人教版初中数学课标版九年级上册.docx

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人教版初中数学课标版九年级上册

21.1一元二次方程

教学目标：

1.通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念以及一般式ax2+bx+c=0（a≠0），分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念。

2.了解一元二次方程的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解。

数学思考与问题解决：

在学习中让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。

情感态度

使学生经历类比一元一次方程得到一元二次方程概念的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣。

重点与难点

1.重点：

通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念以及一般式ax2+bx+c=0（a≠0）和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题。

2.难点：

一元二次方程及其二次项系数、一次项系数与常数项的识别。

学情分析

这是新课标人教版九（上）第二十一章第一节教学内容，主要是1、通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念以及一般式ax2+bx+c=0（a≠0），分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念。

2.了解一元二次方程的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解。

经过一个假期，初升入毕业班的同学们既兴奋又紧张，数学基础又参差不齐。

所以，在教学设计时，以同学们熟知的一元一次方程作为切入口，既消除了学生内心的紧张不安，又加强了新旧知识间的联系，以期能达到一个好的效果。

教学设计：

活动一：

复习旧知

大家来看看，我们的这些朋友都是谁？

大屏幕出示：

2x+3=51-5（x-3）=2xx-b=17（b为常数）

请大家来说说，看到这些朋友，你想到了什么？

（学生回顾、回答）

归纳：

1、方程；2、整式方程，分式方程；

3、一元一次方程及其一般式。

活动二：

探究新知

在我们的生活中，时常还会遇到这样的问题：

1、我们的教室墙上的窗户，长比宽多半米，面积是3平米。

请问，窗户的长与宽分别是多少？

2、我们区组织一场学校间的篮球比赛，需要每一个参赛队都和其它的参赛队进行一场比赛，总共进行了28场比赛。

请问，一共有多少个队伍参加了比赛？

3.一个正方形的面积是16平方厘米，那么这个正方形的边长是多少厘米？

4.甲数比乙数大5，两数之积等于0.请问，这两个数分别是多少？

（学生思考、可以和同桌或小组内成员自由讨论，引导学生应用方程思想解决问题。

）

请同学来说自己的分析思路，列出数量关系式。

1、设窗户的宽为xm,则长为（x+0.5）m，可得：

（x+0.5）x=3

2、设总共有x个队伍参赛，可得：

x（x-1）/2=28

3、设正方形的边长为ycm，可得：

y2=16

4、设甲数为m，则乙数为（m-5）,可得：

m（m-5）=0

整理以上的数量关系式，得：

x2+0.5x-3=0x2-x-56=0y2-16=0m2-5m=0

这些等式给你什么感觉？

---在每一个等式中……（抓特征）

如果让你来给这类方程命名，你要给它取个什么名字？

它必须满足哪些条件？

可以用怎样的一般式来表示它？

活动三：

归纳概念

1、一元二次方程

2、一元二次方程的一般式

提问：

为什么要规定a≠0？

那么b和c呢？

3、一元二次方程的项和系数

活动四：

例题与练习

1、在下列方程中是关于x的一元二次方程的是

（填写序号即可）

选择一个你喜欢的一元二次方程，指出它的二次项、一次项、常数项以及二次项系数、一次项系数。

2、

（1）、-2是下列哪个方程的解（）

A、-x=3-xB、x-5=-3C、2-x=-2xD、x+3=7

（2）、3是下列哪个一元二次方程的解（）

A、x2-x=5B、x2-2x-6=0C、x2-4x+3=0D、2x2+x-7=0

3、若（a-1）x2+3x-5=0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是。

活动五：

课堂小结

一元一次方程

整式方程二元一次方程（组）

方概念

程一元二次方程一般式项及系数

方程的解（根）

分式方程

活动六：

作业布置

课本习题21.1第1~3题。

拓展与提高：

1.2解一元二次方程

第1课时直接开平方法

一、内容和内容解析

（1）内容：

会用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程

（2）内容解析：

一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，而一元二次方程的解法更是本章的重点内容。

本节课中，首先通过知识回顾环节的3个小题为本节课的学习做一铺垫。

然后再通过“探究新知”环节中“问题串”建立一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为x2=p的形式,通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基，并自然地引出“降次”的策略，归纳出形如（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解的情况，不仅为后面用配方法解比较复杂的一元二次方程的学习做好铺垫，而且也为我们后续学习二次函数等知识打下坚实的基础。

同时，这节课的内容还突出体现了化归、类比、分类讨论等数学思想方法。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：

运用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，领会降次——转化的数学思想。

二、目标和目标解析

1.目标：

（1）理解一元二次方程降次的转化思想

（2）会利用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程．

2.目标解析

达成目标的标志是：

如果方程能够转化符合为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程时，那么就能通过直接开平方法将一元二次方程转化为一次方程求解。

三、教学问题诊断分析

在以前的学习中，学生不仅了解了平方根的意义、掌握了完全平方式的结构特征，而且还具备了一些方程的转化能力。

本节课首先复习平方根的相关知识，再从具体的实际问题中列出一元二次方程，并根据平方根的意义直接开平方求解方程，对于方程的解是否符合实际问题，进行探讨。

然后，对需要合理变形转化为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）形式可以直接开平方的方程，学生在以前的学习中没有类似的经验，可能会出现思维障碍。

基于以上分析本节课的教学难点是：

把不能够直接开平方的方程转化为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）形式的转化方法与技巧。

四、教学支持条件分析

利用多媒体技术，提供丰富的学习内容。

五、教学过程设计

（一）情境引入

导语：

上节课我们主要学习了一元二次方程和相关的概念，那么今天这节课我们一起来研究如何解一元二次方程。

师生活动：

点题，板书课题

设计意图：

开门见山明确本节课内容。

（二）学习目标

教师追问1：

首先我们看一下本节课的学习目标。

（大屏幕展示）

学习目标：

1.理解一元二次方程降次的转化思想

2.会利用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）

的一元二次方程．

师生活动：

学生代表朗读本节课的学习目标。

设计意图：

让学生明确本节课的学习内容，抓住学习重点，可以为本节课的学习起到事半功倍的效果。

（三）知识回顾

教师追问2：

为了更好的完成本节课的学习目标，我们先一起复习一下平方根的相关知识，完成学案上知识回顾的内容。

知识回顾：

1.平方根的定义：

如果一个数的等于a，那么这个数就叫做a的平方根。

若x2=a，则x叫做a的平方根。

记作x=即x=或x=，

2.求下列各数的平方根

16（），5（），（），8（），0（）

3.平方根的性质：

正数有个平方根，它们是，

0的平方根是，负数平方根。

师生活动：

由学生独立完成，学生代表回答，教师及时订正。

设计意图：

通过对平方根相关知识的回顾，主要为直接开平方法解一元二次方程的学习做好铺垫。

（四）探索新知

教师追问3：

我这有件事想请各位同学帮帮忙行吗？

（引出问题1）

问题1：

一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

仔细审题并完成以下问题：

解：

设其中一个盒子的棱长为xdm,则这个盒子的表面积为dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列方程为

整理得x2=

根据平方根的意义得，x=

即x1=;x2=;

师生活动：

让学生独立思考并完成上述问题，然后以小组为单位，组内互查互助，最后组内代表回答。

如果学生不能够独立完成可以小组内进行合作交流。

设计意图：

通过将问题1设计成填空的形式，淡化列方程解方程的难度，引导学生自主探究、分析、总结，进而得到用直接开平方法解一元二次方程的方法，不仅让学生经历建立和求解一元二次方程的完整过程，而且又培养了学生的自主学习能力。

教师追问4：

方程10×6x2=1500是几元几次方程？

教师追问5：

5和－5都是方程10×6x2=1500解吗？

教师追问6：

那么问题1中盒子的棱长是5和-5吗？

为什么？

师生活动：

学生独立完成，如果学生回答有困难时，教师再适时加以引导。

设计意图:

让学生体会一元二次方程的解有两个，并学会根据具体问题的实际意义检验结果的合理性的习惯。

教师追问7：

类似地，你能求出下列方程的解吗？

它们解的情况有什么不同？

（1）x2-3=0

（2）x2=0（3）2x2=-8

教师追问8：

上述三个方程在求解时有什么特点？

它们解的情况有什么不同？

师生活动：

学生独立在学案上完成，然后以小组为单位，组内互相交流，最后小组代表回答。

教师追问9：

若我们把上述方程看作是形如x2=p的形式，你能归纳出这类方程解的情况吗？

师生活动：

学生先独立思考，并完成在学案上；然后组内进行交流，归纳出一般形式x2=p,并根据p的取值范围得到方程的解的三种情况，学生代表回答，投影展示，教师板书。

归纳：

一般地，对于方程x2=p

（1）当P＞0时，方程有两个不等的实数根，

（2）当P=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0

（3）当P＜0时，方程没有实数根

设计意图：

根据平方根的意义解形如x2=p的方程，并根据p的取值范围讨论出方程解的三种情况，不仅为探究后面配方法的学习奠定基础，而且还向学生渗透模型化的思想和化归思想。

教师追问10：

对照前面的知识，你能求出方程（x+3）2=5的解吗?

师生活动：

学生独立思考，并完成在学案上，然后组内互查互助，最后学生代表回答。

不难想到，这一类方程与x2=p没有实质差异，也可以根据平方根的意义，利用直接开平方求解。

教师可引导学生观察解方程的过程，实际上把一个一元二次方程（x+3）2=5进行了“降次”，转化成为两个一元一次方程进行求解。

设计意图：

让学生体会方程的结果特征，很自然地引出“降次”解一元二次方程的策略，为后续实现化归奠定基础。

教师追问11：

上述方程若转化成形如（x+n）2=p形式，它的解有什么特点？

你能归纳出用直接开平方法解一元二次方程步骤吗？

师生活动：

以小组为单位合作探讨，学生进行归纳。

总结出：

如果方程能转化成x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的形式，那么就可得x=或

x+n=

设计意图：

从特殊到一般，归纳出用直接开平方法解一元二次方程的一般思路。

使学生养成提练解题思路、归纳解题步骤的能力，体验类比、转化、降次的数学思想方法。

（五）例题解析

例1：

解方程：

3x2-25=0例2：

解方程2（x+2）2-8=0

例3：

解方程x2+6x+9=5

师生活动：

学生独立思考，个别学生可能在将方程转化为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的形式有困难，教师要及时引导学生进行订正，学生代表黑板板书。

设计意图：

强化学生对转化为形如x2=p或（