析式是y=x+1（0≤x≤2），

此时x=2时，w最大=12；

线段BC的解析式是y=﹣2x+10（2≤x≤4），

此时w=x（﹣2x+10）=﹣2x2+10x，

此时x=时，w最大=12.5．

综上所述，当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．

正确的结论有　②④　（请写出所有正确结论的序号）．

【分析】根据抛物线的开口向下判断