数值分析高斯勒让德积分公式Word格式.docx
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．这样构造出的一点高斯－勒让德求积公式是中矩形公式．再取
的两个零点
构造求积公式
都准确成立，有
．
由此解出
，从而得到两点高斯－勒让德求积公式
三点高斯－勒让德求积公式的形式是
如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．
0。
0000000
2.0000000
1
0.5773503
2
7745967
0.0000000
5555556
8888889
3
8611363
3399810
3478548
6521452
4
0.9061798
0.5384693
0.2369269
4786287
5688889
公式（4.5。
9）的余项由（4.5。
8）得
这里
是最高项系数为１的勒让德多项式，由（3。
2。
6）及（3。
7）得
．
当
时，有
它比辛普森公式余项
还小，且比辛普森公式少算一个函数值．
当积分区间不是［－１，１]，而是一般的区间
时，只要做变换
可将
化为［－１,１］，这时
．
对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．
2复化Gauss-Legendre求积公式
将被积区间m等分,记
作变换
在每个小区间上应用Gauss—Legendre公式,累加即得复化Gauss-Legendre求积公式
不妨设
则有：
Gauss点个数
时，
总结复化Gauss—Legendre求积过程如下:
1.分割区间，记录区间端点值；
2.通过查表或求解非线性方程组，在所有小区间上,将Gauss系数和Gauss点的值代入变量替换后的公式；
3。
将所有区间的结果累加,即得到整个区间上的积分近似值.
针对Gauss点个数
和
的复化Gauss—Legendre求积公式编写的一个简单的MATLAB函数compgauss（）如下:
function［］=compgauss（a,b,n）
％CompositeGaussIntegration
％EquationType:
n=2，n=3
%CodedbyNan。
Xiao2010—05—25
％Step。
1DivideInterval
2Calculate
%Step.3SumResults
formatlong
f=＠（x）exp（x）.＊sin（x）;
h=（b—a）/n；
xk=zeros（n+1,1）;
xk（1，1）=a；
xk（n+1，1）=b；
fk1=zeros（n，1）;
fk2=zeros（n,1）;
fori=1：
n-1
xk（i+1，1）=a+h*i;
end
forj=1:
n
fk1（j）=f（（xk（j）+xk（j+1））/2+（h/2）＊（—1/sqrt（3）））+..。
f（（xk（j）+xk（j+1））/2+（h/2）＊（1/sqrt（3）））;
forr=1:
fk2（r）=（5/9）*f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）＊（—sqrt（15）/5））+。
（8/9）＊f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）*（0））+。
（5/9）＊f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）＊（sqrt（15）/5））;
mysum1=h*sum（fk1）/2;
mysum2=h*sum（fk2）/2；
disp（'
Resultof2Nodes:
'
）
disp（mysum1）;
disp（’Resultof3Nodes：
disp（mysum2）；
3龙贝格，三点,五点以及变步长高斯勒让德求积法
以下是关于龙贝格，三点,五点以及变步长高斯勒让德之间精度的相互比较
＃include
<
iostream。
h>
#include
math.h>
〈iomanip。
h〉
#define
Precision1
0.000000000001
＃
define
e
71828183
MAXRepeat
10
double
function
（double
x）
{
s;
s=1/x;
return
｝
Romberg（double
a,double
b，double
f（double
x））
｛
int
m，n，k;
y［MAXRepeat］，h，ep，p，xk,s,q；
h=b-a；
y[0]=h*（f（a）+f（b））/2.0;
//计算T`1`（h）=1/2（b—a）（f（a）+f（b））;
m=1;
n=1;
ep=Precision1+1；
while（（ep>
=Precision1）＆&
（m〈MAXRepeat））
p=0。
0;
for（k=0；
k<
n;
k++）
xk=a+（k+0。
5）＊h;
p=p+f（xk）；
}
p=（y［0]+h*p）/2。
//T`m`（h/2）,变步长梯形求积公式
s=1。
0；
for（k=1；
=m;
s=4。
0*s；
//
pow（4，m）
q=（s*p—y[k-1］）/（s-1.0）;
y［k-1]=p;
p=q;
}
ep=fabs（q-y［m-1]）；
m=m+1；
y[m—1]=q;
n=n+n;
2
4
8
16
h=h/2.0;
//二倍分割区间
q；
ThreePointGaussLegendre（double
a，double
b,double
x，w；
static
X[3]={—sqrt（15）/5.0,0,sqrt（15）/5.0}；
L［3］={5/9。
0,8/9。
0，5/9.0｝；
w=0.0;
for（int
i=0;
i<
3；
i++）
x=（（b-a）＊X［i]+（b+a））/2。
w=w+f（x）＊L［i］；
w;
FivePointGaussLegendre（double
x，w;
X[5］={-0。
9061798459,—0。
5384693101，0,0.5384693101,0。
9061798459｝;
L［5]={0.2369268851，0.4786286705，0。
5688888889，0.4786286705,0。
2369268851｝;
i〈5；
x=（（b-a）＊X[i]+（b+a））/2.0;
w=w+f（x）＊L[i］;
//每一次小区间利用勒让德公式计算的结果
w；
FivePointPrecisionGaussLegendre（double
m,i,j；
s,p,ep,h，aa,bb,w,x,g；
X[5]={-0。
5384693101,0，0。
5384693101,0.9061798459};
m=1；
s=fabs（0。
001＊h）;
p=1。
0e+35;
=Precision1）&
＆（fabs（h）〉s））
g=0.0;
for（i=0;
i〈m；
aa=a+i*h；
bb=aa+h;
for（j=0；
j〈=4；
j++）
x=（（bb-aa）＊X[j］+（bb+aa））/2.0；
w=w+f（x）*L［j］;
g=g+w;
//各个区间计算结果之和相加
g=g*h/2.0;
ep=fabs（g-p）/（1.0+fabs（g））；
//计算精度
p=g;
m=m+1;
h=（b-a）/m;
//分割区间
g;
main（）
a，b,s；
cout〈〈”请输入积分下限:
”;
cin〉〉a;
cout<
〈”请输入积分上限：
”；
cin>
>
b;
cout〈〈”㏑的真值为:
”〈<
endl；
cout〈<
”1.098612289"
〈<
endl;
/*龙贝格求积*/
s=Romberg（
a,
b,
function）；
"
龙贝格求积公式：
cout〈〈setiosflags（ios:
：
fixed）<
〈setprecision（14）<
〈s<
/＊三点求积公式＊/
s=ThreePointGaussLegendre（
b，
”三点求积公式：
setiosflags（ios:
:
fixed）〈〈setprecision（14）<
〈s〈〈endl;
/*五点求积公式*/
s=FivePointGaussLegendre（
a，
”五点求积公式”〈<
setprecision（14）<
s<
〈endl;
s=FivePointPrecisionGaussLegendre（a,
b,function）;
cout〈〈”控制精度五点求积公式”〈<
fixed）〈〈setprecision（14）〈<
s〈〈endl；
｝
2.高斯－勒让德求积的程序
2.1三点高斯勒让德公式的代码
functiongl=f（str,a,b）
x=zeros（3，1）;
y=zeros（3,1）；
x
（1）=—sqrt（15）/5；
x
（2）=0；
x（3）=sqrt（15）/5;
t=（b—a）/2*x（i）+（a+b）/2;
y（i）=eval（str）；
％exp（t）*sin（t）；
%此处为求积的函数,t为自变量
gl=5/9*y
（1）+8/9*y
（2）+5/9＊y（3）；
上面的代码保存为f.m文件,调用的时候如下
f（’t＊2’,-1,1）
f（’exp（t）*sin（t）'
1,3）
其中第一个参数为求积分的表达式,第二三个参数分别为
积分的上下限。
2高斯—勒让德数值积分Matlab代码
function［ql，Ak,xk］=guasslegendre（fun，a,b,n,tol）
ifnargin==1
a=-1;
b=1;
n=7;
tol=1e—8;
elseifnargin==3
n=7;
tol=1e-8;
elseifnargin==4
tol=1e—8；
elseifnargin==2|nargin>
5
error（’TheNumberofInputArgumentsIsWrong！
）；
symsx
p=sym2poly（diff（（x^2-1）^（n+1）,n+1））/（2^n＊factorial（n））;
tk=roots（p）；
Ak=zeros（n+1，1）;
fori=1:
n+1
xkt=tk；
xkt（i）=［];
pn=poly（xkt）；
fp=@（x）polyval（pn,x）/polyval（pn，tk（i））;
Ak（i）=quadl（fp，—1，1，tol）;
%求积系数
xk=（b-a）/2＊tk+（b+a）/2;
fun=fcnchk（fun，'
vectorize'
fx=fun（xk）*（b—a）/2；
ql=sum（Ak.＊fx）;
3.数值实验
1用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算
.
解：
先将区间
化为
，由
（1）
（1）
有
根据表4-7中n=3的节点及系数值可求得
.
（准确值
）
2用
的高斯-勒让德公式计算积分
令
则
用
的高斯—勒让德公式计算积分
3.2用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分
，计算过程保留4位小数．
解:
高斯－勒让德求积公式只求积分区间为［－1，1]上的积分问题．需作变换，令
，当x=1时，u=1;
当x=0时，u=－1．于是，
＝
3.总结
高斯―勒让德求积公式对定积分的计算拥有高精度的特点，但是这只存在于积分区间在［—1，1］上，区间的变大会导致精度的降低。
因此，寻找精度更高，加速更快的算法是必要的。
《参考文献》
[1］《数值计算》张军、林瑛、钟竞辉清华大学出版社2008617
［2]《数值分析》陈晓江、黄樟灿·
科学出版社2010710
［3]《数值分析原理》吴勃英科学出版社2009723
[4］复化两点Gauss—Legendre求积公式的外推算法《桂林航天工业高等专科学校学报》2007年03期
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